福建省泉州第九中学、泉州东海中学、泉州外国语中学2022-2023学年八年级上学期期中质量监测数学试题(含答案)

福建省泉州第九中学、泉州东海中学、泉州外国语中学2022-2023学年八年级上学期期中质量监测数学试题

一、选择题

1. 下列运算正确的是(   )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂相除，逐项判断即可求解．

【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；

B、，故本选项错误，不符合题意；

C、，故本选项错误，不符合题意；

D、，故本选项正确，符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂相除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

2. 若，那么的值是（　　）

A. 6 B. ﹣6 C. 1 D. ﹣1

【答案】B

【解析】

【分析】先计算，再利用多项式的恒等可得答案．

【详解】解：，

∴

∴

故选：B

【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，掌握“多项式乘以多项式的乘法运算法则”是解本题的关键．

3. △ABC中，AB＝AC，顶角100°，则一个底角等于（　　　）

A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°

【答案】A

【解析】

【详解】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求解．

【分析】解：∵△ABC中，AB＝AC，顶角是100°，

∴一个底角等于（180°﹣100°）÷2＝40°．

故选：A．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

4. 下列式子中，是因式分解的（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．

【详解】A项，等式右边不是积的形式，故不是因式分解，故本项不符合题意；

B项，等式右边不是积的形式，故不是因式分解，故本项不符合题意；

C项，等式右边不是积的形式，故不是因式分解，故本项不符合题意；

D项，采用了完全平方公式进行因式分解，故本项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解答本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．

5. 如图，AB=AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△ADC的是（    ）

A. ∠BAC=∠DAC  B. ∠BCA=∠DCA C.  CB=CD  D. ∠B=∠D=90°

【答案】B

【解析】

【分析】要判定△ABC△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．

【详解】解：A、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC△ADC，故该选项不符合题意；

B、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC△ADC，故该选项符合题意；

C、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC△ADC，故该选项不符合题意；

D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC△ADC，故该选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

6. 下列命题是真命题的是（    ）

A. 相等的角是对顶角 B. 垂线段最短

C. 同位角相等 D. 无限小数是无理数

【答案】B

【解析】

【分析】根据对顶角的定义、垂线段的性质、同位角以及无理数的概念进行判断．

【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，该选项不符合题意；

B、垂线段最短，正确，该选项符合题意；

C、两直线平行，同位角相等，原说法错误，该选项不符合题意；

D、无限循环小数是有理数，不是无理数；无限不循环小数是无理数，原说法错误，该选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，掌握相关概念与性质是正确判断命题真假的关键．

7. 如图，在 中，和的平分线交于点，过点作MNBC 分别交，于，，则 的周长为（     ）

A.  B.  C.  D. 不确定

【答案】B

【解析】

【分析】利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠AMN＝2∠MBE，结合三角形外角的性质即可得出∠MBE＝∠MEB，进而可得MB＝ME，同理可得出NC＝NE，再利用三角形的周长公式即可求出△AMN的周长．

【详解】解：∵MNBC，

∴∠AMN＝∠ABC，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠MBE，

∴∠AMN＝2∠MBE，

∵∠AMN＝∠MBE＋∠MEB，

∴∠MBE＝∠MEB，

∴MB＝ME，

同理，NC＝NE，

∴的周长＝AM＋ME＋NE＋AN＝AM＋MB＋NC＋AN＝AB＋AC＝9．

故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质以及三角形的周长，利用等腰三角形的性质得出MB＝ME、NC＝NE是解题的关键．

8. 已知a2-3a+1=0，则(a+1)(a-4)的值为（    ）

A. 不确定 B. 5 C. -3 D. -5

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用已知得出a2-3a=-1，再利用多项式乘法去括号进而求出答案．

【详解】∵a2-3a+1=0，

∴a2-3a=-1

∴(a+1)(a-4)

=a2-3a-4

=-1-4

=-5．

故选：D．

【点睛】本题考查了多项式乘以多项式以及代数式求值，正确利用整体思想代入是解题的关键．

9. 如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知，是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是(   )

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质，分别以A、B、C为顶点进行查找符合条件的点的个数即可；

【详解】如图：

分三种情况：

当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，则点，，即为所求；

当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，则点，，即为所求；

当时，作的垂直平分线，则点，即为所求；

综上所述：符合条件的点的个数是8，

故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形，掌握并熟练使用相关定理，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．

10. 如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为（　　）

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

【答案】B

【解析】

【分析】先求出大长方形的长=2x+y，大长方形的宽=x+2y再，根据阴影部分的面积=大长方形的面积-5个小长方形的面积，以及大长方形的周长等于42，列出含有x和y的等式，通过变形得出小长方形的面积，即xy的值，从而求出结果．

