江苏省南通市启东中学2021-2022学年高一数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

2021～2022学年度江苏省启东中学高一第一学期

第一次月考（数学）

一、单选题

1. 已知集合，则下列关系表示正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合，利用元素与集合、集合与集合的关系判断可得出合适的选项.

【详解】解：集合，
对于A，易得，故A错误；
对于B，由集合与集合之间的关系可得，故B错误；      
对于C，，故C错误；
对于D， ，故D正确.

故选：D.

2. 已知集合A满足，则A的个数为（    ）

A. 8 B. 16 C. 32 D. 64

【答案】C

【解析】

【分析】结合已知条件分析集合中元素的个数，进而即可得到答案.

【详解】由题意，集合A中一定含3，4，5，可能含6，7，8，9，10，
由此可得满足条件的集合A的个数就是集合的子集的个数，

共有个
故选：C.

3. “(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　)

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【详解】，所以答案选择B

【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.

4. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式可求得集合，由补集和交集定义可求得结果.

【详解】由得：，即，

或，.

故选：A.

5. 当时，下列不等式恒成立的是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意排除错误的选项即可确定正确的恒等式.

【详解】当时，满足，不满足，选项A错误；

当时，满足，不满足，也不满足，选项B、D错误；

，则，，则，由不等式的性质可得，选项C正确.

本题选择C选项.

【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6. 已知命题，，若命题p是假命题，则a的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求得命题的否定，结合不等式恒成立，求解即可.

【详解】命题，是假命题，
，恒成立是真命题；
当时，恒成立，
当时，需，，解得，
当时，，不可能满足恒成立，
综上可得a的取值范围为.
故选：.

7. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据题意可知2，4是一元二次方程的实数根，且利用韦达定理可知，代入得，然后解一元二次不等式即可.

【详解】因为不等式的解集是，
所以2，4是一元二次方程的实数根，且
所以，即
所以不等式化为，

即，解得或
所以不等式的解集为

故选：B

8. 若，且，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】，再利用基本不等式即可得出答案.

【详解】解：

，

当且仅当时，取等号，

所以的最小值为.

故选：C.

二、多选题

9. 若集合，，且，则实数a的值为（    ）

A. 0 B. 1 C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】解方程可得集合A，由题可得，然后分情况讨论即得.

详解】，

，
集合，集合，
，又，
当时，则，满足题意；
当时，若，，，满足题意，
若，则，，满足题意；
或1或.

故选：ABC.

10. 下列命题正确的是（    ）

A. “”是“”的充分不必要条件

B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则”

C. “，”是“”成立的充要条件

D. 设，则“”是“”的必要不充分条件

【答案】ABD

【解析】

【分析】A.根据推出关系进行判断；B.全称命题的否定方法：修改量词，否定结论即可；C.根据推出关系进行判断；D.根据推出关系进行判断.

【详解】A选项：时，时不能推出，故A正确；

B选项：全称命题的否定方法：修改量词，否定结论，故B正确；

C选项：时不能推出，，故C错误；

D选项：不能推出，能推出，故D正确.

故选：ABD.

11. 若，，且，则下列说法正确的是（    ）

A. ab的最大值为 B. 的最大值为2

C. 的最小值为2 D. 的最小值为4

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用基本不等式，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对：，，即，当且仅当时，等号成立，

此时ab取得最大值，故正确；

对：由可得，

当且仅当时取得最小值2，即有最小值2 ，故错误，正确；

对：由，得，

当且仅当，即时等号成立，即取得最小值4，故正确.

故选：

12. 已知，，，则的值可能是（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】

有则且,分和打开 ，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案.

【详解】由，得，则且.

当时, =

=.当且仅当即 时取等号.

当时, =

=.当且仅当即 时取等号.

综上，.

故选：BCD.

【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

三、填空题

13. 不等式解集为__________.

【答案】或

【解析】

【分析】化简不等式为，转化为不等式组即得解.

【详解】由题得，

所以或，

所以不等式的解集为或.

故答案为：或.

14. 已知，若关于的不等式有解，则的取值范围为_____________;

【答案】

【解析】

【分析】先求得的最小值，由此求得的取值范围.

【详解】由于，

所以.

故答案为：

15. 《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设，称为、的调和平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=，CB=，且，O为AB中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是、的算术平均数，线段CD的长度是、的几何平均数，线段______的长度是、的调和平均数,该图形可以完美证明三者的大小关系为_________.

【答案】    ①. ##    ②.

【解析】

【分析】根据给定条件结合圆的有关性质、直角三角形射影定理用a，b表示出相关线段长即可作答.

