2021-2022学年湖北省武汉市武昌区高三（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市武昌区高三（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，星期六“，”星期六等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖北省武汉市武昌区高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x2≥9，x∈R}，B＝{0，1，e，π}，则（∁RA）∩B＝（　　）
A．{0，1，e} B．{0，1，e，π} C．{0，1，π} D．{1，e，π}
2．（5分）已知复数z＝1﹣i，则＝（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，而且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明准时到校的概率为（　　）
A．0.954 B．0.956 C．0.958 D．0.959
4．（5分）已知函数y＝g（x）的图象与函数y＝sin2x的图象关于直线x＝π对称，将g（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝f（x）的图象，则函数y＝f（x）在时的值域为（　　）
A． B． C． D．[0，1]
5．（5分）已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（　　）
A．8π B．16π C． D．
6．（5分）已知正数x，y满足，则x+y的最小值与最大值的和为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（5分）已知等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，均有S6≤Sn成立，则不可能的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（5分）已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（　　）
A．a＞2＞b B．b＞2＞a C．a＞b＞2 D．b＞a＞2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知双曲线，下列对双曲线C的判断正确的是（　　）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为8
C．离心率为 D．渐近线方程为
（多选）10．（5分）为弘扬文明、和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋”“邻里互助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数（单位：人）记录如下：
日期
项目
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
党员先锋
24
27
26
25
37
76
72
邻里互助
11
13
11
11
127
132
143
对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有（　　）
A．“党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25
B．“邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64
C．用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为
D．用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为
（多选）11．（5分）已知直线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，点A在x轴上方，点M（﹣1，﹣1）是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（　　）
A．p＝2 B．k＝﹣2 C．MF⊥AB D．
（多选）12．（5分）已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为的菱形，B，C分别为AE，FD的中点，，则在该四面体中（　　）

A．BE⊥CD
B．BE与平面DCE所成角的余弦值为
C．四面体ABCD的内切球半径为
D．四面体ABCD的外接球表面积为9π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知函数是偶函数，则a＝　 　．
14．（5分）（1+x+x2）6展开式中x4的系数为 　 　．
15．（5分）函数f（x）＝|2ex﹣1|﹣2x的最小值为 　 　．
16．（5分）已知圆O的方程为x2+y2＝1，P是圆C：（x﹣2）2+y2＝16上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则的取值范围为 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）武汉热干面既是中国四大名面之一，也是湖北武汉最出名的小吃之一．某热干面店铺连续10天的销售情况如下（单位：份）；
天数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
套餐一
120
100
140
140
120
70
150
120
110
130
套餐二
80
90
90
60
50
90
70
80
90
100
（1）分别求套餐一、套餐二的均值、方差，并判断两种套餐销售的稳定情况；
（2）假定在连续10天中每位顾客只购买了一份，根据图表内容填写下列2×2列联表，并据此判断能否有95%的把握认定顾客性别与套餐选择有关？
顾客套餐
套餐一
套餐二
合计
男顾客
400


女顾客

500

合计



附：
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，求△ABC的面积S．
19．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且对任意n∈N*，都有an+2＝3an+1﹣2an．
（1）求证：{an+1﹣an}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）求使得不等式成立的最大正整数m．
20．（12分）如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上．
（1）求证：EF⊥AD；
（2）若二面角A﹣EF﹣D的平面角为45°，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．

21．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知点A，B是双曲线的两个实轴顶点，点P是双曲线上异于A，B的任意一点，直线PA交E于M，直线PB交E于N，证明：直线MN的倾斜角为定值．
22．（12分）已知，其中a∈R．
（1）当a＝1时，分别求n＝1和n＝2的f（x）的单调性；
（2）求证：当a＝1时，f（x）＝0有唯一实数解x＝0；
（3）若对任意的x≥0，n∈N*都有f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

