2020-2021学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）期末数学试卷 (1)

这是一份2020-2021学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）期末数学试卷 (1)，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）命题“∃x0∈∁RQ，x03∈Q”的否定是（　　）
A．∃x0∈∁RQ，x03∈Q B．∃x0∈∁RQ，x03∉Q
C．∀x∈∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q
2．（5分）同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则圆柱的侧面积是（　　）
A． B．12π C．8π D．10π
4．（5分）样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m．若该样本的平均值为1，则其样本方差为（　　）
A． B． C． D．2
5．（5分）已知方程，则“0＜m＜2”是“方程C表示焦点在x轴的椭圆”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）为了了解某县今年高考准备报考体育专业的学生的体重情况，将所得的学生体重数据分组整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3小组的频率a，b，c恰成等差数列，若抽取的学生人数是48，则第2小组的频数为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
7．（5分）在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（　　）

A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面PAE
8．（5分）已知双曲线的左焦点为F1，若直线l：y＝kx，与双曲线C交于M、N两点，且MF1⊥NF1，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）
A．（1，2） B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知命题p：正四面体的任意一个面均为等边三角形，则下列结论正确的是（　　）
A．命题p的否定是假命题
B．命题p是特称命题
C．命题p是全称命题
D．命题p既不是全称命题也不是特称命题
（多选）10．（5分）以下对概率的判断正确的是（　　）
A．在大量重复实验中，随机事件的概率是频率的稳定值
B．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为
C．甲、乙两人玩石头，剪刀，布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
（多选）11．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A1、A2，P为椭圆C上异于A1、A2的任一点，则下列结论正确的有（　　）
A．椭圆C与椭圆C'：＝1有相同的焦点
B．直线PA1，PA2的斜率之积为
C．存在点P满足|PF1|•|PF2|＝2a2
D．若△PF1F2为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为或
（多选）12．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别为棱AD、CC1、C1D1的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线FG与A1D所成的角为60°
B．平面EFG截正方体所得的截面为六边形
C．EF⊥B1C
D．三棱锥B1﹣EFG的体积为
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有　 　人．
14．（5分）甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，球的大小，形状完全相同，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是 　 　．
15．（5分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A为C上一点，线段FA的延长线交x轴于B点，若点A到l：y＝﹣1的距离d等于A到B的距离，则|FB|＝　 　．
16．（5分）球O的内接正四面体A﹣BCD中，P、Q分别为棱AC、AD上的点，过PQ作平面α，使得AB、CD与α平行，且AB、CD到α的距离分别为1，2，则球O被平面α所截得的圆的面积是　 　．
四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）有编号为1，2，3的三个小球和编号为1，2，3的三个盒子，将三个小球逐个随机的放入三个盒子中，每个盒子放一个球，每只小球的放置是相互独立的．
（1）共有多少种不同的放法？请列举出来；
（2）求盒中放置的球的编号与所在盒的编号均不相同的概率．
18．（12分）某校期中考试高二化学学科采用新高考赋分模式，排名等级从高分到低分占比分别是：A等级7%；B等级33%；C等级40%；D等级15%；E等级5%．现随机抽取100名学生原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中a的值；
（2）以样本估计总体，估计本次化学成绩原始平均分及C等级最低原始分（结果保留整数）．

19．（12分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y约为多少？
附：相关系数公式r＝＝，
参考数据：，．
回归方程＝x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝

20．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，AB＝2，∠BAD＝120°，AA1⊥平面ABCD，且，
（1）求证：AC1⊥BD；
（2）求二面角B﹣A1D﹣A的平面角的余弦值．

21．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，E是PC上的一点，PE＝2EC，PC⊥平面BED，PA＝2，
（1）求AC的长；
（2）若平面APB⊥平面CPB，试求PB与平面PDC所成角的正弦值．

