山东省德州市烟台市2022-2023学年高一数学上学期期中考试试题（Word版附答案）

2022-2023学年度第一学期期中学业水平诊断

高一数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知x，，则“x和y均为有理数”是“xy为有理数”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

3．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

4．已知a，b，c，，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

5．已知函数若，则是（    ）

A．奇函数，在和单调递增

B．奇函数，在和单调递减

C．偶函数，在单调递增，在单调递减

D．偶函数，在单调递减，在单调递增

6．已知函数若，则（    ）

A．-4 B．-1 C．-4或-1 D．-4或

7．定义在R上的函数满足：①，②，③，则不等式的解集是（    ）

A．  B．

C． D．

8．已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C．或 D．或

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．若集合，且，则集合A可能是（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数，，设函数则（    ）

A．是偶函数  B．方程有四个实数根

C．在区间上单调递增 D．有最大值，没有最小值

11．已知，，且，则（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数的定义域为R，对任意的实数x，y，有，且当时，，则（    ）

A．

B．对任意的，恒成立

C．函数在上单调递增

D．若，则不等式的解集为

第Ⅱ卷（共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知集合，，则B中元素的个数为______．

14．若命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是______．

15．已知，且，则的最小值为______．

16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，．

①若函数，则的值域为______；

②若函数，则方程所有的解为______．

（本题第一空2分，第二空3分．）

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

已知函数的定义域为集合A，集合．

（1）求集合A；

（2）请在下面这两个条件中任选一个，补充在横线处，并给出问题的解答．

①充分条件，②必要条件．

是否存在实数m，使得是的______？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（本小题满分12分）

已知是定义在R上的偶函数，当时，．

（1）求的解析式；

（2）求不等式的解集．

19．（本小题满分12分）

已知函数，二次函数满足，且不等式的解集为．

（1）求，的解析式；

（2）设，根据定义证明：在上为增函数．

20．（本小题满分12分）

已知某企业原有职工500人，每人每年可为企业创利6.5万元．为应对新冠疫情给企业带来的不利影响，该企业决定实施减员增效策略，分流出一部分职工待岗，待岗人数不超过原有职工的4%，并且每年给每位待岗职工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗职工人数x不超过原有职工2%时，留岗职工每人每年可为企业多创利万元；当待岗职工人数x超过原有职工2%时，留岗职工每人每年可为企业多创利0.96万元．设该企业实施减员增效策略后，年利润为y（单位：万元）．．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）为使企业的年利润y最大，应安排多少职工待岗？

21．（本小题满分12分）

已知函数的定义域为R，且对任意的实数x，y，满足．

（1）证明：；

（2）著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意x，，，．设．

①证明：；

②已知，求在上的最小值．

22．（本小题满分12分）

给定，若存在实数使得成立，则定义为的点．已知函数．

（1）当，时，求的点；

（2）设，，若函数在上存在两个相异的点，求实数t的取值范围；

（3）对于任意的，总存在，使得函数存在两个相异的点，求实数t的取值范围．

2022-2023学年度第一学期期中学业水平诊断

高一数学参考答案

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求的．）

1．B 2．A 3．D 4．D

5．C 6．A 7．A 8．B

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．AC 10．ABD 11．ACD 12．BCD

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．3 14． 15． 16．①  ②

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．解：（1）由题可知，

即，解得，

故集合．

（2）若选择条件①：

即是充分条件，则集合A是集合B的子集，

所以，解得，所以实数m的取值范围为．

若选择条件②：

即是必要条件，则集合B是集合A的子集，

所以，解得，故实数m的取值范围为．

[未注明，扣1分]

18．解：（1）设，则，，

又是偶函数，所以．

综上，

（2）由题可知在上单调递增．

又因为是偶函数，故．

解得，所以不等式的解集为．

19．解：（1）令，则，所以，即．

设，因为的解集为，

所以，即．

又，解得，，，即．

（2）由题可知，．

任取，，且．

因为，所以．

又因为，，所以，从而．

所以，即．

所以在上为增函数．

20．解：（1）由题可知：，，所以且．

当待岗人数不超过2%，即时，

，

当待岗人数超过2%，即时，

故

（2）当且时，

，

当且仅当，即时，等号成立．

当时，为减函数，

所以当时，．

因为，

所以当企业年利润最大时，应安排5人待岗．

21．（1）证明：令，得．

（2）①因为，且，

所以

．

②因为的图象在R上连续不断，所以的图象在R上连续不断，

又，结合题目条件可知，．

又，所以．

从而．

的对称轴为．

当时，在上单调递减，

所以，当时，；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，；

综上，当时，取最小值，当时，取最小值-1．

22．解：（1）当，时，，

由题意知．

即，解得或．

所以，当，时，的点为1和3；

（2）由已知得在上有两个不同实数解，

即在上有两个不同实数解，

令，因为，所以

解得，所以t的范围是．

（3）因为函数存在两个相异的点，所以方程，

即恒有两个不等实根，

所以，

即，对任意的，总存在使之成立，

即，即．（*）

令，则，

（*）式变为．

令，

当时，，，显然成立．

当时，在单调递减，在单调递增，

所以当时，的最大值在区间的端点处取得．

所以，或．

当，即时，解得或；

当，即时，解得或．

综上，或．