2021-2022学年湖北省武汉市武昌区高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x2≥9，x∈R}，B＝{0，1，e，π}，则（∁RA）∩B＝（　　）
A．{0，1，e} B．{0，1，e，π} C．{0，1，π} D．{1，e，π}
【分析】求出集合A，进而求出∁RA，由此能求出（∁RA）∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|x2≥9，x∈R}＝{x|x≥3或x≤﹣3}，
∴∁RA＝{x|﹣3＜x＜3}，
B＝{0，1，e，π}，则（∁RA）∩B＝{0，1，e}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）已知复数z＝1﹣i，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
【解答】解：∵z＝1﹣i，∴，
∴＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．（5分）小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，而且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明准时到校的概率为（　　）
A．0.954 B．0.956 C．0.958 D．0.959
【分析】分别求出小明上学乘坐公共汽车和地铁准时到校的概率，然后求和可得到小明准时到校的概率．
【解答】解：小明上学乘坐公共汽车准时到校的概率为0.4×（1﹣0.05）＝0.38，
小明上学乘坐地铁准时到校的概率为0.6×（1﹣0.04）＝0.576，
∴小明准时到校的概率为0.38+0.576＝0.956．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）已知函数y＝g（x）的图象与函数y＝sin2x的图象关于直线x＝π对称，将g（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝f（x）的图象，则函数y＝f（x）在时的值域为（　　）
A． B． C． D．[0，1]
【分析】根据函数的对称性F（x）＝F（2π﹣x），推出g（x）＝﹣sin2x，再由图象的平移法则和诱导公式，得f（x）＝sin（2x+），然后根据正弦函数的图象与性质，得解．
【解答】解：因为函数y＝g（x）的图象与函数y＝sin2x的图象关于直线x＝π对称，
所以y＝g（x）＝sin2（2π﹣x）＝﹣sin2x，
将g（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝f（x）＝﹣sin2（x﹣）＝﹣sin（2x﹣）＝﹣sin（2x+﹣π）＝sin（2x+），
因为，所以2x+∈[，]，所以f（x）＝sin（2x+）∈[﹣，1]．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的综合，熟练掌握三角函数的平移变换法则，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5．（5分）已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（　　）
A．8π B．16π C． D．
【分析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，则r＞2，由条件得h＝，由勾股定理得l2＝r2+，从而求出l的最小值，由此能求出当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，则r＞2，由条件得h＝，
∵圆锥的底面圆心到母线的距离为2，则2l＝rh，即h＝，
∵l2＝r2+h2，∴，解得l2＝＝，
∵r＞2，∴＝﹣（﹣）2+≤，
当＝，即r＝2时，l取最小值4，
则圆锥的侧面积为πrl＝＝8．
故选：C．