22．（12分）过抛物线C：y2＝2px上一点P（1，2）作两条不同直线l1，l2，且直线l1，l2与抛物线C的另外一个交点分别为A，B．
（1）若直线l1，l2的倾斜角互补，求证：直线AB的斜率为定值；
（2）若直线l1⊥l2，且点P在直线AB上的射影为D，问：是否存在定点Q，使得|QD|为定值？若存在，试求出Q点坐标及|QD|；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）命题“∃x0∈∁RQ，x03∈Q”的否定是（　　）
A．∃x0∈∁RQ，x03∈Q B．∃x0∈∁RQ，x03∉Q
C．∀x∈∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出该命题的否定命题即可．
【解答】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题，
则命题“∃x0∈∁RQ，x03∈Q”的否定是：
“∀x∈∁RQ，x3∉Q”．
故选：D．
【点评】本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题的应用问题，是基础题．
2．（5分）同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次，共有23＝8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，根据对立事件的概率公式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23＝8种结果，
满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，
∴至少一次正面向上的概率是1﹣＝，
故选：A．
【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是对于比较复杂的事件求概率时，可以先求对立事件的概率，这样使得运算简单．
3．（5分）过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则圆柱的侧面积是（　　）
A． B．12π C．8π D．10π
【分析】根据圆柱的轴截面积求出圆柱的底面半径和母线长，再计算圆柱侧面积．
【解答】解：设圆柱的轴截面边长为x，
则由x2＝8，解得x＝2，
所以圆柱的底面半径为，母线长为2，
所以圆柱的侧面积为：
S圆柱侧＝2×π××2＝8π．
故选：C．
【点评】本题考查了圆柱的轴截面与侧面积计算问题，是基础题．
4．（5分）样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m．若该样本的平均值为1，则其样本方差为（　　）
A． B． C． D．2
【分析】根据平均数公式先求出m，再求出方差．
【解答】解：由已知0，1，2，3，m的平均值为l，即有（0+1+2+3+m）÷5＝1，易得m＝﹣1
根据方差计算公式得s2＝[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]＝×10＝2
故选：D．
【点评】本题考查了样本数据平均数、方差、标准差的计算．属于简单题．
5．（5分）已知方程，则“0＜m＜2”是“方程C表示焦点在x轴的椭圆”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据椭圆的定义求出“方程C表示焦点在x轴的椭圆”充分必要条件，再根据集合的包含关系判断即可．
【解答】解：若方程C表示焦点在x轴的椭圆，则0＜m2＜4，
解得：﹣2＜m＜0或0＜m＜2，
故“0＜m＜2”是“方程C表示焦点在x轴的椭圆”充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查椭圆的性质以及集合的包含关系，是一道基础题．
6．（5分）为了了解某县今年高考准备报考体育专业的学生的体重情况，将所得的学生体重数据分组整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3小组的频率a，b，c恰成等差数列，若抽取的学生人数是48，则第2小组的频数为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
【分析】通过解读频率分布直方图的比例关系可获取答案．
【解答】解：已知图中从左到右的前3小组的频率a，b，c恰成等差数列，所以2b＝a+c，
所以第3b+0.0375+0.0125＝0.2．
解得b＝0.05．所以第二小组的频数为48×5×0.05＝12，
故选：B．
【点评】本题主要考查频率分布直方图，属简单题目．
7．（5分）在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（　　）

A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面PAE
【分析】由DF∥BC，能证明BC∥平面PDF；由已知推导出AE⊥BC，PE⊥BC，从而BC⊥平面PAE，进而DF⊥平面PAE；由已知得平面PAE⊥平面ABC，从而平面PDE与平面ABC不垂直；由DF⊥平面PAE，推导出平面PDF⊥平面PAE．
【解答】解：∵在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DF∥BC，
∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确；
∵AB＝AB＝PB＝PC，E是BC中点，
∴AE⊥BC，PE⊥BC，
∵AE∩PE＝E，∴BC⊥平面PAE，
∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正确；
∵DF⊥平面PAE，DF⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，
∵平面PAE∩平面PDE＝PE，且PE与平面ABC不垂直，
∴平面PDE与平面ABC不垂直，故C错误；
∵DF⊥平面PAE，且DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAE，故D正确．
故选：C．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
8．（5分）已知双曲线的左焦点为F1，若直线l：y＝kx，与双曲线C交于M、N两点，且MF1⊥NF1，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）
A．（1，2） B． C． D．
【分析】由直线的斜率范围求得直线的倾斜角的范围，再由MF1⊥NF1，可得四边形MF1NF2为矩形，求得|ON|，得到N的坐标，代入双曲线方程求解离心率的范围，再由已知直线的斜率＜求得e的范围，取交集得答案．
【解答】解：如图，

