2019-2020学年湖北省武汉市武昌区高三（上）期末数学试卷（理科）（元月调考）

这是一份2019-2020学年湖北省武汉市武昌区高三（上）期末数学试卷（理科）（元月调考），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019-2020学年湖北省武汉市武昌区高三（上）期末数学试卷（理科）（元月调考）
一、选择题：
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|a﹣2＜x＜a}，若A∩B＝{x|﹣1＜x＜0}，则A∪B＝（　　）
A．（﹣1，2） B．（0，2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，2）
2．已知复数z满足＝i，则z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，a3＝2a2+3，则an＝（　　）
A．3n﹣2 B．3n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣2
4．已知a＝log0.10.2，b＝log1.10.2，c＝1.10.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
5．等腰直角三角形ABC中，，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上一点，且BP＝2PA，那么＝（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
6．某学校成立了A、B、C三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习．申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．已知数列{an}的前n项和，设，Tn为数列{bn}的前n项和，若对任意的n∈N*，不等式λTn＜9n+3恒成立，则实数λ的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，48） B．（﹣∞，36） C．（﹣∞，16） D．（16，+∞）
8．已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线与抛物线交于点A，B，|AF|＝2|FB|，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM⊥l于点M，则四边形AMCF的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，给出以下命题：
①线段BM的长是定值；
②存在某个位置，使DE⊥A1C；
③存在某个位置，使MB∥平面A1DE．
其中，正确的命题是（　　）

A．① B．①③ C．②③ D．①②③
10．函数的部分图象如图所示，给下列说法：
①函数f（x）的最小正周期为π；
②直线为函数f（x）的一条对称轴；
③点为函数f（x）的一个对称中心；
④函数f（x）的图象向右平移个单位后得到的图象．
其中不正确说法的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记△AF1F2得内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，则的值等于（　　）
A．3 B．2 C． D．
12．已知函数f（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣2，g（x）＝+lnx﹣x的最小值分别为a，b，则（　　）
A．a＝b B．a＜b
C．a＞b D．a，b的大小关系不确定
二、填空题：
13．的展开式中，x3项的系数是　 　．
14．已知一组数据10，5，4，2，2，2，x，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x所有可能的取值为　 　．
15．过动点M作圆：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1的切线MN，其中N为切点，若|MN|＝|MO|（O为坐标原点），则|MN|的最小值是　 　．
16．用MI表示函数y＝sinx在闭区间I上的最大值，若正数a满足，则a的为　 　．
三、解答题：
17．在△ABC中，已知，AC＝7，D是BC边上的一点，AD＝5，DC＝3．
（1）求B；
（2）求△ABC的面积．
18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，A1A＝AB＝AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，B1B的中点．
（1）证明：平面A1C1F⊥平面B1DE；
（2）求二面角B﹣B1E﹣D的正弦值．

19．已知椭圆的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若不过原点的直线l与椭圆交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．
20．某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：[0，200），[200，400），[400，600），…，[1000，1200]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
（1）请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？

健身达人
非健身达人
总计
男
10
　 　
　 　
女
　 　
30
　 　
总计
　 　
　 　
　 　
（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特别推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．
若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．
附：
P（K2≥k）
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
k
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879


21．已知函数f（x）＝ex+x﹣e﹣1．
（1）若f（x）≥ax﹣e对x∈R恒成立，求实数a的值；
（2）若存在不相等的实数x1，x2，满足f（x1）+f（x2）＝0，证明：x1+x2＜2．
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）若C1与y轴交于点M，C1与C2相交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．
23．（1）已知f（x）＝|x﹣a|+|x|，若存在实数x，使f（x）＜2成立，求实数a的取值范围；
（2）若m＞0，n＞0，且m+n＝3，求证：．