【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法，考查圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6．（5分）已知正数x，y满足，则x+y的最小值与最大值的和为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】利用基本不等式变形得，，然后把进行变形代换，解二次不等式可求．
【解答】解：因为xy≤，当且仅当x＝y时取等号，
所以，
所以，
又＝x+y+，
所以x+y+≤5，
即（x+y）2﹣5（x+y）+4≤0，
解得，1≤x+y≤4．
所以x+y的最大值与最小值的和为5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式，不等式的性质在求解最值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
7．（5分）已知等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，均有S6≤Sn成立，则不可能的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由已知结合等差数列的性质可得a1＜0，d＞0，a6≤0，然后分情况考虑，结合等差数列的通项公式可求．
【解答】解：由题意得，当n＝6时，Sn取得最小值，
所以a1＜0，d＞0，a6≤0，
若a6＝a1+5d＝0，则＝＝＝4，
若a6＝a1+5d＜0，a7＝a1+6d＞0，
则﹣6＜＜﹣5，
则＝＝＝1+＞4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，考查了公式的灵活应用，属于中档题．
8．（5分）已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（　　）
A．a＞2＞b B．b＞2＞a C．a＞b＞2 D．b＞a＞2
【分析】根据对数和指数的单调性可判断a＞2，b＞2，构造函数f（x）＝6x+8x﹣10x，x＞2，利用换元法和不等式放缩，可证明当x＞2时，f（x）＝6x+8x﹣10x＜0，由此能判断a，b的大小．
【解答】解：∵a＝log23+log86＝
＝＞＝＝，解得a＞2，
由6a+8a＝10b，且a＞2，得6a+8a＞36+64＝100，∴b＞2，
令f（x）＝6x+8x﹣10x，x＞2，
令t＝x﹣2＞0，则x＝t+2，则f（x）＝6x+8x﹣10x，x＞2等价于g（t）＝36×6t+64×8t﹣100×10t，t＞0，
∵g（t）＝36×6t+64×8t﹣100×10t＜100×8t﹣100×8t，
∴当x＞2时，f（x）＝6x+8x﹣10x＜0，
∴6a+8a＝10b＜10a，
∴a＞b＞2．
故选：C．
【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性、换元法、放缩法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知双曲线，下列对双曲线C的判断正确的是（　　）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为8
C．离心率为 D．渐近线方程为
【分析】求出双曲线的实轴长，虚轴长，焦距，离心率以及渐近线方程，即可判断选项．
【解答】解：双曲线，可知实轴长4，虚轴长4，焦距8，离心率以及渐近线方程x±y＝0，
所以B、D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
（多选）10．（5分）为弘扬文明、和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋”“邻里互助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数（单位：人）记录如下：
日期
项目
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
党员先锋
24
27
26
25
37
76
72
邻里互助
11
13
11
11
127
132
143
对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有（　　）
A．“党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25
B．“邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64
C．用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为
D．用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为
【分析】利用极差、中位数的定义判断A；利用众数、平均数的定义判断B；利用古典概型、列举法判断CD．
【解答】解：对于A，“党员先锋”项目参与人数的极差为：76﹣24＝52，中位数为27，故A错误；
对于B，邻里互助”项目参与人数的众数为11，
平均数为：（11+13+11+11+127+132+143）＝64，故B正确；
对于C，用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的事件设为M，
则事件M包含的基本事件有四种情况，分别为：
“星期二、星期三、星期四”，“星期三、星期四、星期五”，“星期四、星期五、星期六”，“星期五、星期六、星期日”，
其中一周内连续三天，有5种情况，分别为：
“星期一、星期二、星期三”，“星期二、星期三、星期四”，“星期三、星期四、星期五”，“星期四、星期五、星期六”，“星期五、星期六、星期日”，
∴“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为P（M）＝，故C错误；
对于D，用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的事件设为N，
由B知该项目平均数为64，
则事件N包含的基本事件有2种情况，分别为：
”星期五、星期六“，”星期六、星期日“，
其中一周内连续2天的情况有6种，分别为：
”星期一、星期二“，”星期二、星期三“，”星期三、星期四“，”星期四、星期五“，”星期五、星期六“，”星期六、星期日“，
∴“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为的概率为P（N）＝，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查极差、中位数、众数、平均数、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（5分）已知直线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，点A在x轴上方，点M（﹣1，﹣1）是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（　　）
A．p＝2 B．k＝﹣2 C．MF⊥AB D．
【分析】由直线l的方程恒过定点即为抛物线的焦点，由M在抛物线的准线上求出p的值，进而可得AB的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再由以AB 为直径的圆过M点可得可得•＝0 可得k的值，进而求出MF的斜率可判断C，再求|FA|，|FB|，可判断D．
【解答】解：直线l：y＝k（x﹣），恒过（，0），即过抛物线的焦点F，
所以抛物准线方程为x＝﹣，点M（﹣1，﹣1）是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，M在抛物线的准线上，所以﹣＝﹣1，解得p＝2，
所以A正确，焦点坐标为（1，0），直线l整理可得y＝k（x﹣1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线的方程，
整理可得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
x1x2＝1，x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣2）＝，y1y2＝﹣4＝﹣4，
由题意可得•＝0，即（x1+1，y1+1）•（x2+1，y2+1）＝0，
整理可得x1x2+（x1+x2）+1+y1y2+（y1+y2）+1＝0，代入可得1++1﹣4++1＝0，解得：++1＝0，解得k＝﹣2，所以B正确，
又kMF＝＝，所以kMF•k＝﹣1，所以MF⊥AB，所以C正确；
x1x2＝1，x1+x2＝3，解得x1＝，x2＝，
|FA|＝+1，|FB|＝+1，所以＝，故D不正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查直线恒过的定点的坐标及直线与抛物线的综合，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为的菱形，B，C分别为AE，FD的中点，，则在该四面体中（　　）

A．BE⊥CD
B．BE与平面DCE所成角的余弦值为
C．四面体ABCD的内切球半径为
D．四面体ABCD的外接球表面积为9π
【分析】作出展开图拼成的几何体，取AB中点M，CD中点N，MN中点O，连接　MN，OA，过O作OH⊥CM于H，则OH是内切球的半径，OA是外接球的半径．
对于A，由AN⊥CD，BN⊥CD，得CD⊥平面ABN，从而BE⊥CD；对于B，推导出∠BAN是BE与平面DCE所成角，求出cos∠BAN＝；对于C，OH＝＝；对于D，OA2＝AM2+（MN）2＝，从而四面体ABCD的外接球表面积为9π．
【解答】解：由题意得展开图拼成的几何体如下图所求，

