湖南省郴州市原创试题评比参评2022届高三高考模拟数学试题（安仁一中命制）（解析版）

这是一份湖南省郴州市原创试题评比参评2022届高三高考模拟数学试题（安仁一中命制）（解析版），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
郴州市2022届高三数学学科原创试题评比参评数学试卷（原卷）一、单项选择题（本题共8小题，每小题只有一个正确选项）1. 若集合，，则（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由分式不等式的解法与交集的概念求解【详解】由得，得，则，故选：B2. 已知复数，则＝（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】解法一：根据复数除法运算求，再由模长公式求解.解法二：复数模长的性质计算： 【详解】解法一（运算量大）：，∴　．解法二（运算量小，容易）：　. 故选：D3. 已知圆锥的轴截面是一个正三角形，则其侧面积与轴截面面积之比是（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】分别计算侧面积和面积作比即可.【详解】设底面圆的半径为，则母线长为，得侧面积是 轴截面是一个正三角形，边长为，则其面积 .所以面积之比是.故选：B4. 函数的图像的一条对称轴为（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由倍角公式和辅助角公式化简，令，即可得出答案.【详解】令，解得.故选：C.5. 如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是离心率为的双曲线的右支与轴及平行于轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕轴旋转一周得到的几何体，若P为C右支上的一点，F为C的左焦点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（   ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的离心率求得双曲线的方程，求得双曲线右焦点到渐近线的距离，结合双曲线的定义求得所求的最小值.【详解】由题意可知，，双曲线方程为，一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为，，与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为，所以与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为.故选：C6. 中已知且，则（   ）A. -2 B. 2 C. -1 D. 1【答案】B【解析】【分析】根据进行化简整理即可求得的值.【详解】由题意得，则有 整理得：， 故选：B7. 过点作曲线的切线有且只有两条，则b的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】设切点，进而求得切线方程，进而得到，构造函数分析的单调性与取值范围即可判断有且仅有两根时b的取值范围即可【详解】设切点为，，故过的切线方程为，即.故有且仅有两根.设，则，令则，令则，且，又当时，，.故有且仅有两根则b的取值范围为故选：A8. 某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛．决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束．若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．则（　　）A. 甲获得冠军的概率最大B. 甲与乙获得冠军的概率都比丙大C. 丙获得冠军的概率最大D. 甲、乙、丙每人获得冠军的概率都一样大【答案】C【解析】【分析】根据比赛进行的场次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式，求得甲、乙、丙三人获得冠军的概率，从而确定正确答案.【详解】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．（1）甲获得冠军有两种情况：①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为．②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况：胜胜胜负胜，胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为，，，．因此，甲最终获得冠军的概率为．（2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为．（3）丙获得冠军，概率为，∴　丙获得冠军的概率最大.故选：C二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9. 下列说法正确的是（   ）A. 系统抽样在起始部分抽样时不能采用简单随机抽样；B. 标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差越大，数据的离散程度就越大；C. 用相关系数判断线性相关强度，当越接近于1，变量的线性相关程度越强；D. 相对样本点的随机误差是.【答案】BC【解析】【分析】根据系统抽样的概念、标准差与离散程度的关系、变量间的线性关系和随机误差的定义即可判断.【详解】系统抽样在起始部分抽样时就是采用简单随机抽样,故A错误；标准差越大，数据的离散程度就越大, 标准差越小，数据的离散程度就越小,故B正确;当越接近于1，变量的线性相关程度越强, 当越接近于0，变量的线性相关程度越弱,故C正确;相对样本点的随机误差是,故D错误.