2019-2020学年湖北省武汉市武昌区高三（上）期末数学试卷（理科）（元月调考）
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|a﹣2＜x＜a}，若A∩B＝{x|﹣1＜x＜0}，则A∪B＝（　　）
A．（﹣1，2） B．（0，2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，2）
【分析】可以求出A＝{x|﹣1＜x＜2}，从而根据A∩B＝{x|﹣1＜x＜0}即可得出a＝0，从而可得出集合B，然后进行并集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|a﹣2＜x＜a}，且A∩B＝{x|﹣1＜x＜0}，
∴a＝0，
∴B＝{x|﹣2＜x＜0}，
∴A∪B＝（﹣2，2）．
故选：D．
【点评】本题考查了描述法、区间的定义，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．已知复数z满足＝i，则z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据复数运算进行化简，结合复数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：由＝i得z＝zi+1，
即z（1﹣i）＝1，则z＝＝＝＝+i，
对应坐标为（，），位于第一象限，
故选：A．
【点评】本题主要考查复数几何意义的应用，利用复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，比较基础．
3．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，a3＝2a2+3，则an＝（　　）
A．3n﹣2 B．3n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣2
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵a1＝1，a3＝2a2+3，
∴q2＝2q+3，解得q＝3．
则an＝3n﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．已知a＝log0.10.2，b＝log1.10.2，c＝1.10.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：a＝log0.10.2∈（0，1），b＝log1.10.2＜0，c＝1.10.2＞1，
则a，b，c的大小关系为：c＞a＞b．
故选：D．
【点评】本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．等腰直角三角形ABC中，，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上一点，且BP＝2PA，那么＝（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】解法一：不妨作出图象，由向量加法法则得＝+＝+，代入式子利用数量积运算可求．
解法二：建立平面直角坐标系，结合向量的数量积公式，即可求解．
【解答】解：解法一：∵直角三角形ABC中，，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上一点，且BP＝2PA
如图所示：＝+＝+，
∴＝（+）•（+）＝++＝×22+×22+0＝4，
解法二：根据已知条件，建立如图所示的平面直角坐标系，

则C（0，0），A（2，0），B（0，2），
设P（x，y），
∵BP＝2PA，
∴，
∴（x，y﹣2）＝2（2﹣x，﹣y），解得，
∴，，，，
∴＝+．
故选：D．

【点评】本题考查平面向量数量积运算、向量加法的三角形法则，属基础题．
6．某学校成立了A、B、C三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习．申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】该校的任意4位学生中，申请进入其中一个学习小组学习，基本事件总数n＝34＝81，恰有2人申请A学习小组包含的基本事件总数m＝＝24，由此能求出恰有2人申请A学习小组的概率．
【解答】解：学校成立了A、B、C三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习．
申请其中任意一个学习小组是等可能的，
则该校的任意4位学生中，申请进入其中一个学习小组学习，
基本事件总数n＝34＝81，
恰有2人申请A学习小组包含的基本事件总数m＝＝24，
∴恰有2人申请A学习小组的概率为p＝．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．已知数列{an}的前n项和，设，Tn为数列{bn}的前n项和，若对任意的n∈N*，不等式λTn＜9n+3恒成立，则实数λ的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，48） B．（﹣∞，36） C．（﹣∞，16） D．（16，+∞）
【分析】本题先根据公式an＝可计算出数列{an}的通项公式；然后计算出数列{bn}的通项公式，然后运用裂项相消法求出前n项和Tn，然后根据题意将对任意的n∈N*，不等式λTn＜9n+3恒成立，等价转化为对任意的n∈N*，不等式λ＜恒成立．构造数列{cn}：令cn＝，n∈N*．通过判断出数列{cn}的单调性可找到最小值，从而可得实数λ的取值范围，即可得出正确选项．
【解答】解：由题意，当n＝1时，a1＝S1＝•12﹣•1＝1．
当n≥2时，
an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣n﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]＝3n﹣2，
∴an＝3n﹣2，n∈N*．
则＝＝（﹣）．
设数列{bn}的前n项和Tn，则
Tn＝b1+b2+…+bn
＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）
＝（1﹣+﹣+…+﹣）
＝（1﹣）
＝．
∵对任意的n∈N*，不等式λTn＜9n+3恒成立，
∴对任意的n∈N*，不等式λ•＜9n+3恒成立，
即对任意的n∈N*，不等式λ＜恒成立．
构造数列{cn}：令cn＝，n∈N*．
∵cn+1﹣cn＝﹣＝＞0，n∈N*．
∴数列{cn}是单调递增数列．
∴数列{cn}的最小值为c1＝48．
∴λ＜48．
故选：A．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和．考查了转化思想，构造法，利用数列单调性得到最值问题，以及不等式的计算能力，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．
8．已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线与抛物线交于点A，B，|AF|＝2|FB|，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM⊥l于点M，则四边形AMCF的面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】过点B作BN⊥l于点N，过点B作BK⊥AM于点K，如图所示，设|BF|＝x，则|AF|＝2x，|AB|＝3x，|AM|＝|AF|＝2x，|BN|＝|BF|＝x，所以|AK|＝x，|CF|＝|BN|+|AK|＝x+＝，又|CF|＝2，求出x＝，所以|AM|＝3，从而求出点A的坐标，即可求出四边形AMCF的面积．
【解答】解：过点B作BN⊥l于点N，过点B作BK⊥AM于点K，如图所示：，
设|BF|＝x，则|AF|＝2x，|AB|＝3x，|AM|＝|AF|＝2x，|BN|＝|BF|＝x，
∴|AK|＝x，|CF|＝|BN|+|AK|＝x+＝，
又∵|CF|＝2，∴，∴，
∴|AM|＝3，∴xA＝3﹣1＝2，
∴yA2＝4×2＝8，∴，
∴四边形AMCF的面积为：＝5，
故选：C．