AB＝CD＝，AD＝BD＝BC＝AC＝2，
取AB中点M，CD中点N，MN中点O，连接　MN，OA，
过O作OH⊥CM于H，则OH是内切球的半径，OA是外接球的半径，
∴AM＝CN＝AB＝，CM＝AN＝＝＝，
MN＝＝＝，
对于A，AN⊥CD，BN⊥CD，AN∩BN＝N，∴CD⊥平面ABN，
∵BE⊂平面ABN，∴BE⊥CD，故A正确；
对于B，∵CD⊂平面ACD，∴平面ABN⊥平面ACD，∴∠BAN是BE与平面DCE所成角，
∴cos∠BAN＝＝，故B错误；
对于C，OH＝＝＝，故C正确；
对于D，OA2＝AM2+（MN）2＝（）2+（）2＝，
∴四面体ABCD的外接球表面积为9π，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知函数是偶函数，则a＝　﹣1　．
【分析】根据偶函数的定义建立方程f（﹣x）＝f（x），进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
得（e﹣x+aex）ln（﹣x）＝（ex+ae﹣x）ln（+x）＝（ex+ae﹣x）ln）＝（ex+ae﹣x）ln＝﹣（ex+ae﹣x）ln（﹣x），
则e﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x）＝﹣ae﹣x﹣ex，
即（a+1）e﹣x+（a+1）ex＝0，即（a+1）（e﹣x+ex）＝0，得a+1＝0，
得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义建立方程是解决本题的关键，是中档题．
14．（5分）（1+x+x2）6展开式中x4的系数为 　90　．
【分析】求出二项展开式的通项为C6r∁rkxr+k，由x的系数等于4求得r+k＝4，即可求出．
【解答】解：（1+x+x2）6＝[1+（x+x2）]6的展开式的通项为C6r（x+x2）r，
其中（x+x2）r的展开式的通项为∁rkxr+k，
则（1+x+x2）6的展开式的通项为C6r∁rkxr+k，
令r+k＝4，且k≤r≤6，
当k＝0，r＝4满足，当k＝1，r＝3时满足，当r＝k＝2时满足，
故展开式中x4的系数为C64C40+C63C31+C62C22＝90，
故答案为：90．
【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是中档题．
15．（5分）函数f（x）＝|2ex﹣1|﹣2x的最小值为 　1　．
【分析】根据绝对值的应用将函数表示为分段函数形式，求函数的导数，研究函数的单调性，根据最值和单调性关系进行求解即可．
【解答】解：当2ex﹣1≥0时，得ex≥，得x≥ln＝﹣ln2时，f（x）＝2ex﹣1﹣2x，
此时f′（x）＝2ex﹣2，由f′（x）＞0得x＞0，此时f（x）为增函数，
由f′（x）＜0得﹣ln2≤x＜0，此时f（x）为减函数，即当x＝0时，f（x）取得极小值f（0）＝2﹣1﹣0＝1，
当x＜ln时，f（x）＝1﹣2ex﹣2x为减函数，此时f（x）＞f（ln）＝1﹣2﹣2ln＝﹣2ln＝2ln2，
∵2ln2＞1，
∴函数的最小值为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据函数最值与导数的关系进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
16．（5分）已知圆O的方程为x2+y2＝1，P是圆C：（x﹣2）2+y2＝16上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则的取值范围为 　[，]　．
【分析】利用圆切线的性质与圆心切点连线垂直，可设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长，根据平面向量的数量积公式计算•，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元求出函数的最值即可．
【解答】解：圆O的方程为x2+y2＝1，圆C：（x﹣2）2+y2＝16的圆心C（2，0），半径r＝4，
设PA与PB的夹角为2α，如图所示：

则|PA|＝|PB|＝，
所以f（α）＝•＝|PA|•|PB|•cos2α＝•cos2α
＝•cos2α．
记cos2α＝u，P在圆C的左顶点时，sinα＝，所以cos2α＝1﹣2sin2α＝，u取得最小值，
P在圆C的右顶点时，sinα＝，所以cos2α＝1﹣2sin2α＝，
所以μ∈[，]，y＝＝，
记t＝1﹣u，则t∈[，]，y＝﹣3+t+，且该函数在t∈[，]内单调递减，
所以t＝时，ymax＝﹣3++36＝，t＝时，ymin＝﹣3++4＝，
所以•的取值范围是[，]．
故答案为：[，]．