【详解】解：由题意知，大长方形的长＝2x+y，

大长方形的宽＝x+2y，

则大长方形的周长＝2[（2x+y）+（x+2y）]＝42，

化简得x+y＝7，

∵阴影部分面积＝大长方形的面积﹣5个小长方形的面积，

∴54＝（2x+y）（x+2y）﹣5xy，

化简得，

∵大长方形的周长＝2[（2x+y）+（x+2y）]＝42，

化简得x+y＝7，

∴，

即，

把代入得，

27+2xy＝49，

解得xy＝11，

则一张小长方形的面积＝xy＝11．

故选：B．

【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式的变形求值，解题的关键是通过观察图形特点并结合已知条件列出代数式，运用完全平方公式求解．

二、填空题

11. 已知，则am+n的值是______．

【答案】20

【解析】

【分析】根据同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，可得答案．

【详解】解：，

故答案为：20．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法公式是解题的关键．同底数幂的乘法：底数不变，指数相加．

12. 已知，，则的值是______．

【答案】5

【解析】

【分析】直接平方差公式求出即可．

【详解】解：，，

．

故答案为：5．

【点睛】本题主要考查平方差公式：，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．熟记公式结构是解题的关键．

13. 已知△ABC≌△DEF，顶点A、B分别对应顶点D、E，若 ，则∠F=____

【答案】80°##80度

【解析】

【分析】根据全等三角形的性质求出∠D、∠E，根据三角形内角和定理即可得出答案．

【详解】∵△ABC≌△DEF，顶点A、B分别对应顶点D、E， ，

∴∠D=，∠E=，

∴在中，．

故答案为：80°．

【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键．

14. 已知等腰三角形ABC的两边长a、b满足，则等腰三角形ABC的周长为_________

【答案】10或11##11或10

【解析】

【分析】根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论求解．

【详解】解：∵，

∴，

解得：，

当等腰三角形ABC的三边为3，3，4时，周长为3+3+4=10；

当等腰三角形ABC的三边为3，4，4时，周长为3+4+4=11；

综上所述，等腰三角形ABC的周长为10或11．

故答案为：10或11

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系，解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解．

15. 如图，中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数为__________．

【答案】##46度

【解析】

【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解．

【详解】解：∵将绕点顺时针旋转，，

∴，，

∴，

∴

，

∴的度数为．

故答案为：．

【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质．理解和掌握旋转的性质是解题的关键．

16. 如图，在中，，，是的平分线且，若、分别是、上的动点，则的最小值是______．

【答案】

【解析】

【分析】由是的平分线，在线段上，作点Q关于的对称点E，连接，过点C作于点F，则当C、P、E三点共线且与重合时，取得最小值；由等腰三角形的性质及勾股定理可求得的长，再利用面积关系即可求得的最小值为的长．

【详解】解：如图，由是的平分线，在线段上，作点Q关于的对称点E，连接，过点C作 于点F，

，是的平分线 ，，

，关于直线对称，，

∵点Q、点E关于对称

∴ ，

∴，

当C、P、E三点共线且与重合时，取得最小值，且最小值为线段的长，

在中，由勾股定理得：，

∵，

∴，

即 的最小值为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，勾股定理等知识，作点Q的对称点是本题的关键与难点所在．

三、解答题

17. 因式分解：

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先提取公因式3，再用完全平方公式进行因式分解即可；

（2）先提取公因式（x-y），再用平方差公式进行因式分解即可；

【小问1详解】

解：原式

【小问2详解】

解：原式

【点睛】本题主要考查了用提取公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的步骤运用乘法公式进行因式分解是解题的关键．

18. 已知：如图，点B、E、F、D同一直线上，，BE＝DF，∠A＝∠C．求证：AE＝CF．

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据AAS直接证明△ADE≌△CBF，即可求证．

【详解】证明：∵BE＝DF，

∴BF＝DE，

∵，

∴∠B＝∠D，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（AAS），

∴AE＝CF．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．

19. 先化简，再求值，其中．

【答案】，

【解析】

【分析】先算完全平方公式和单项式乘多项式，再合并同类项，最后代入求值即可．

【详解】解：

；

当时，原式．

【点睛】本题考查整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式和单项式乘多项式以及合并同类项的法则是解题的关键．

20. 如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且．

（1）求证：≌；

（2）若，求的度数．

【答案】（1）见详解    （2）75°

【解析】

【分析】（1）可根据“HL”判断Rt△ABE≌Rt△CBF；

（2）由AB=CB，∠ABC=90°，可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠BAC=∠BCA=45°，可得到∠BAE=15°，再根据Rt△ABE≌Rt△CBF得到∠BCF=∠BAE=15°，然后根据∠CFA=90°-∠FCB进行计算．