【点评】本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．
9．如图，已知平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，给出以下命题：
①线段BM的长是定值；
②存在某个位置，使DE⊥A1C；
③存在某个位置，使MB∥平面A1DE．
其中，正确的命题是（　　）

A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】①取DC的中点N，连接NM、NB，可得MN、NB和∠MNB均为定值，在△MNB中，由余弦定理可知，MB2＝MN2+NB2﹣2MN•NBcos∠MNB，所以线段BM的长是定值；
②用反证法，假设存在某个位置，使DE⊥A1C，在△CDE中，由勾股定理易知，CE⊥DE，再由线面垂直的判定定理可知，DE⊥面A1CE，所以DE⊥A1E，与已知相矛盾；
③由①可知，MN∥A1D，NB∥DE，所以面MNB∥面A1DE，所以MB∥面A1DE．
【解答】解：

①取DC的中点N，连接NM、NB，则MN∥A1D，且MN＝＝定值；NB∥DE，且NB＝DE＝定值，所以∠MNB＝∠A1DE＝定值，
由余弦定理得，MB2＝MN2+NB2﹣2MN•NBcos∠MNB，所以BM的长为定值，即①正确；
②假设存在某个位置，使DE⊥A1C．设AB＝2AD＝2，由∠BAD＝60°可求得DE＝1，，所以CE2+DE2＝CD2，即CE⊥DE，
因为A1C∩CE＝C，所以DE⊥面A1CE，因为A1E⊂面A1CE，所以DE⊥A1E，与已知相矛盾，即②错误；
③由①可知，MN∥A1D，NB∥DE，且MN∩NB＝N，A1D∩DE＝D，所以面MNB∥面A1DE，所以MB∥面A1DE，即③正确．
所以正确的有①③，
故选：B．

