陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高三文科数学上学期10月教学质量试题（Word版附解析）

这是一份陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高三文科数学上学期10月教学质量试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了 已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：1. 答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚.
2. 全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合绝对值不等式化简集合，由交集运算即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以.
故选：B
2. 已知，其中，是实数，是虚数单位，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数相等的定义求解参数、的值即可.
【详解】由题意得，
所以，得.
故选：B
3. 已知向量的夹角为，若， ，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的定义计算即可.
【详解】，
故选：B．
4. 某市教育局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了名学生，他们的身高都在，，，，五个层次内，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则（ ）
A. 样本中层次的女生比相应层次的男生人数多
B. 估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大
C. 层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等
D. 样本中层次的学生数和层次的学生数一样多
【答案】B
【解析】
【分析】由频率分布直方图性质可求，由此确定男生各层频率，再由扇形统计图确定女生中各层频率，由此判断选项A，D，再通过求D层次的女生和层次的男生在整个样本中频率判断选项C，再估计男生身高的中位数和女生身高的中位数判断选项B.
【详解】设样本中女生有人，则男生有人，
设女生身高频率分布直方图中的组距为
由频率分布直方图的性质可得，
所以，
所以女生身高频率分布直方图中层次频率为20%，层次频率为30%，层次频率为25%，层次频率为15%，层次频率为10%
所以样本中层次的女生人数为，男生人数为，由于的取值未知，所以无法比较层次中男，女生人数，A错误；
层次女生在女生样本数中频率为15%，所以在整个样本中频率为，
层次男生在男生样本数中频率为15%，所以在整个样本中频率为，
由于的取值未知，所以无法比较层次的女生和层次的男生在整个样本中频率，C错误；
样本中层次的学生数为，
样本中层次的学生数为，
由于的取值未知，所以无法比较样本中层次的学生数和层次的学生数的大小，D错，
女生中，两个层次的频率之和为50%，所以女生的样本身高中位数为，层次的分界点，而男生，两个层次的频率之和为35%，，，两个层次的频率之和为65%，显然中位数落在C层次内，所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大，B正确；
故选：B
5. 在约束条件下，则目标函数的最大值为（ ）
A. B. C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】画出可行域，将目标函数变形为，由几何意义可求的最大值.
【详解】如图所示，设直线与的交点为点，目标函数可变形为，显然当直线向下平移交于点时，目标函数取到最大值，联立，得，即，代入得，故.
故选：C
6. 已知抛物线（）的焦点为F.若直线与C交于A，B两点，且，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】将代入，求出点、的坐标，利用弦长求出，进而求得结果.
【详解】将代入，解得，
则、，
所以，解得，
则.
故选：C.
7. 我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的（ ）
A. 25B. 45C. 55D. 75
【答案】A
【解析】
【分析】根据程序框图依次计算可得.
【详解】；；；；；．
所以
故选：A
8. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过函数奇偶性的定义对选项逐个进行判断，再取图象上的特殊点进行排除即可.
【详解】由图可知，在上的图象关于轴对称，所以在上为偶函数，故应先判断各选项中函数的奇偶性.
对A，，为偶函数，故A选项的函数为其定义域内的偶函数.
同理：
对C、D选项的均为其定义域内的偶函数，只有选项的为其定义域内的奇函数，从而排除选项B.
又，对A选项：，所以排除A.
而由图可知，对C选项：，，故排除C.
故选：D
9. 在正方体中，则下列判断错误的是（ ）
A. 平面B. 平面∥平面
C. 直线过的垂心D. 平面与平面夹角为
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，，进而得平面，从而判断A正确；
由∥∥，进而得平面∥平面，从而判断B；
由三棱锥为正三棱锥，可得直线过的垂心，从而判断C；
连接交于O点，连接，则可得为平面与平面的夹角，在中计算的值，从而判断D.
【详解】解：由，得平面,所以，
同理可得，所以平面，故A正确；
由∥∥，得平面∥平面，故B正确；
因为三棱锥为正三棱锥（或由两两垂直）得直线过的垂心，故C正确；
连接交于O点，连接，由，
得为平面与平面的夹角，
因为，故D错误．
故选：D.
10. 已知等比数列的公比，前n项和为，，，则（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式与的定义，联立方程解得和，进而求得.
【详解】设等比数列的首项为，公比为q，
由题意可得，即，
整理得，解得或（舍去），，
所以.
故选：B.
11. 记函数的极大值从大到小依次为、、、、，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数分析函数的单调性，求出函数的极大值点，利用极值的单调性可求出、，即可得解.
【详解】因为，其中，则，
令可得，且不是函数的极值点，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减.
所以，函数的极小值点为，极大值点为，
所以，函数的极大值为，
因为函数单调递减，故，，
因此，.
故选：C.
12. 半径为的球面上有四点，且直线两两垂直，若，，的面积之和为72，则此球体积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，，，则有，以、、为邻边可构造一个长方体，此时可知，然后由可得答案.
【详解】解：设，，，
因为直线两两垂直，若，，的面积之和为72，
所以，有，
以、、为邻边可构造一个长方体，则该长方体为此球的内接长方体，
所以，．
因为
所以，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以，此球体积的最小值为．
故选：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【解析】
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
14. 有一批产品，其中有2件正品和3件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为_______．
【答案】##0.7
【解析】
【分析】结合古典概型公式和组合公式，分两种情况讨论即可求解.
【详解】总的取法数有种，
当取两件次品时，取法有种；当取三件次品时，只有1种取法，
故从中任取3件，至少有2件次品概率为
故答案为：
15. 经过四个点，，，中三个点的圆的方程为______________.