【点评】本题考查了圆的切线性质、三角函数的二倍角公式、平面向量的数量积公式与函数的单调性运算问题，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）武汉热干面既是中国四大名面之一，也是湖北武汉最出名的小吃之一．某热干面店铺连续10天的销售情况如下（单位：份）；
天数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
套餐一
120
100
140
140
120
70
150
120
110
130
套餐二
80
90
90
60
50
90
70
80
90
100
（1）分别求套餐一、套餐二的均值、方差，并判断两种套餐销售的稳定情况；
（2）假定在连续10天中每位顾客只购买了一份，根据图表内容填写下列2×2列联表，并据此判断能否有95%的把握认定顾客性别与套餐选择有关？
顾客套餐
套餐一
套餐二
合计
男顾客
400


女顾客

500

合计



附：
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
【分析】（1）根据均值和方差的计算公式，可分别求得两个套餐的均值和方差，再根据“方差越小越稳定”来判断销售情况的稳定性；
（2）由（1）中数据可得10天共销售套餐一1200份，套餐二800份，从而补充完整2×2列联表，再由K2的公式计算其观测值，并与附表中的数据对比，即可作出判断．
【解答】解：（1）套餐一：
均值为×（120+100+140+140+120+70+150+120+110+130）＝120，
方差为×[（120﹣120）2+（100﹣120）2+（140﹣120）2+（140﹣120）2+（120﹣120）2+（70﹣120）2+（150﹣120）2+（120﹣120）2+（110﹣120）2+（130﹣120）2]＝480，
套餐二：
均值为×（80+90+90+60+50+90+70+80+90+100）＝80，
方差为×[（80﹣80）2+（90﹣80）2+（90﹣80）2+（60﹣80）2+（50﹣80）2+（90﹣80）2+（70﹣80）2+（80﹣80）2+（90﹣80）2+（100﹣80）2]＝200，
因为480＞200，所以套餐二的销售情况更稳定．
（2）由（1）知，套餐一的均值为120，套餐二的均值为80，
所以10天共销售套餐一10×120＝1200份，套餐二10×80＝800份，
所以购买套餐一的女顾客有1200﹣800＝400人，购买套餐二的男顾客有800﹣500＝300人，
补充完整的2×2列联表如下所示：
顾客套餐
套餐一
套餐二
合计
男顾客
400
300
700
女顾客
800
500
1300
合计
1200
800
2000
所以K2＝≈3.663＜3.841，
故没有95%的把握认定顾客性别与套餐选择有关．
【点评】本题考查独立性检验，均值和方差的求法，考查对数据的分析与处理能力，属于中档题．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，求△ABC的面积S．
【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换求出A的值；
（2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
利用正弦定理：，
由于0＜A、B、C＜π，
所以；
故A＝；
（2）由（1）得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc，
整理得7＝19﹣3bc，
故bc＝4；
所以．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
19．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且对任意n∈N*，都有an+2＝3an+1﹣2an．
（1）求证：{an+1﹣an}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）求使得不等式成立的最大正整数m．
【分析】（1）把已知数列递推式变形，可得{an+1﹣an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，求其通项公式，再由累加法求{an}的通项公式；
（2）计算依次计算的前几项，作和分析可得使得不等式成立的最大正整数m．
【解答】（1）证明：由an+2＝3an+1﹣2an，得an+2﹣an+1＝2（an+1﹣an），
∵a1＝1，a2＝2，∴a2﹣a1＝1≠0，
则，可得{an+1﹣an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
则．
∴an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+...+（a2﹣a1）+a1
＝2n﹣2+2n﹣3+...+20+1＝；
（2）解：，，，，
，，
∵＜，
，
∴使得不等式成立的最大正整数m＝6．
【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了利用累加法求数列的通项公式，是中档题．
20．（12分）如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上．
（1）求证：EF⊥AD；
（2）若二面角A﹣EF﹣D的平面角为45°，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．