【点评】本题考查空间中线面的位置关系，理清翻折前后不变的数量关系和位置关系，以及熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于中档题．
10．函数的部分图象如图所示，给下列说法：
①函数f（x）的最小正周期为π；
②直线为函数f（x）的一条对称轴；
③点为函数f（x）的一个对称中心；
④函数f（x）的图象向右平移个单位后得到的图象．
其中不正确说法的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，再根据正弦函数的图象与性质逐一判断每个选项即可．
【解答】解：由图象可知，，最小正周期，所以，
将点代入函数得，，
所以，即，
因为，所以取k＝1，，所以．
因此①正确；
②，所以②正确；
③令，则，当k＝﹣1时，．
所以点为函数f（x）的一个对称中心，即③正确；
④函数f（x）的图象向右平移个单位得到，即④错误．
所以不正确的为④，
故选：A．
【点评】本题考查根据图象求函数解析式、正弦函数的图象与性质，考查学生数形结合能力和运算能力，属于基础题．
11．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记△AF1F2得内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，则的值等于（　　）
A．3 B．2 C． D．
【分析】充分利用平面几何图形的性质解题．因从同一点出发的切线长相等，得|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，再结合双曲线的定义得|F1E|﹣|F2E|＝2a，从而即可求得△AF1F2的内心的横坐标a，即有CD⊥x轴，在△CEF2，△DEF2中，运用解直角三角形知识，运用正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率．
【解答】解：记△AF1F2的内切圆圆心为C，
边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，
易见C、E横坐标相等，则|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，
由|AF1|﹣|AF2|＝2a，
即|AM|+|MF1|﹣（|AN|+|NF2|）＝2a，得|MF1|﹣|NF2|＝2a，
即|F1E|﹣|F2E|＝2a，记C的横坐标为x0，则E（x0，0），
于是x0+c﹣（c﹣x0）＝2a，得x0＝a，
同样内心D的横坐标也为a，则有CD⊥x轴，
过F2且倾斜角为60°，则∠OF2D＝30°，∠CF2O＝60°，
在△CEF2中，tan∠CF2O＝tan60°＝，
在△DEF2中，tan∠DF2O＝tan30°＝，
所以＝3
故选：A．