由直线l：y＝kx，，可得直线l的倾斜角为α∈[，]，
∵MF1⊥NF1，∴由对称性可得四边形MF1NF2为矩形，则|MN|＝|F1F2|＝2c，
则|ON|＝c，得N（ccosα，csinα），
由N在双曲线上，可得，
整理可得：e4cos2α﹣2e2+1＝0．
解得或（舍）．
∵α∈[，]，∴2，
即；
又＞，∴＞3，即c2＞4a2，得e＝＞2．
∴双曲线C的离心率的取值范围是（2，]．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想即运算求解能力，是中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知命题p：正四面体的任意一个面均为等边三角形，则下列结论正确的是（　　）
A．命题p的否定是假命题
B．命题p是特称命题
C．命题p是全称命题
D．命题p既不是全称命题也不是特称命题
【分析】直接利用命题的否定，特称和全称命题的应用判定A、B、C、D的结论．
【解答】解：命题p：正四面体的任意一个面均为等边三角形，
则：命题p的否定是假命题，命题p是全称命题；
故选：AC．
【点评】本题考查的知识要点：命题的否定，特称和全称命题，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）以下对概率的判断正确的是（　　）
A．在大量重复实验中，随机事件的概率是频率的稳定值
B．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为
C．甲、乙两人玩石头，剪刀，布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
【分析】对于A，由概率的古典定义知随机事件的概率是频率的稳定值；对于B，甲被选中的概率为P＝＝；对于C，玩一局甲不输的概率是P＝1﹣＝；对于D，取出的产品全是正品的概率是P＝＝．
【解答】解：对于A，在大量重复实验中，由概率的古典定义知随机事件的概率是频率的稳定值，故A正确；
对于B，从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为P＝＝，故B正确；
对于C，甲、乙两人玩石头，剪刀，布的游戏，
则玩一局甲不输的概率是P＝1﹣＝，故C错误；
对于D，从三件正品、一件次品中随机取出两件，
则取出的产品全是正品的概率是P＝＝，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查概率的概念、古典概型、对立事件概率计算公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A1、A2，P为椭圆C上异于A1、A2的任一点，则下列结论正确的有（　　）
A．椭圆C与椭圆C'：＝1有相同的焦点
B．直线PA1，PA2的斜率之积为
C．存在点P满足|PF1|•|PF2|＝2a2
D．若△PF1F2为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为或
【分析】选项A，利用求椭圆的半焦距的方法即可判断；选项B，设出P的坐标，进而可以求出直线PA1，PA2的斜率，再利用点P在椭圆上即可求解；选项C，利用椭圆的定义以及基本不等式即可判断；选项D，分别对直角顶点讨论即可求解．
【解答】解：选项A：在椭圆中由半焦距的求法可得：a2﹣b2＝（a2+1）﹣（b2+1），故A正确，
选项B：由已知A1（﹣a，0），A2（a，0），设P（x，y），
则k，所以k＝，故B正确，
选项C：由椭圆的定义可得|PF，
所以|PF1||PF2|≤a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号，故C错误，
选项D：若P为直角顶点，则有，所以离心率e＝，
若点F1或F2为直角顶点，|PF＝2c，则离心率e＝，故D正确，
故选：ABD．
【点评】本题考查了椭圆的定义以及性质，涉及到基本不等式的应用以及等腰直角三角形的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别为棱AD、CC1、C1D1的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线FG与A1D所成的角为60°
B．平面EFG截正方体所得的截面为六边形
C．EF⊥B1C
D．三棱锥B1﹣EFG的体积为
【分析】A平移直线判断；B展开延展平面判断；C画对角线判断；D求三棱锥积极判断．
【解答】解：建立空间直角坐标系如图所示：
对于A，因为GF∥D1C∥A1B，
所以∠DA1B为直线FG与A1D所成的角，
又△A1BD是正三角形，
所以FG与A1D所成的角为60°，则A对；
对于B，将平面EFG延展如图所示，
与正方体截面为五边形GFMEK，则B错；
对于C，B1（2，2，2），C（0，2，0），E（1，0，0），F（0，2，1），
＝（﹣1，2，1），＝（﹣2，0，﹣2），
•＝（﹣1）（﹣2）+2×0+1×（﹣2）＝0，
所以EF⊥B1C，则C对；
对于D，G（0，1，2），＝（﹣2，﹣1，0），
＝（﹣1，﹣2，﹣2），＝（﹣2，0，﹣1），
三棱锥B1﹣EFG底面△GFB1为等腰三角形，其面积为：
S＝＝，
设平面GFB1法向量为＝（x，y，z），则有：
•＝0，•＝0，所以，解之得：＝λ（1，﹣2，﹣2），
取单位法向量所法向量＝（1，﹣2，﹣2），
E点到平面GFB1的距离h＝|•|＝|（﹣1﹣2，﹣2）（﹣1，﹣2，﹣2，）|＝，
所以三棱锥B1﹣EFG的体积为V＝Sh＝，则D对；
故选：ACD．

