初中数学沪教版 (五四制)八年级下册22.3 特殊的平行四边形备课课件ppt

这是一份初中数学沪教版 (五四制)八年级下册22.3 特殊的平行四边形备课课件ppt，共44页。PPT课件主要包含了有一个角是直角，平行四边形，总结猜想，菱形定义，符号语言，AC⊥BD，菱形的特殊性质，平行四边形的性质，你有什么发现，菱形的性质等内容，欢迎下载使用。

1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
当把衣帽架拉动时，从它的形状变化，你能看出什么？
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.
猜想: 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形不一定是菱形.
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
∴四边形ABCD是菱形
如何利用折纸、裁剪的方法，既快又准确的剪出一个菱形的纸片？
在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上 有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD； ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD.
（2）∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
∵四边形ABCD是菱形∴ 　　　　　　　　　
1、菱形的四条边相等．
AB=BC=CD=AD
2、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
∵四边形ABCD是菱形∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
AC平分∠DAB和∠DCB，
BD平分∠ADC和∠ABC。
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相互平分.
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理得∴菱形的周长＝4AB＝4×3 ＝12 (cm)．
例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD=BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC=∠DAE， ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB. 又∵AD＝BA ，∴△AOD≌△BEA ，∴AO＝BE .
例4 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC= AC·BO+ AC·DO= AC(BO+DO)= AC·BD.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例5 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）.
解：∵花坛ABCD是菱形，
如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：（1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°.∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，∴∠ABC= ×180°=60°，∴∠ABO= ×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形.∵菱形ABCD的周长是8cm．∴AB=2cm，
∴OA= AB=1cm，AC=AB=2cm， ∴BD=2OB= cm；（2）S菱形ABCD= AC•BD = ×2× = （cm2）．
菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分为以60°为顶角的两个等边三角形.
1.周长=边长的四倍2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
1.两组对边平行且相等；2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；2.每一条对角线平分一组对角
　1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判 定定理．（重点） 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点）
1.菱形的定义是什么？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.你能说出菱形的性质有哪些吗？
菱形的两组对边平行
菱形的两组对角分别相等
菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
怎样判定一个四边形是否为菱形？
根据菱形的定义去判定.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
猜想1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
猜想2：四边相等的四边形是菱形.
除了根据定义判定，还有其它判定菱形的方法吗？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=OC ∵AC ⊥ BD ∴∠AOB=∠COB=90° 又∵BO是公共边 ∴△AOB≌△COB ∴AB=BC
对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
猜想2：四边都相等的四边形是菱形.
四边都相等的四边形是菱形.
证明：在四边形ABCD中 ∵AB=CD，BC=AD ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AB=BC ∴平行四边形ABCD是菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
有四条边相等的四边形是菱形。
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=4,OB=3,AB=5，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴四边形ABCD是菱形.
∵ AC＝8，BD＝6
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴AO = OC . 又∠AOE =∠COF，∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EF⊥AC ∴ 四边形AFCE是菱形.
证明： ∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC,AD=AD, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF, ∴四边形ABCD是菱形.
例3 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在 AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形.
例4 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，∴四边形ACFD是菱形．
四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
例5 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：四边形EFGH是菱形.
顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
理由如下：连接AC、BD
拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
∴四边形EFGH是平行四边形.
拓展2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
四边形EFGH是矩形.
例6 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形；
(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为 ，∴菱形的面积为 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
1、□ABCD的对角线AC与BD相交于点O， （1）若AB=AD，则□ABCD是 形； （2）若AC=BD，则□ABCD是 形； （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形； （4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。
2.判断下列说法是否正确(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形．
3.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为 24cm和26cm，那么平行四边形的面积是 .
4.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　） A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
解析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AC∥DE，AC=DE，∴四边形ABED为平行四边形.当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．
5.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3，求平行四边形ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC，∴四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长=4×3=12．
6.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC,AE ∥BD.求证：四边形OAEB是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OAEB是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴四边形OCED是菱形．