【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，考查直线斜率的求法，属于中档题．
12．已知函数f（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣2，g（x）＝+lnx﹣x的最小值分别为a，b，则（　　）
A．a＝b B．a＜b
C．a＞b D．a，b的大小关系不确定
【分析】分别求出函数f（x）及g（x）的最小值，进而得出结论．
【解答】解：由题意可得，函数的定义域（0，+∞），
＝（）（xex﹣1），
令h（x）＝xex﹣1，则可得h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（0）＜0，h（1）＞0，
故存在x0∈（0，1）使得h（x）＝0即，即x0+lnx0＝0，
当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
故当x＝x0时，函数取得最小值f（x0）＝﹣lnx0﹣x0﹣2＝﹣1﹣lnx0﹣x0＝﹣1，即a＝﹣1，
因为g′（x）＝＝，
令m（x）＝ex﹣2﹣x（x＞0），则m′（x）＝ex﹣2﹣1，令m′（x）＝0，解得x＝2，
又m′（x）单增，故当0＜x＜2时，m′（x）＜0，函数m（x）单减，当x＞2时，m′（x）＞0，函数m（x）单增，
又，m（4）＝e2﹣4＞0，
故函数m（x）在（0，1）及（3，4）上各有一个零点0＜x1＜1，3＜x2＜4，且，即x1﹣2＝lnx1，x2﹣2＝lnx2
∴函数g（x）在（x1，1），（x2，+∞）单增，在（0，x1），（1，x2）单减，
∴g（x）min＝g（x1）＝g（x2）＝1+lnx1﹣x1＝﹣1，即b＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
二、填空题：
13．的展开式中，x3项的系数是　240　．
【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为3即可求展开式中含x3项的系数．
【解答】解：的展开式中，
通项公式为：
Tr+1＝•（2x）6﹣r＝•26﹣r•；
令6﹣＝3，
解得r＝2，
∴展开式中含x3项的系数是•24＝240．
故答案为：240．
【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．
14．已知一组数据10，5，4，2，2，2，x，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x所有可能的取值为　﹣11，3，17　．
【分析】根据题意求得众数为2，平均数为，讨论x的取值范围，列方程求出x的值．
【解答】解：方法一、数据10，5，4，2，2，2，x中，众数为2，平均数为×（10+5+4+2+2+2+x）＝；
当x≤2时，中位数是2，由+2＝2×2，解得x＝﹣11；
当2＜x＜4时，则中位数是x，由题意得+2＝2x，解得x＝3；
当x≥4时，则中位数是4，由题意得+2＝2×4，解得x＝17；
综上知，x所有可能的取值为﹣11，3，17．
方法二、数据10，5，4，2，2，2，x中，出现次数最多的是2，所以众数为2；
且这组数据的平均数为×（10+5+4+2+2+2+x）＝；
若将这组数据按照从小到大排列为：
x，2，2，2，4，5，10，则中位数是2，
由题意得+2＝2×2，解得x＝﹣11；
若将这组数据按照从小到大排列为：
2，2，2，x，4，5，10，则中位数是x，
由题意得+2＝2x，解得x＝3；
若将这组数据按照从小到大排列为：
2，2，2，4，x，5，10，则中位数是4，
由题意得+2＝2×4，解得x＝17（不合题意，舍去）；
若将这组数据按照从小到大排列为：
2，2，2，4，5，x，10，则中位数是4，
由题意得+2＝2×4，解得x＝17（不合题意，舍去）；
若将这组数据按照从小到大排列为：
2，2，2，4，5，10，x，则中位数是4，
由题意得+2＝2×2，解得x＝17；
综上知，x所有可能的取值为﹣11，3，17．
故答案为：﹣11，3，17．
【点评】本题考查了平均数、中位数和众数的计算问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
15．过动点M作圆：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1的切线MN，其中N为切点，若|MN|＝|MO|（O为坐标原点），则|MN|的最小值是　　．
【分析】由切线的性质可得动点M在直线4x+4y﹣7＝0，所以，|MN|的最小值就是|MO|的最小值，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：设M（x，y），则
∵|MN|＝|MO|，
∴（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣1＝x2+y2，
整理得：4x+4y﹣7＝0．
即动点M在直线4x+4y﹣7＝0上，所以，|MN|的最小值就是|MO|的最小值，为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，判断动点M在直线4x+4y﹣7＝0，|MN|的最小值就是|MO|的最小值是解题的关键，考查转化思想与计算能力．
16．用MI表示函数y＝sinx在闭区间I上的最大值，若正数a满足，则a的为　或　．
【分析】分a在不同区间进行讨论，得出符合条件的a值即可．
【解答】解：当a∈[0，]时，2a∈[0，π]，M[0，a]＝sina，M[a，2a]＝1，
由，得sina＝，此时不成立；
当a∈[]时，2a∈[π，2π]，M[0，a]＝1，M[a，2a]＝sina，
由，得1＝sina，即sina＝，a＝；
当a∈[π，]时，2a∈[2π，3π]，M[0，a]＝1，M[a，2a]＝sin2a或1，
由，得1＝sin2a，即sin2a＝，得a＝；
当a∈[，+∞）时，2a∈[3π，+∞），M[0，a]＝1，M[a，2a]＝1，不合题意．
综上，a的为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查三角函数的最值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．
三、解答题：
17．在△ABC中，已知，AC＝7，D是BC边上的一点，AD＝5，DC＝3．
（1）求B；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）在△ADC中，设∠ADC＝θ，∠ADB＝φ，由余弦定理可求得：cosθ＝﹣，又θ∈（0，π），可得θ及φ的值继而得B的值；
（2）在△ADB中，可求得∠BAD＝π﹣﹣，利用三角形的面积公式S△ABD＝×AB×ADsin∠BAD计算即可．
【解答】解：（1）在△ADC中，AD＝5，DC＝3，AC＝7，设∠ADC＝θ，∠ADB＝φ，
由余弦定理得：cosθ＝＝﹣，又θ∈（0，π），
故θ＝，φ＝π﹣＝．
在△ADB中，AD＝5，AB＝，∠ADB＝φ＝，
由正弦定理得：＝＝＝5，
故sinB＝，又AD＝5＜＝AB，
所以B＝．
（2）在△ADB中，∠BAD＝π﹣﹣，
所以，sin∠BAD＝sin（+）＝•+＝，
所以S△ABD＝×AB×ADsin∠BAD＝××5×＝．
又S△ADC＝×DC×ADsin∠ADC＝，
所以S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝．