【答案】或或
【解析】
【分析】数形结合根据题目中点的特殊性直接求出圆方程
【详解】如图所说，不妨设，
由三点组成的圆，圆心为，半径为，
故圆的方程为：；
由三点组成的圆，圆心为，半径为，
故圆的方程为：；
由三点组成的圆，圆心为，半径为，故圆的方程为：.
故答案为：或或
16. 若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论．
【详解】由偶函数的定义可得f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
即2ax=ln（e﹣3x+1）﹣ln（e3x+1）=lne﹣3x=﹣3x，
∴2ax＝－3x，∴a＝－
故答案为：－
【点睛】本题主要考查函数奇偶性应用，根据偶函数的定义得到f（﹣x）=f（x）是解决本题的关键，属于基础题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 在中，角对边分别为，，，已知，且，
（1）若，求；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由余弦定理公式，将代换为，即可求解；
（2）结合正弦定理先求出，再将代换出来，结合变形即可求证.
【小问1详解】
若,由余弦定理可得：，，
解得；
【小问2详解】
因为，，所以，
根据正弦定理得，，
又，所以，即
18. 如图，在三棱锥中，，，，D为棱AB上一点，，棱AC的中点E在平面PAB上的射影F在线段PD上.
（1）证明：平面PDE；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，根据线段长度可得，然后根据勾股定理逆定理可知，依据题意可知，最后根据线面垂直判定定理可知结果.
（2）使用等体积法，计算出，即可得到结果.
【详解】取的中点，如图
由，，所以且
又，所以，//，且，
因为为的中点，所以，则，
则，即，
又E在平面PAB上的射影F在线段PD上，则平面，所以
由,平面PDE，所以平面PDE
由（1）可知平面，所以，又，为的中点
所以，,平面，所以平面
又平面，所以，
由，所以
所以，由
所以，所以
由
【点睛】思路点睛：第（1）问利用线段长度得到，熟练线面垂直判定定理即可；第（2）问掌握等体积法的使用.
19. 应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”，2020年第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平总书记向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”.近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车宝鸡地区销售在2022年5月至2022年9月这5个月的销售量（单位：辆）的数据如下表：
（1）依据表中的统计数据，请判断月份代码与该品牌的新能源汽车宝鸡地区销售量（单位：辆）是否具有较高的线性相关程度?（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确度为0.01.）
（2）求销售量与月份代码之间的线性回归方程，并预测2022年11月份宝鸡地区的销售量（单位：辆）.（结果保留整数）
参考数据：，，，
参考公式：相关系数，
线性回归方程中，，，其中，为样本平均值.
【答案】（1）具有较高的线性相关程度
（2），87辆
【解析】
【分析】（1）根据所给数据算出相关系数即可；
（2）根据所给数据和公式算出答案即可.
【小问1详解】
由表中数据可得 ，
所以 ,又，，
所以.
所以月份代码与销售量（单位: 辆）具有较高的线性相关程度，可用线性回归模型拟合销售量与月份代码之间的关系；
【小问2详解】
由表中数据可得，
则，所以，
令，可得(辆)，
故可预测2022年10月该品牌的新能源汽车该区域的销售量为辆.
20. 已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，,,中恰有两点在上.
（1）求C的方程；
（2）两点在上，且直线,的斜率互为相反数，直线,分别与直线交于,两点，证明：
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分类讨论并利用待定系数法可求出结果；
（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，通过联立方程组求出的坐标，然后利用两点间的距离公式可证等式成立.
【小问1详解】
因为圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，所以椭圆方程为标准方程，设为，
若两点在上，则有，不合题意；
若两点在椭圆上，则无解；
若两点在椭圆上，则，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
直线，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
设，，
联立消去并整理得，
则，即，
同理可得，
所以，
，
所以，，
联立，得，则，
联立，得，则，
所以，
，
，
，
所以，
所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：第（2）问中，联立方程组求出的坐标，再根据两点间的距离公式证明是解题关键.
21. 设.
（1）证明：；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）设，，根据函数的单调性证明结论成立；
（2）通过讨论的范围，求出函数的导数，根据函数的单调性确定的取值范围即可．
【详解】（1）由题意可设，有，所以在（0，1）单减，
所以，即，
设，，
，则有，单调递增，得，所以得证；
（2）由（1）可知时，成立，
则当时，设，则，，单调递增，
则，
①若，，单调递减，则有，此时不符合题意；
②若，，，所以有唯一零点，可记为，
则，，此时单调递减，有，则不符合题意；
综上可知，即的取值范围为.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）若曲线C与直线l交于A，B两点，且，求直线l的斜率．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）消元，得到普通方程；（2）先求出直线l的参数方程，再联立曲线方程，利用韦达定理及直线参数方程中的几何意义求解.
【小问1详解】
由得：，由得：，则曲线C的普通方程为.
【小问2详解】
由可得，直线l的参数方程为，将其代入中得：，由韦达定理得：，，由可得：，所以，则，，直线l的斜率为.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知，，，且.
（1）求证：；
（2）若不等式对一切实数，，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）对应用基本不等式可证；
（2）由（1）只要解不等式，根据绝对值的定义分类讨论求解．
【小问1详解】
，
所以，当且仅当时等号成立
【小问2详解】
由（1）可知对一切实数，，恒成立，
等价于，
令，
当时，，
当时，，舍去，
当时，，即或.
综上所述，取值范围为.月份
2022年5月
2022年6月
2022年7月
2022年8月
2022年9月
月份代码：
1
2
3
4
5
销售量：
45
56
64
68
72