故选:BC.10. 下列说法正确的是（   ）A. B. 非零向量和，满足且与同向，则C. 非零向量满足D. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是【答案】AC【解析】【分析】选项A，根据向量的数量积运算律判断；选项B，由向量与向量间不能比较大小判断；选项C，由平方判断；选项D数量积大于零，且不共线求解判断【详解】A. 由向量的数量积的运算律知：，故正确；B.由向量与向量间不能比较大小知，错误；C.由两边平方得：，则 ，故正确；D.已知，，且与的夹角为锐角，则，且与不共线，则，解得 ，故错误；故选：AC11. 在平面直角坐标系中，已知，，，光线从A点发出经线段BC反射与圆相交，则相交弦长度可以（   ）A 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】CD【解析】【分析】根据光线反射设反射光线所在的直线方程，利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离并求其取值范围，再根据垂径定理求相交弦长的取值范围，分析判断.【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，作关于轴的对称点，光线从A点发出经线段BC反射光线所在的直线等价于过点与线段BC有交点的直线，则，∵直线的斜率存在，设为，则，∴直线：，即，则圆心到直线的距离，当，即时，则；当，即时，令，则，∴，∵，则，，∴；综上所述：，故相交弦长度，又∵，则相交弦长度可以是.故选：CD.12. 如图，在梯形ABCD中，，，E在线段BC上，且BE=2EC，现沿线段AE将ABE折超，折成二面角，在此过程中：（     ）A. B. 三棱锥B—AED体积的最大值为6C. 若G，F是线段AE上的两个点，GE=1，AF=，则在线段AB上存在点H，当AH=1时，HF//BGD. 【答案】AB【解析】【分析】对于A，通过证明面来得到；对于B，推出当时，最大，利用体积公式求解即可；对于C，通过得到来判断；对于D，通过推出AD，AE是两相交线来判断.【详解】对于A，如图，延长DC，AE相交于K点易得，得，所以，得四边形ABKD是为正方形.连接BD交AK于M点，则.则，.在翻折过程中始终有，，面平面所以面平面，，故A正确.对于B，，当时，最大，又此时，，故B正确.对于C，在选项A的正方形ABKD中，，则，故点为中点，则，所以为中点，若，则H为AB的中点，所以，故C错误.对于D，利用选项中图像和结论来解答若成立，又，，面，面面，又面，，即，，与矛盾，故D错误.故选：AB.三、填空题.（共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知是定义在上的偶函数，则________.【答案】【解析】【分析】利用偶函数定义可构造方程求得，代入解析式中，求得后，代入即可.【详解】为上的偶函数，，即，，解得：，，，.故答案为：.14. 已知圆C：，直线：，则下列判断正确的是（    ）A. 的取值范围为B. 若圆C被直线平分，则C. 不存在实数，使得直线与圆C相切D. 若，则直线与圆C相交所得的弦长为8【答案】ABD【解析】【分析】变换得到，解得范围得到A正确，将圆心代入直线得到，B正确，根据相切得到，解得答案，C错误，根据弦长公式计算得到D正确，得到答案.【详解】方程，即，表示圆的条件为：，解得或，A正确；圆C被直线平分，则直线过圆心，解得，B正确；圆心到直线的距离为，解得时，直线与圆相切，所以选项C错误．时，圆C的方程为，圆心到直线的距离为，半径为，弦长为2，D正确.故选：ABD15. 的两个极值点满足，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】由已知函数求导，令则可得，代入极值点后两式作商，可得到的关系，作商得到的结果指对互换，便可解出，根据题目所求，代入后便可构造新的函数，通过求导可求得最小值.【详解】由函数，，则，因为函数两个极值点，则①，②，得③，设，则且，代入③得，设，则，设，则，在单调递减，，从而，在单调递减，，故的最小值为.故答案为：【点睛】求函数最值，通常是对所求函数求导，当一阶导数不能确定极值点时，可二阶求导确定导函数的单调性和零点，可得到原函数的单调区间，进而求得原函数的最值.16. 弓琴，是弓琴弹拨弦鸣乐器（如下左图）.历史悠久，形制原始，.它脱胎于古代的猎弓，也可以称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖.古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸.古代传说将“琴”的创始归于伏羲，也正由于他是以渔猎为生的部落氏族首领.在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”. 常用于民歌或舞蹈伴奏.流行于台湾原住民中的布农、邹等民族聚居地区.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔， 其正视图即为一椭圆面，它有多条弦， 拨动琴弦，发音柔弱，音色比较动听，现有某专业乐器研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳.如下右图，是一弓琴琴腔下部分的正视图.若按对称建立如图所示坐标系，恰为左焦点，均匀对称分布在上半个椭圆弧上(在上的投影把线段八等分)， 为琴弦，记，数列前n项和为，椭圆方程为，且，则的最小值为_____【答案】【解析】分析】设（），由焦半径公式有，由对称性得，由题意有成等差数列，从而可求得，这样求得后再由基本不等式得最小值．【详解】设，得，为等差数列，=，由题意的横坐标把八等分,所以,，又，所以，故，当且仅当时取等号.故答案为：．【点睛】本题是新文化试题，解题关键是理解题意，从诸多信息中提取有用的数学信息，然后应用数学知识解题．