高考数学一轮复习配套课件 第九章 第九节 第3课时 圆锥曲线的最值、范围及探索性问题

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(2)求S△ABM的最大值．
反思感悟　几何方法求解圆锥曲线中的最值(范围)问题，即通过圆锥曲线的定义、几何性质将最值转化，利用平面几何中的定理、性质，结合图形的直观性求解最值问题，常用的结论有：(1)两点间线段最短；(2)点到直线的垂线段最短．
(2)若A、B分别为椭圆C的右顶点与上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆C相交于M、N两点，求四边形AMBN的面积的最大值及此时k的值．
反思感悟　首先需要根据题目的条件和结论找出明确的函数关系，建立起目标函数，常用基本不等式法求解.
(2)过P作与直线l垂直的直线m交抛物线E于C，D.求四边形ACBD面积的最小值．
反思感悟　把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数解析式，然后利用函数的思想、不等式的思想等进行求解．
【对点训练】1．已知直线l：y＝kx＋t与圆C1：x2＋(y＋1)2＝2相交于A，B两点，且△C1AB的面积取得最大值，又直线l与抛物线C2：x2＝2y相交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是________________________．
2．[2022·河南高三月考]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，当A，B两点的纵坐标相同时，|AB|＝4.(1)求抛物线C的方程；
(2)若P，Q为抛物线C上两个动点，|PQ|＝m(m>0)，E为PQ的中点，求点E纵坐标的最小值．
(2)点P(4，0)是x轴上的定点，直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，已知A关于y轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为N，已知P、M、N三点共线，试探究直线l是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
反思感悟　求解存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.
(2)若直线l过点F交双曲线C1的右支于M，N两点，设直线AM，BN斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
微专题36 解析几何中减少运算量的常见技巧
技巧一　解析几何中的“设而不求”“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．
名师点评　本题巧妙使用了抛物线的定义，从而得出根与系数的关系．
类型二　中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法[例2]　△ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2，2)，△ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC边所在直线的方程为_______________．
名师点评　本题使用点差法，巧妙地表达出弦的中点坐标和弦的斜率的关系，从而快速解决问题．
类型三　求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求[例3]　已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．
名师点评　本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍．
名师点评　此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可以简化计算．
技巧三　巧用“根与系数的关系”，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程，求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系，后者往往计算量小，解题过程简捷．
(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
技巧四　巧妙“换元”减少运算量变量换元法的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化，变量换元化常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题．
(2)已知直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．