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查异面直线成角及体积计算，属于中档题．
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有　8100　人．
【分析】根据分层抽样时抽取的比例相等，列方程求出结果．
【解答】解：设北乡共有x人，根据分层抽样原理知
＝，
解得x＝8100．
故答案为：8100．
【点评】本题考查了分层抽样原理的应用问题，是基础题．
14．（5分）甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，球的大小，形状完全相同，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是 　　．
【分析】先从甲袋中取出1个球放入乙袋，再从乙袋出1个球的总数为＝10，取出红球的总数为＝5，由此能求出乙袋中取出红球的概率．
【解答】解：先从甲袋中取出1个球放入乙袋，再从乙袋出1个球的总数为n＝＝10，
取出红球的总数为m＝＝5，
所以乙袋中取出红球的概率为P＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A为C上一点，线段FA的延长线交x轴于B点，若点A到l：y＝﹣1的距离d等于A到B的距离，则|FB|＝　3　．
【分析】由已知可得点A是BF的中点，设出B的坐标，即可求出点A的坐标，代入抛物线方程，进而可以求解．
【解答】解：由抛物线的方程可得F（0，1），
由抛物线的定义可得|AF|＝|AB|，所以点A为BF的中点，
设B（m，0），所以点A的坐标为（），
代入抛物线方程可得：m＝，
所以|BF|＝，
故答案为：3．
【点评】本题考查了抛物线的方程以及定义，涉及到两点间的距离的公式的应用，属于基础题．
16．（5分）球O的内接正四面体A﹣BCD中，P、Q分别为棱AC、AD上的点，过PQ作平面α，使得AB、CD与α平行，且AB、CD到α的距离分别为1，2，则球O被平面α所截得的圆的面积是　　．
【分析】将正四面体A﹣BCD放入一个正方体中，利用AB、CD到α的距离分别为1，2，得到正方体的棱长为3，从而得到球心到平面α的距离，再利用正方体的外接球求出球的直径，即可求出截面圆的半径，利用圆的面积公式求解即可得到答案．
【解答】解：如图所示，将正四面体A﹣BCD放入一个正方体中，
因为AB、CD到α的距离分别为1，2，
所以AB、CD到α的距离之和为3，
故直线AB到直线CD的距离为3，
因为BH⊥AB，BH⊥CD，
故BH＝3，即正方体的棱长为3，
因为球心是正方体的中心，
故球心O到平面α的距离为d＝，
又球的直径2R＝，
所以所截得的截面圆的半径r＝，
故球O被平面α所截得的圆的面积为．
故答案为：．

【点评】本题考查了多面体的外接球问题，涉及了两条异面直线之间距离的应用、正方体与其外接球关系的应用，解题的关键是将正四面体放入正方体中进行研究．
四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）有编号为1，2，3的三个小球和编号为1，2，3的三个盒子，将三个小球逐个随机的放入三个盒子中，每个盒子放一个球，每只小球的放置是相互独立的．
（1）共有多少种不同的放法？请列举出来；
（2）求盒中放置的球的编号与所在盒的编号均不相同的概率．
【分析】（1）按盒子号1，2，3的顺序放入小球的情况列出结果，即可得到有多少种不同的放法．
（2）设所求事件为A，则A包含有2，3，1；3，1，2两个基本事件然后求解概率．
【解答】解：（1）共有六种不同的放法，按盒子号1，2，3的顺序放入小球的情况为：
1，2，3；1，3，2；2，3，1；2，1，3；3，1，2；3，2，1；
（2）设所求事件为A，则A包含有2，3，1；3，1，2两个基本事件并且每个基本事件等可能，
故．
【点评】本题考查古典概型概率的求法，排列组合的应用，是基础题．
18．（12分）某校期中考试高二化学学科采用新高考赋分模式，排名等级从高分到低分占比分别是：A等级7%；B等级33%；C等级40%；D等级15%；E等级5%．现随机抽取100名学生原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中a的值；
（2）以样本估计总体，估计本次化学成绩原始平均分及C等级最低原始分（结果保留整数）．

【分析】（1）先频数分布直方图及频率之和为1可得a的答案；
（2）结合频数分布直方图及样本估计平均值定义可得答案．
【解答】解：（1）由频率分布直方图及频率之和为1可得：
，
（2）原始平均分，
设C等级最低分为x，由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为7%+33%+40%＝80%，
则有：（0.005+0.025+0.03+0.015）×10+（60﹣x）×0.015＝0.8，
解得x≈57，
则C等级的最低原始分约为57．
【点评】本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，考查样本估计平均值定义，属于基础题．
19．（12分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y约为多少？
附：相关系数公式r＝＝，
参考数据：，．
回归方程＝x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝，＝

