2022-2023学年湖南省邵阳市武冈市高三上学期期中考试数学试题（有答案）

2022年下学期期中考试试卷

高三数学

本试卷分为问卷和答卷.考试时量为120分钟，满分150分.请将答案写在答题卡上.

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1. 若集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

4. 如图，函数图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为．若，则A的值等于（    ）

A.  B.  C.  D. 2

5. 已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定

6. 已知与满足：，，，则（    ）

A. 是钝角三角形，是锐角三角形

B. 是锐角三角形，是钝角三角形

C. 两个三角形都是锐角三角形

D. 两个三角形都是钝角三角形

7. 设函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 若，，，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 下面命题正确的是（    ）

A. “”是“”的充分不必要条件

B. “”是“函数为奇函数”的充分不必要条件

C. 中，是为锐角三角形的必要不充分条件

D. 已知偶函数在上单调递增，则对实数，，“”是“”的充分不必要条件

10. 已知实数，，满足，则下列说法正确是（    ）

A.  B.

C.  D. 的最小值为4

11. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 为函数的一个周期

B. 直线是函数图象的一条对称轴

C. 函数在上单调递增

D. 函数有且仅有2个零点

12. 已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（    ）

A.  B. .

C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13. 则______．

14 已知函数，若时，取得极值0，则___________.

15. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则__________．

16. 已知数列满足（），设数列的前项和为，若，，则___________.

四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明及演算步骤）

17. 已知等差数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）若等比数列的前n项和为，且，，，求满足的n的最大值．

18. 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，平面，，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

19. 如图，在平面四边形中，的面积是的面积的倍．，，．

（1）求的大小；

（2）若点在直线同侧，，求的取值范围．

20. 已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于,求证：直线经过定点.

21. 在检测中为减少检测次数，我们常采取“合1检测法”，即将个人样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个人再做检测．现有人，已知其中有2人感染病毒．

（1）若，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；

（2）设采取“5合1检测法”总检测次数为，采取“10合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．

22. 已知函数有三个极值点，

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：

2022年下学期期中考试试卷

高三数学

本试卷分为问卷和答卷.考试时量为120分钟，满分150分.请将答案写在答题卡上.

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1. 若集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

2. 若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

3. 欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】B

4. 如图，函数图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为．若，则A的值等于（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】B

5. 已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ）

A 1 B. 2 C. 3 D. 不确定

【答案】C

6. 已知与满足：，，，则（    ）

A. 是钝角三角形，是锐角三角形

B. 锐角三角形，是钝角三角形

C. 两个三角形都是锐角三角形

D. 两个三角形都是钝角三角形

【答案】A

7. 设函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】B

8. 若，，，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 下面命题正确的是（    ）

A. “”是“”的充分不必要条件

B. “”是“函数为奇函数”的充分不必要条件

C. 中，是为锐角三角形的必要不充分条件

D. 已知偶函数在上单调递增，则对实数，，“”是“”充分不必要条件

【答案】ACD

10. 已知实数，，满足，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 的最小值为4

【答案】ABC

11. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 为函数的一个周期

B. 直线是函数图象的一条对称轴

C. 函数在上单调递增

D. 函数有且仅有2个零点

【答案】AB

12. 已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（    ）

A.  B. .

C.  D.

【答案】ACD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13. 则______．

【答案】

14. 已知函数，若时，取得极值0，则___________.

【答案】

15. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则__________．

【答案】

16. 已知数列满足（），设数列的前项和为，若，，则___________.

【答案】

四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明及演算步骤）

17. 已知等差数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）若等比数列的前n项和为，且，，，求满足的n的最大值．

【答案】（1）   

（2）10

【解析】

【分析】(1)设等差数列公差为d，根据已知条件列关于和d的方程组即可求解；

(2)设等比数列公比为q，根据已知条件求出和q，根据等比数列求和公式即可求出，再解关于n的不等式即可.

【小问1详解】

由题意得，解得，

∴．

【小问2详解】

∵，，

又，∴，公比，∴，

令，得，

令，所以n的最大值为10．

18. 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，平面，，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，从而得到线面平行；

（2）作出辅助线，找到异面直线与所成角，利用余弦定理求出余弦值.