【详解】依题意，，，由直角三角形射影定理得，即，

而点C与点O不重合，在中，即，则，

在中，因，，由直角三角形射影定理得，

，又，则，即，

所以线段的长度是、的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为.

故答案：；

16. 若，是方程的两根，且满足，记实数的可能取值集合为，则中所有元素之积为___________.

【答案】112

【解析】

【分析】利用韦达定理及已知解得的值，代入韦达两根之积，可得结果.

【详解】由，是方程的两根，

，，，

由可得，

则，解得，2，，

时，，，设两解，，则，

时，，，设两解，，则，

时，，，无解.

综上中所有的元素之积为.

故答案为：112.

四、解答题

17. 设，，.

（1）写出集合的所有子集；

（2）若为非空集合，求的值.

【答案】（1），，，（2）的值为3.

【解析】

【分析】（1）解一元二次方程求得集合的元素，由此求得集合的所有子集.（2）根据集合有一个元素或有两个元素进行分类讨论，结合一元二次方程的知识，求得的值.

【详解】解析：（1）

∴集合的所有子集为，，，

（2），

∴当集合只有一个元素时，由得，即

此时或，不满足.

当集合只有两个元素时，由得：.

综上可知，的值为.

【点睛】本小题主要考查集合子集求法，考查根据集合的包含关系求参数，考查一元二次方程根、判别式等知识，属于基础题.

18. 已知集合，，.

（1）若，求集合.

（2）从集合B，C中任选一个，补充在下面的问题中.

已知，______，则p是q的必要不充分条件，若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）若选集合B，m的取值范围为；若选集合C，m的取值范围为.

【解析】

【分析】（1）m=2代入求出集合B，进而求出；

（2）若选B，求出B，再根据范围的大小即可求出m的取值范围；同样的方法求出选C时，对应的m的取值范围.

【详解】（1）由m=2及得：，解得，

所以，又，所以.

（2）若选B：由，得，

∴，∴.

由p是q的必要非充分条件，得集合B是集合A的真子集，

∴（两端等号不会同时取得），

所以m的取值范围为.

若选C：由，得，∴.

由p是q的必要非充分条件，得集合C是集合A的真子集，

（两端等号不会同时取得），

所以m的取值范围为.

19. 已知集合，.

（1）求，；

（2）若集合，且，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再求出集合，最后根据交、并、补的定义计算可得；

（2）依题意可得，再对与分类讨论，分别求出参数的值，最后取并集即可；

【详解】解：（1），即，解得或，

或，，

，

，

；

（2），，

①当时，，即时满足，；

②当时，要使，

则即得．

综上所述，．

20. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米.

（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？

（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a>0）；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队中标），求a的取值范围.

【答案】（1）当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低   

（2）

【解析】

【分析】（1）设总造价为元，列出．利用基本不等式求解函数的最值即可．

（2）由题意可得，对任意的，恒成立，参变分离可得恒成立，即，利用基本不等式求解函数的最值即可．

【小问1详解】

解：设甲工程队的总造价为y元，依题意左右两面墙的长度均为米，则屋子前面新建墙体长为米，

则

因为.

当且仅当，即时等号成立.

所以当时，，

即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元.

【小问2详解】

解：由题意可得，对任意的恒成立，

即，从而，即恒成立，

又.

当且仅当，即时等号成立.

所以.

21. 已知是一元二次方程的两个实数根.

（1）是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（2）求使的值为整数的实数的整数值.

【答案】（1）不存在，理由见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用反证法先假设存在实数，使得成立，根据一元二次方程有两个实数根可得，因此原假设不成立，故不存在；

（2）根据题意，可得能被整除，即可求出的值.

【小问1详解】

假设存在实数，使得成立，

一元二次方程的两个实数根，

，(不要忽略判别式的要求)，

由韦达定理得，

，

但，

不存在实数，使得成立.

【小问2详解】

，

要使其值是整数，只需要能被整除，

故，即，

，

.

22. 已知集合，，命题，使成立．

（1）求；

（2）是否存在实数，使命题为真命题？如果存在，求出实数的取值范围，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）由题知，，再求交集运算即可；

（2）令，，进而根据题意，问题转化为，，再结合基本不等式和二次函数的最值分类讨论求解即可.

【小问1详解】

解：由得，故，

由得，故，
所以，

【小问2详解】

解：存在实数a，使得命题p为真命题，理由如下：
假设命题，使成立，

则
令，，
所以，问题转化为，，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，，
，对称轴为，开口向上.
①当，即时，函数在上单调递增，
，解得：，此时无解；
②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，解得：，即；
③当，即时，函数在上单调递减，
，解得：，此时；
综上可知，实数的取值范围为：