【小问1详解】

证明：如图，

∵∠ABC=∠CBF=90°，

∴在Rt△ABE和Rt△CBF中

，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；

【小问2详解】

解：∵AB=CB，∠ABC=90°，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

∵∠CAE=30°，

∴∠BAE=45°-30°=15°，

∵Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠BCF=∠BAE=15°，

∴∠CFA=90°-15°=75°．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．

21. 先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题：

例：解不等式．

解：∵，

∴原不等式可化为．

由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得：

①  ，或②．

解不等式组①得，解不等式组②无解，

∴原不等式的解集为．

请你模仿例题的解法，解决下列问题：

（1）不等式解集为               ；

（2）不等式解集为               ；

（3）拓展延伸：解不等式．

【答案】（1）或；   

（2）；   

（3）．

【解析】

【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可；

（2）利用提公因式法进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可；

（3）根据有理数的乘除法法则，异号得负，对分子和分母的符号进行讨论，列出对应不等式组，即可得出答案．

【小问1详解】

∵，

∴原不等式可化为 ，

由有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，得

① ②，

解不等式组①得， 解不等式组②得：

∴原不等式 解集为或；

【小问2详解】

解：∵，

∴原不等式可化为 ，

由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得

① ②

解不等式组①无解，解不等式组②，得，

∴原不等式的解集为；

【小问3详解】

由有理数除法法则：两数相除，异号得负，且分数的分母不为0，得

① ②

解不等式组①无解，解不等式组②，得，

∴原不等式的解集为．

【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用和因式分解，解题关键是深刻理解“两数相乘，同号得正，异号得负”以及 “两数相除，同号得正，异号得负”，转化题目不等式为不等式组．

22. 如图所示，从边长为的正方形中剪掉边长为a的正方形，剩余部分为2个长方形和1个小正方形，据此回答下列问题：

（1）用如图所示图形验证的乘法公式是：_____________________________；

（2）运用（1）中的等式，计算：的值为___________；

（3）运用（1）中的等式，若，求的值．

【答案】（1）   

（2）16    （3）7

【解析】

【分析】（1）根据图形剪切过程，可用代数式表示图中阴影部分的面积即可；

（2）根据（1）中的等式进行计算即可；

（3）将变形为，两边同时平方可得结论．

【小问1详解】

用如图所示图形验证的乘法公式是：

故答案为

【小问2详解】

∵

∴

∴

=

=16

故答案为：16

【小问3详解】

∵

∴，即

∴

∴

∴

【点睛】本题考查完全平方差公式的几何背景，根据图形剪切过程用代数式表示拼图前后阴影部分的面积是正确解答的关键．

23. 如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与重合），连接作，交线段于点E．

（1）当等于多少时，，请说明理由；

（2）点D在运动过程中，当等于多少度时，是等腰三角形．

【答案】（1）2；（2）30°或60°

【解析】

【分析】(1)利用三角形的外角定理可得：,进而得出,当时，;

(2) 是等腰三角形应该分情况去讨论：①,②,③时分别求出各种情况时的角度即可;

【详解】解：(1) 利用三角形的外角定理可得：

,

,

,

和中， 

当时得出：,

时；

(2) ①若时，

则，

,

此种情况不成立;

②若时，即

,

③若时，，

，

综上所述：当等于30°或60°时，是等腰三角形.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想去解决问题.

24. 阅读理解：

若x满足，求的值．

解：设，，则，，

所以

解决问题

（1）若x满足，求的值；

（2）若x满足，求的值；

（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．

【答案】（1）120；（2）2019；（3）21．

【解析】

【分析】（1）根据举例，利用换元法进行解答即可；

（2）设，则，，可得，代入c−d=2可求得cd，即可求得结果；

（3）根据已知可得，，可表示出构成阴影部分的四个图形的边长，进而表示出这四个图形的面积，由长方形EFGD的面积是5，得到，设，，从而得到ab=5，，根据举例求出，即可求出阴影部分的面积．

【详解】解：（1）设，，

则，，

∴

（2）设，

则，，

∴，

即

解得：，即；

（3）正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，

∴，，

∵NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，长方形EFGD的面积是5，

∴，，

∴ S长方形DEFG=，S正方形MEDQ=，S正方形NGDH=，S长方形PQDH=，

设，，则，，

∴阴影部分的面积= S长方形DEFG+ S正方形MEDQ+ S正方形NGDH+ S长方形PQDH

∵，即，

解得：，

∴，即阴影部分的面积为21．

【点睛】本题考查完全平方公式的应用知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式．