【小问1详解】

证明：连接，交的于，连接，

则为的中点，

因为分别是，的中点，

，

平面，平面，

平面；

【小问2详解】

由（1）得：，

（或其补角）就是异面直线与所成的角，

∵三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，

∴，，，

∴

由余弦定理得：，

故异面直线与所成角的余弦值为.

19. 如图，在平面四边形中，的面积是的面积的倍．，，．

（1）求的大小；

（2）若点在直线同侧，，求的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）设，利用给定的面积关系结合三角形面积定理，利用二倍角正弦化简求解.

（2）由（1）求出AC，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换、正弦函数性质求解作答.

【小问1详解】

设，则，

因，，，

则，而，，

则有，即，又，，因此，，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，，连AC，有，则，

而，中，由正弦定理有，

，，，

又，令，则，，

因此，

因，则，有，

即，，

所以的取值范围为．

20. 已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于,求证：直线经过定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【详解】（1）由已知得，即，

所以的轨迹为双曲线的右支，且，，，，

∴，

曲线的标准方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，，，，则直线经过点；

当直线的斜率存在时，不妨设直线，，，

则直线：，当时，，，

由得，

所以，，

下面证明直线经过点，即证，即，

即，由，，

整理得， ，即恒成立.

即，即经过点，

故直线过定点.

【点睛】本题考查了利用定义求圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，直线过定点问题，综合性强，需要很好的思维和计算能力，属于难题.

（1）根据题意，判断出动点的轨迹方程为双曲线的右支，然后根据定义即可求得双曲线的方程.

（2）讨论当直线斜率存在与不存在两种情况下直线过定点问题.当斜率不存在时，易得直线过定点的坐标为；当斜率存在时，设出直线方程，联立曲线方程，消y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两个交点横坐标间的关系；利用，再证明直线BM经过.

21. 在检测中为减少检测次数，我们常采取“合1检测法”，即将个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个人再做检测．现有人，已知其中有2人感染病毒．

（1）若，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；

（2）设采取“5合1检测法”的总检测次数为，采取“10合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．

【答案】（1）   

（2）当时，采取10合1检测法更适宜；理由见解析

【解析】

【分析】（1）平均分为5组，共检测15可知2个感染者分在同一组，计算所求概率；

（2）分类讨论感染者分在同一组和分在不同小组，计算两种方案总检测次数的期望值，进行比较得出结论.

【小问1详解】

现共有50人，由题意先平均分为5组，检测5次，因为共检测15次，所以两个感染者必定分在同一组中，所以共检测15次的概率有两种算法，第一种是分组分配思想，第二种是算一组已经有一名感染者的情况下，选中另一名感染者，即两种算法结果为和，结果均为；

所以k＝5，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率为.

【小问2详解】

当感染者在同一组时，，，

此时，，

当感染者不在同一组时，，，

此时，，

所以，

，

由题意，

综上：时，采取10合1检测法更适宜．

22. 已知函数有三个极值点，

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：.

【答案】（1）且；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）函数有3个零点等价于有3个变号零点，由于，且，所以可得有两个不为0，－1实根，再对求导讨论其单调性可得结果；

（2）由（1）可知有一个零点为0，所以不妨设，，而，所以，因此要证，即证而，，而在上递减，，所以只需证，即，然后构造函数，只需证此函数值恒大于零即可.

【详解】解：（1）利用的极值点个数即为的变号零点个数

，，设，

由已知，方程有两个不为0，－1的实根，

当时，在上递增，至多一个实根，故

所以在上递减，在上递增，

因为，

所以时，有两个实根，

解得且

（2）由（1）不妨设，，∵，∴.

要证，即证而，

由在上递减，在上递增，且

故只要证，又，故只要证

即证

设

∴

∴递增，∴

即

∴

【点睛】此题考查函数的极值点问题，极值点偏移问题，利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立等，考查了数学转化思想，属于较难题.