题中椭圆、焦点，提示我们求需用椭圆的焦半径公式，再结合对称性，易求得其和，从而表示出，第二步才联想到需要利用基本不等式中“1”的代换求最小值．四、解答题：写出必要的解题步骤或文字说明.（本题共6小题，第17题10分，其余各题每小题12分，共70分）17. 已知数列中，前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）如果恒成立，求最小值.【答案】（1）    （2）3【解析】【分析】（1）由得，两式相减将转化为可得到数列是等比数列；（2）使用错位相减求和法求出，解不等式即可.【小问1详解】①，②，①-②得，即所以数列是以为公比的等比数列，又，即，所以 【小问2详解】，则所以，两式相减，得得所以，解不等式得18. 农历五月初五是我国的传统节日——端午节，为纪念伟大的爱国诗人屈原，民间有吃粽子的习惯，粽子也就成为了我们生活中的一种美食.设一盘中装有6个粽子，其中豆粽、肉粽、白粽各2个，这三种粽子的外观完全相同．小明从中任取2个吃，吃完这2个，若是吃到了肉粽就不再吃了；若是还没吃到肉粽，就再从剩下的4个中任取1个吃，吃完这个不管是否吃到肉粽都不再吃了.（1）求小明吃到肉粽的概率；（2）设X表示取到的肉粽个数，求X的分布列与数学期望．【答案】（1）    （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据先吃的两个有无肉粽计算出迟到肉粽的概率.（2）根据吃到肉粽的个数以及古典概型概率计算公式计算出分布列并求得数学期望.【小问1详解】小明吃到肉粽的概率为.【小问2详解】∵　X的所有可能取值为0，1，2，且，，．∴X的分布列为Ｘ012．19. 在内角A，B，C所对应的边分别为已知（1）求角C的大小.（2）若，求的最大值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由二倍角和两角和与差的余弦公式化简等式，即可求出角C的大小；（2）由余弦定理和基本不等式可求出再由三角形面积公式即可得出答案.【小问1详解】由倍角公式知原式可化为即整理得：，即所以，故【小问2详解】由余弦定理和基本不等式可得：，即即当且仅当时，等号成立..即20. 在正方体，，点F中点，点E为中点（1）若G点是正方形内的动点（含边界），G点运动时，始终保持，求G点运动轨迹的长度.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）取的中点为H，连接，连接，连接，通过线面平行的证明可证平面，同理可证平面，得到平面平面，判断G点运动轨迹为线段，进而求解；（2）以A为坐标原点，AB直线为轴，AD直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，写出坐标，结合向量法即可求解.【小问1详解】取的中点为H，连接，连接，连接.分别为的中点，，又，，四边形是平行四边形，得，而，所以四边形也是平行四边形，，而平面，平面，连接，同理可证平面，又，平面平面，又G点运动时，始终保持，得，G点运动轨迹为线段，其长度为；【小问2详解】如图，以A为坐标原点，AB直线为轴，AD直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，得，令平面AEC的法向量为，则，可得，令，得，又，==，因为直线与平面所成角为锐角，所以直线与平面所成角的正弦值为.21. 已知椭圆C：的右顶点为，过左焦点F的直线交椭圆于M，N两点，交轴于P点，，，记，，（为C的右焦点）的面积分别为.（1）证明：为定值；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）首先得到椭圆方程为，设点，利用向量关系得到，，再联立椭圆与直线方程得，则，再整体代换得定值.（2），，，结合（1）中向量式得，再代入有，联立解得，再结合的范围，利用导数或是对勾函数性质求出其范围.【小问1详解】由题意得，左焦点F，，所以椭圆C的标准方程为：.设，显然，令，，则，则，，由得，解得，同理.联立，得.，从而（定值）【小问2详解】结合图象，不妨设，，，，由得代入，有，则，解得，，设，则，则，则，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，则，且，则，则.【点睛】方法点睛：对于解析几何中共线向量系数和定值问题，我们常用设线法，与圆锥曲线联立得到韦达定理式，将比例和用韦达定理的式子表示出来再整体代入计算，也可以通过构造关于和的一元二次方程，利用两根之和直接得到答案.结论点睛： 定比分点坐标公式：若点,则点的坐标为22. 已知且在上单调递增，.（1）当取最小值时，证明恒成立.（2）对，，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）首先利用条件可得在恒成立，参变分离后可得，代入后构造函数解不等式即可；（2）根据题意只需不等式左边的最小值小于等于右边的最小值即可，利用导数即可求得在上的最小值为，即证，使得成立，即成立，参变分离后再构造函数即可得解.【小问1详解】由题意可知在上恒成立，参变分离得，，此时.设，，令，令，在上单调递增，在上单调递减.恒成立，【小问2详解】，当时，，，在单调递增；当时，，，在单调递减；，，，在上的最小值为.易知为偶函数，由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为由题意可得，使得成立，即成立.由（1）可知，参变分离得，设，，即只需即可.由（1）知得，令，令，在上单调递减，在上单调递增.，，又已知.故的取值范围为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了恒成立问题和存在性问题，同时考查了数形结合、化归转化思想，计算量比较大属于难题.本题的关键点有：（1）利用函数的单调性转化为恒成立问题求参数据范围；（2）利用参变分离解决能成立和恒成立问题；（3）构造函数解决最值问题.