【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，基本不等式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，A1A＝AB＝AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，B1B的中点．
（1）证明：平面A1C1F⊥平面B1DE；
（2）求二面角B﹣B1E﹣D的正弦值．

【分析】（1）先判断DE⊥平面A1AB1B，得到DE⊥A1F，利用线面垂直的判定定理证明A1F⊥平面B1DE，再用面面垂直判定定理得出结论；
（2）根据题意，∠BGH为所求二面角的平面角，利用几何性质求出结论即可．
【解答】解：（1）因为AC⊥AB，DE∥AC，所以DE⊥AB，
因为A1A⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，所以A1A⊥DE，
因为AB∩A1A＝A，所以DE⊥平面A1AB1B，
因为A1F⊂平面A1AB1B，所以DE⊥A1F，
由DB₁⊥A1F，D1E∩DB1＝D，
所以A1F⊥平面B1DE，
又A1F⊂平面A1C1F，
所以平面A1C1F⊥平面B1DE；
（2）过B作BH⊥B₁D，过H作HG⊥B₁E与G，连接BG，
易知平面B₁DE⊥平面B₁DB，平面B₁DE∩平面B₁DB，
因为BH⊥B₁H，所以BH⊥平面B₁DE，
根据三垂线定理，BG⊥B₁E，则∠BGH为所求二面角的平面角，
在Rt△B₁BD中，由等面积，得BH＝，同理BG＝，
所以sin∠BGH＝．

【点评】考查线面垂直，面面垂直的判定定理，考查求二面角的平面角，三角函数求值，中档题．
19．已知椭圆的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若不过原点的直线l与椭圆交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．
【分析】（1）由正三角形可得b，c的关系，再由最短距离可得a，c的关系，再由a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程．
（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由判别式大于0，可得参数的关系，进而求出弦长AB，再求O到直线的距离代入面积公式，由二次函数的性质可得面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得：b＝＝，a﹣c＝1，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝3，
所以椭圆的方程为：＝1；
（2）假设直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为：x＝m，m∈[﹣2，2]，
联立与椭圆的方程：，解得y2＝，y＝，
所以S△AOB＝|m|＝＝＝；当且仅当m＝时取到最大值；
当斜率存在时设直线l的方程为：y＝kx+t，t≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立与椭圆的方程，整理可得：（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，
Δ＝64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣12）＞0，可得：t2＜3+4k2，x1+x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝＝＝，
O到直线l的距离d＝，
所以S△AOB＝•d＝＝2＝2•＝，
当且仅当t2＝时取等号，
综上所述三角形AOB的面积的最大值为：．
【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中档题．
20．某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：[0，200），[200，400），[400，600），…，[1000，1200]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
（1）请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？

健身达人
非健身达人
总计
男
10
　40　
　50　
女
　20　
30
　50　
总计
　30　
　70　
　100　
（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特别推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．
若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．
附：
P（K2≥k）
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
k
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879


【分析】频率分布直方图中，每组组距乘以高可得每组频率，进一步可得人均消费，样本容量 为100，可以得到每组的人数，由题意可填写列联表，通过计算K2即可求解第二问；
中奖次数不同得到的折扣也不同，相应可以得到所付金额期望，即可求解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：各组频率为：0.1，0.15，0.2，0.25，0.2，0.1，
∴人均消费为：0.1×100+0.15×300+0.2×500+0.25×700+0.2×900+0.1×1100＝620元
（2）由频率分布直方图得不低于800元的客户有：100×（0.1+0.2）＝30人，
故可得2×2列联表如下表：

健身达人
非健身达人
总计
男
10
40
50
女
20
30
50
总计
30
70
100
∴＞3.841
∴有95%的把握认为“健身达人”与性别有关．
（3）方案一：1000﹣100＝900元
方案二：设中奖次数为x，则x可为0，1，2，3；
∴，所付金额为：1000元；
，所付金额为：1000×0.9＝900元；
，所付金额为：1000×0.8＝800元；
，所付金额为：1000×0.7＝700元；
∴设所付金额为Y，Y可以为：1000，900，800，700，可得Y的分布列为：
Y
1000
900
800
700
P（Y）




