江苏省宿迁市文昌高级中学2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

宿迁市文昌高级中学2022－2023学年度第一学期期中试卷

高一数学

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共60分.）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

直接求集合可得答案.

【详解】集合，，则.

故选：B.

2. 命题“，”的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】根据全称命题的否定形式，直接判断选项.

【详解】根据全称命题的否定形式，得命题“，”的否定为“，”.

故选：A

3. 函数的定义域为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求出使函数有意义的自变量的范围．

【详解】由题意，．

故选：C．

4. 下列四组函数中，表示同一函数的是（    ）

A. f(x)=1与g(x)=x0 B. 与

C. f(x)=x与g(x)= D. 与

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数的定义判断：定义域与对应法则相同的函数是同一函数

【详解】A中函数定义域不相同，定义域是，定义域是，不是同一函数；

B中函数定义域不相同，定义域是，定义域是或，不是同一函数；

C中函数定义域不相同，定义域是，定义域是，不是同一函数；

D中两个函数定义域都是，对应法则也相同，都可以看作是取绝对值，是同一函数．

故选：D．

5. 若，则下列不等关系正确的是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用作差法比较即可得到答案.

【详解】因为，所以，，，

所以，即，

，

所以.

故选：A

6. 已知函数则（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

分析】

根据分段函数定义分类计算函数值．

【详解】由已知．

故选：A．

7. 函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先求函数的对称轴，再根据题意建立不等式，最后求实数a的取值范围即可.

【详解】因为函数是二次函数，所以对称轴：，

因为函数在上不单调，所以，解得：

故选：C

8. 若函数为定义在上的奇函数,且在为减函数,若,则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数为定义在上的奇函数,且在为减函数,若,画出函数的大致图像,结合图像即可求得答案.

【详解】根据函数为定义在上的奇函数,且在为减函数,若,画出函数的大致图像,如图:

①当时,即,

由,得或

解得:.

②当时,即

由,得或

解得

综上所述:的取值范围是 .

故选:B.

【点睛】本题考查了根据函数图像求解函数不等式,解题关键是根据题意画出函数图像,结合单调性和奇偶性进行求解,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，每题给出的四个选项中，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）

9. 下列选项中正确的是（    ）

A. 若，则；

B. 函数的最小值是2；

C. 函数的最小值是2；

D. “”是“函数为增函数”的充要条件.

【答案】ABD

【解析】

【分析】

由不等式性质知A正确，根据均值不等式等号成立的条件判断BC，由一次函数的增减性判断D.

【详解】A中，若成立，，所以成立，故正确；

B中，，当且仅当时等号成立，故最小值为2，正确；

C中，，当且仅当，即时取等号，显然不成立，故最小值不是2，错误；

D中，由一次函数的增减性知时，，函数为增函数，若函数为增函数则，即，所以“”是“函数为增函数”的充要条件正确.

故选：ABD

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

10. 设，，若，则实数a的值可以为（    ）

A. 0 B.  C.  D. 3

【答案】ABC

【解析】

【分析】求出集合，，由得，分和两种情况即可，由此求出实数的值．

【详解】，，

，，

，

当时，；

当时，，则或，

解得或，

实数的值可以为0，，．

故选：ABC．

11. 下列说法正确的有（    ）

A. 不等式解集是.

B. 设：，：是奇函数，则是成立的必要不充分条件.

C. 在区间内为减函数.

D. “”是“”的充分不必要条件.

【答案】AC

【解析】

【分析】

A. 解不等式可得答案； B. D.举出反例可以判断； C.利用单调性定义可以证明；

【详解】A. 不等式得，即，正确；

B. 是奇函数时，不一定等于0，如，错误；.

C.设，，

因为，所以，所以在区间内为减函数，正确；

D. “”不一定有“”，如，错误.

故选：AC.