【分析】（1）由已知表格中的数据求得相关系数，结合r＞0.75，可得可用线性回归模型拟合y与x的关系；
（2）求出与的值，得到线性回归方程，取x＝12求得y值即可．
【解答】解：（1）由已知数据可得，．
∴＝（﹣3）×（﹣1）+（﹣1）×0+0×0+1×0+3×1＝6，
，
，
∴相关系数＝．
∵r＞0.75，∴可用线性回归模型拟合y与x的关系；
（2）．
．
∴回归方程为．
当x＝12时，，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克．
【点评】本题考查相关关系强弱的判定，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．
20．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，AB＝2，∠BAD＝120°，AA1⊥平面ABCD，且，
（1）求证：AC1⊥BD；
（2）求二面角B﹣A1D﹣A的平面角的余弦值．

【分析】（1）连AC，BD，A1C1，B1D1，分别交于O，O1，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1、所在直线为z轴，利用向量数量积证明AC1⊥BD；
（2求得面BDA1的法向量，即面AA1D的法向量，利用向量夹角公式即可求二面角的平面角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：连AC，BD，A1C1，B1D1，分别交于O，O1，
以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1、所在直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，﹣1，0），，，，
故，，
∴，故，则AC1⊥BD．
（2）∵，∴，，
设面BDA1的法向量，
则，解得
同法可求得面AA1D的法向量，
∴，
故所求二面角的平面角的余弦值为．

【点评】本题考查了空间线线、线面位置关系，考查了二面角，属于中档题．
21．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，E是PC上的一点，PE＝2EC，PC⊥平面BED，PA＝2，
（1）求AC的长；
（2）若平面APB⊥平面CPB，试求PB与平面PDC所成角的正弦值．

【分析】（1）设AC∩BD＝F，连接EF，通过三角形相似，转化求解即可．
（2）过点A作AG⊥PB于G，推出BC⊥AB，结合AB＝2，设点B到面PCD的距离为d，说明点A到面PCD的距离即为点B到面PCD的距离，求出d，然后求解PB与面PCD所成角的正弦值．
【解答】解：（1）设AC∩BD＝F，连接EF，
∵PC⊥面BD，EF⊂面BDE，
∴PC⊥EF，则△PAC∽△FEC，
设AC＝2a，则CF＝a，，
∴，即，∴．
（2）过点A作AG⊥PB于G，∵面APB⊥CPB，且APB∩面CPB＝PB，
故AG⊥面PBC，又∵BC⊂面PBC，
∴BC⊥AG，又∵BC⊥PA，且AG∩PA＝A，AG⊂面PAB，PA⊂面PAB，
∴BC⊥面PAB，AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB，
∴四边形ABCD为正方形，故AB＝2，
设点B到面PCD的距离为d，
∵AB∥CD，AB⊄面PCD内，
∴点A到面PCD的距离即为点B到面PCD的距离，
可得，∴，
故PB与面PCD所成角的正弦值为．

【点评】本题考查空间距离的求法，二面角的平面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
22．（12分）过抛物线C：y2＝2px上一点P（1，2）作两条不同直线l1，l2，且直线l1，l2与抛物线C的另外一个交点分别为A，B．
（1）若直线l1，l2的倾斜角互补，求证：直线AB的斜率为定值；
（2）若直线l1⊥l2，且点P在直线AB上的射影为D，问：是否存在定点Q，使得|QD|为定值？若存在，试求出Q点坐标及|QD|；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）由P（1，2）在抛物线上，求出p，得到抛物线方程，求解PA，PB的斜率，然后转化求解为定值，即可得到结论．
（2）设直线B：x＝my+n联立，有y2﹣4my﹣4n＝0，利用韦达定理，结合PA⊥PB，得到直线系AB的方程，推出经过的定点，即可得到Q（3，0），|DQ|的距离．
【解答】（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由P（1，2）在抛物线上，
得22＝2p，p＝2，抛物线为y2＝4x，
所以＝＝＝，同理，
由已知，则y1+y2＝﹣4，
所以为定值，得证．
（2）解：设直线B：x＝my+n，
联立，有y2﹣4my﹣4n＝0，，
由PA⊥PB有，y1y2+2（y1+y2）+20＝0，
解得n＝2m+5，则直线AB：x＝my+2m+5过定点R（5，﹣2），
所以，取PR的中点Q（3，0），
则在直角三角形PDR中，为定值．

【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/12/6 16:54:44；用户：轻松国文培训学校；邮箱：qsgwpx@xyh.com；学号：44874092