∴×元
综上所述，应该选择方案二．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．已知函数f（x）＝ex+x﹣e﹣1．
（1）若f（x）≥ax﹣e对x∈R恒成立，求实数a的值；
（2）若存在不相等的实数x1，x2，满足f（x1）+f（x2）＝0，证明：x1+x2＜2．
【分析】（1）f（x）≥ax﹣e对x∈R恒成立⇔ex+x﹣ax﹣1≥0对x∈R恒成立．令g（x）＝ex+x﹣ax﹣1，x∈R，g（0）＝0．g′（x）＝ex+1﹣a，令g′（0）＝2﹣a＝0，解得a．经过验证即可得出．
（2）f（x）＝ex+x﹣e﹣1．x∈R．f′（x）＝ex+1＞0恒成立．函数f（x）在R上单调递增．而f（1）＝0．存在不相等的实数x1，x2，满足f（x1）+f（x2）＝0，可得：x1与x2必然有一个大于1，一个小于1．不妨设x1＜1＜x2，下面证明：f（x）+f（2﹣x）＞0，x＜1时，令h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝ex+e2﹣x﹣2e，h（1）＝0．利用导数研究函数的单调性即可证明．
根据f（x1）+f（x2）＝0，可得﹣f（x2）＝f（x1）＞﹣f（2﹣x1），可得f（2﹣x1）＞f（x2），即可证明结论．
【解答】（1）解：f（x）≥ax﹣e对x∈R恒成立⇔ex+x﹣ax﹣1≥0对x∈R恒成立．
令g（x）＝ex+x﹣ax﹣1，x∈R，g（0）＝0．
g′（x）＝ex+1﹣a，令g′（0）＝2﹣a＝0，解得a＝2．
∴g′（x）＝ex﹣1，可得x＝0时，函数g（x）取得极小值即最小值，
∴a＝2时，ex﹣x﹣1≥0对x∈R恒成立．
因此f（x）≥2x﹣e对x∈R恒成立．
（2）证明：f（x）＝ex+x﹣e﹣1．x∈R．
f′（x）＝ex+1＞0恒成立．
∴函数f（x）在R上单调递增．
而f（1）＝0．存在不相等的实数x1，x2，满足f（x1）+f（x2）＝0，
∴x1与x2必然有一个大于1，一个小于1．
不妨设x1＜1＜x2，
下面证明：f（x）+f（2﹣x）＞0，x＜1时．
令h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝ex+x﹣e﹣1+e2﹣x+2﹣x﹣e﹣1＝ex+e2﹣x﹣2e，h（1）＝0．
h′（x）＝ex﹣e2﹣x，h′（1）＝0，
x＜1时，h′（x）＜h′（1）＝0，
∴函数h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，
∴h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＞h（1）＝0．
∵f（x1）+f（x2）＝0，
∴﹣f（x2）＝f（x1）＞﹣f（2﹣x1），
∴f（2﹣x1）＞f（x2），
∴2﹣x1＞x2，
∴x1+x2＜2．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）若C1与y轴交于点M，C1与C2相交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．
【分析】（1）直接利用转换关系把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为x+y﹣2＝0．
曲线C2的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．
（2）把直线的参数方程（t为参数）代入得到．
所以，．
则：|MA|•|MB|＝．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23．（1）已知f（x）＝|x﹣a|+|x|，若存在实数x，使f（x）＜2成立，求实数a的取值范围；
（2）若m＞0，n＞0，且m+n＝3，求证：．
【分析】（1）通过绝对值不等式的几何意义，转化求解即可．
（2）利用基本不等式转化证明即可．
【解答】解：（1）已知f（x）＝|x﹣a|+|x|≥|a|，若存在实数x，使f（x）＜2成立，可得|a|＜2，
所以实数a的取值范围：（﹣2，2）；
（2）证明：m＞0，n＞0，且m+n＝3，
所以（）＝（）（m+n）＝（5+）≥（5+2）＝3．
当且仅当n＝4m，并且m＝取等号，
所以．
【点评】本题考查不等式的几何意义，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
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