【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明EF⊥平面AED即可．
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
【解答】（1）证明：由已知有EF⊥ED，EF⊥AE，
又AE∩ED＝E，AE，ED⊂平面AED，
所以EF⊥平面AED，
∵AD⊂平面AED，∴EF⊥AD；
解：（2）由（1）知EF⊥平面AED，EF⊂平面EDCF，
∴平面EDCF⊥平面AED，在平面AED内过E作EM⊥ED，可得EF⊥EM，
以E为坐标原点，EM，ED，EF为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则x轴的方向向量为平面EDCF的法向量，所以平面EDCF的一个法向量＝（1，0，0），
设CK＝a，
∵二面角A﹣EF﹣D的平面角为45°，
∴∠AED＝45°，
则K（0，2﹣a，4），A（，，0），所以＝（﹣，2﹣a﹣，4），
设直线AK与平面CD EF所成角为θ，
∵直线AK与平面CDEF所成角的正切值为，
∴tanθ＝，则sinθ＝，即sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，
整理得（2﹣﹣a）2＝2，
得a＝2﹣2（舍）或a＝2，
即CK＝2．

【点评】本题主要考查空间直线垂直的证明以及空间线面角的应用，根据线面垂直的性质定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键，是中档题．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知点A，B是双曲线的两个实轴顶点，点P是双曲线上异于A，B的任意一点，直线PA交E于M，直线PB交E于N，证明：直线MN的倾斜角为定值．
【分析】（1）由椭圆的离心率及短轴长可得a，b的值，求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得双曲线的方程，设P的坐标，代入双曲线的方程可得P的横纵坐标的关系，求出直线PA，PB的斜率之积，可得为定值，设直线PA的方程，与椭圆的方程联立求出M的横坐标，设直线PB的方程，与椭圆的方程联立求出N的横坐标，可得M，N的横坐标相同，即MN垂直于x轴，可证得直线MN的倾斜角为定值．
【解答】解：（1）由椭圆的离心率可得e＝＝＝，2b＝2，所以可得b＝，a2＝4，
所以椭圆E的方程为：+＝1；
（2）证明：由（1）可得双曲线的方程为：﹣＝1，
则由题意可得A（﹣2，0），B（2，0），
设P（x0，y0），因为P在双曲线上，所以﹣＝1，则y02＝3（﹣1）＝（x02﹣4），
因为kPA•kPB＝•＝＝＝，
设直线PA的方程为：y＝k（x+2），
联立，整理可得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，
则﹣2xM＝，则xM＝，
直线PB的方程为y＝（x﹣2），
联立，整理可得：（3+4k2）x2﹣12x+12﹣16k2＝0，
则2xN＝，可得xN＝，
可得xM＝xN，则可得MN⊥x轴，
所以可证得直线MN的倾斜角为．

【点评】本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22．（12分）已知，其中a∈R．
（1）当a＝1时，分别求n＝1和n＝2的f（x）的单调性；
（2）求证：当a＝1时，f（x）＝0有唯一实数解x＝0；
（3）若对任意的x≥0，n∈N*都有f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）当a＝1，n＝1时，f（x）＝ex﹣（1+x），当a＝1，n＝2时，，利用导数计算即可判断单调性．
（2）当a＝1时，f（x）＝0等价于，构造函数，则，讨论当n为偶数，当n为奇数时，g（x）的单调性，结果g（0）＝1即可证得结果．
（3）f（x）≥0等价于．由（2）知，，即可求得结果．
【解答】（1）解：．
当a＝1，n＝1时，f（x）＝ex﹣（1+x），f'（x）＝ex﹣1．
由f'（x）＝ex﹣1＞0，得x＞0；由f'（x）＝ex﹣1＜0，得x＜0．
所以，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．
当a＝1，n＝2时，，f'（x）＝ex﹣（1+x）．
因为f''（x）＝ex﹣1，可知当x＝0，f'（x）取得极小值0，可知f'（x）＝ex﹣（1+x）≥0，所以f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增．
（2）证明：当a＝1时，．
即，即
令，则．
所以，当n为偶数时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．
因为g（0）＝1，所以g（x）＝1有唯一解x＝0．
当n为奇数时，若x＜0，则g'（x）＞0，g（x）在（﹣∞，0）单调递增；
若x＜0，则g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）单调递减．因为g（0）＝1，所以g（x）＝1有唯一解x＝0．
综上，当a＝1时，f（x）＝0有唯一实解x＝0．
（3）解：当x≥0，n∈N*时，f（x）≥0等价于，
即，即．
由（2）知，，
所以，实数a的取值范围是{a|a≤1}．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、函数零点存在定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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