12. 已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值可能是（    ）

A. -1 B. 3 C. 1 D. 2

【答案】AB

【解析】

【分析】根据题意，由偶函数的性质可得点也在函数的图象上，结合函数单调性的定义分析可得在上递增，在，上为减函数，分类讨论可得的取值范围，即可得答案．

【详解】由题意，当时，不等式恒成立，

所以函数在，上为减函数，

又由偶函数的图象经过点，

所以函数在上递增，，

当时，由，得，即

当时，由，得，即，

所以，的取值范围是.

故选:AB.

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是掌握函数单调性的定义以及判断方法，属于基础题．

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 计算：值为___________.

【答案】5

【解析】

【分析】

直接利用可得答案.

【详解】由可得.

故答案为：5.

14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则__________．

【答案】15

【解析】

【详解】当时，，所以，因为是定义在上的奇函数，所以

故答案为15

15. 若，则函数的值域为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用换元法求解，令（），则，然后利用二次函数的性质可求得结果

【详解】解：令（），则，

所以，

因为抛物线开口向下，，

所以当时，取得最在值，

所以函数的值域为，

故答案为：

16. 已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】由得到单调递减，再根据分段函数的单调性列出不等式组，求出的取值范围.

【详解】由可知：为单调递减函数，

故，，且，

解得：，

则的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 求值：（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）5．

【解析】

【分析】

（1）利用指数幂的运算法则计算即得解；

（2）利用对数的运算法则化简计算即得解.

【详解】（1）原式＝；

（2）原式＝

【点睛】本题主要考查指数对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18. 已知，则的值.

【答案】15

【解析】

【分析】根据分数指数幂运行性质求解即可.

【详解】因为，所以，即.

.

19. 设集合，，

（1）若，求；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

(1) 代入，先求出A，求出集合B，然后直接求出即可；

(2)由题意得，则，然后解不等式组可得答案..

【详解】（1）当时，则，

则B=(-2，3)

（2）B=A=

若则

所以，所以.

20. 已知，，且．

（1）求的最小值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）9；（2）(－8，2)．

【解析】

【分析】

（1），利用基本不等式性质即可求得最小值．

（2）利用基本不等式求出的最小值，代入求出的范围即可．

【详解】解：（1）因为，，

所以，

当且仅当，即，时取等号，

所以的最小值为9．

（2）因为，，

所以，

所以．

因为恒成立，

所以，

解得，

所以的取值范围为．

【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值问题，属于基础题．

21. 某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x台需另投入成本C(x)元，且若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．

（1）求制造商所获月利润L(x)（元）关于月产量x（台）的函数关系式；

（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．

【答案】（1）；（2）月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．

【解析】

【分析】

（1）分和时两种情况，利用利润＝销售额－成本列式即可；

（2）利用二次函数求时的最大值，利用基本不等式求时的最大值，取最大即可.

【详解】（1）当0＜x＜40时，L(x)＝1000x－10x2－400x－3000＝－10x2＋600x－3000；

当40≤x≤100时，L(x)＝

．

所以

（2）①当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－30)2＋6000，

所以当x＝30时，L(x)max＝L(30)＝6000．

②当40≤x≤100时，，

当且仅当，即x＝50时取等号．

因为6400＞6000，所以x=50时，L(x)最大．

答：月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．

【点睛】本题主要考查了分段函数的实际应用，涉及二次函数求最值和基本不等式求最值，属于基础题.

22. 已知，

（1）求的值；

（2）用定义证明函数是上的增函数，若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）证明见解析，

【解析】

【分析】(1)根据函数表达式直接求解；(2)利用定理证明单调性，再证明奇偶性，根据奇偶性和单调性求解不等式.

【小问1详解】

因为，所以.

【小问2详解】

，

，

因为，所以，，

所以，且，所以，

即，所以在上单调递增，

因为，，所以为奇函数,

由得，

因为函数为奇函数，

所以，

因为在上单调递增，

所以 ，解得.