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2019-2020学年湖北省武汉市五校联合体高一（上）期末数学试卷
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这是一份2019-2020学年湖北省武汉市五校联合体高一（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年湖北省武汉市五校联合体高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．（5分）已知M＝{x|x2﹣x≤0}，N＝{x|}，则集合M、N之间的关系为（ ）
A．M∩N＝∅ B．M＝N C．N⫋M D．M⫋N
2．（5分）设f（x）＝，g（x）＝，则f（g（π））的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．π
3．（5分）已知，则tan2α＝（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
4．（5分）已知lga+lgb＝0（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），则函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logbx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα＝﹣，则m的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
6．（5分）化简的结果是（ ）
A．sin2+cos2 B．sin2﹣cos2 C．cos2﹣sin2 D．﹣sin2﹣cos2
7．（5分）设地球表面某地正午太阳高度角为θ，ξ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，则有θ＝90°﹣|φ﹣ξ|．根据地理知识，武汉地区的纬度值约为北纬30°，当太阳直射南回归线（此时的太阳直射纬度为﹣23°26'）时物体的影子最长，如果在武汉某高度为h0的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡（如图所示），两楼的距离应至少约为h0的（ ）倍？（注意tan36°34′＝0.75）
A．0.5倍 B．0.8倍 C．1倍 D．1.4倍
8．（5分）定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，若a＝f（），b＝f（log24.9），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b
9．（5分）若函数f（x）＝2x﹣x2（x＜0）的零点为x0，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
10．（5分）给出下列函数：①y＝cos|2x|，②y＝cos|x|，③y＝sin（），④y＝tan|x|，其中周期为π的所有偶函数为（ ）
A．①② B．①②③ C．②④ D．①③
11．（5分）若y＝log0.5（3x2+ax+5）在（﹣1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．[6，8） B．[6，8] C．[6，+∞） D．[，）
12．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜），其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，若f（x）＞1对∀x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（ ）
A．[﹣，] B．[﹣，0] C．（﹣，﹣] D．[0，]
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若y＝f（x）在x∈[0，+∞）上的表达式为y＝x（1﹣x），且f（x）为奇函数，则x∈（﹣∞，0]时，f（x）等于 ．
14．（5分）函数f（x）＝3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是
①图象C关于直线x＝π对称；
②图象C关于点（，0）对称；
③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；
④由y＝3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．
15．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了 个“半衰期”．【提示：】
16．（5分）设函数则函数g（x）＝3f2（x）﹣8f（x）+4的零点个数是 ．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣x2+2x+15≤0}，B＝{x||x﹣5|＜1}，求A∪B，（∁RA）∩B．
18．（12分）函数f（x）＝Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）f（x）的图象向右平行移动个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g（x）的图象，用“五点法”作出g（x）在[0，π]内的大致图象．
19．（12分）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（3）若对任意的x∈[1，2]，不等式f（x2﹣mx）+f（x2+4）＞0成立，求实数m的取值范围．
20．（12分）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．
（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？
21．（12分）已知定义域在（0，+∞）上的函数f（x）满足对于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）＝f（x）+f（y），当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立．
（1）设x，y∈（0，+∞），求证f（）＝f（y）﹣f（x）；
（2）设x1，x2∈（0，+∞），若f（x1）＜f（x2），试比较x1与x2的大小；
（3）若﹣1＜a＜3，解关于x的不等式f[x2﹣（a+1）x+a+1]＞0．
22．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2x+1．
（Ⅰ）若f（x）的值域为[0，+∞），求a的值；
（Ⅱ）已知a≤，是否存在这样的实数a，使函数在区间[1，2]内有且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年湖北省武汉市五校联合体高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．（5分）已知M＝{x|x2﹣x≤0}，N＝{x|}，则集合M、N之间的关系为（ ）
A．M∩N＝∅ B．M＝N C．N⫋M D．M⫋N
【分析】可以求出集合M，N，然后即可判断集合M，N的关系．
【解答】解：∵M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|0＜x≤1}，
∴M∩N＝N，N⫋M．
故选：C．
【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式和分式不等式的解法，交集和真子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）设f（x）＝，g（x）＝，则f（g（π））的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．π
【分析】根据π是无理数可求出g（π）的值，然后根据分段函数f（x）的解析式可求出f（g（π））的值．
【解答】解：∵π是无理数
∴g（π）＝0
则f（g（π））＝f（0）＝0
故选：B．
【点评】本题主要考查了分段函数的求值，解题的关键判定π是否为有理数，属于基础题．
3．（5分）已知，则tan2α＝（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
【分析】由已知求得cos2α，再由商的关系求解tan2α．
【解答】解：∵α∈[，∴2α∈[]，
又，
∴cos2α＝﹣＝﹣．
∴tan2＝．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
4．（5分）已知lga+lgb＝0（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），则函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logbx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分析可知，，再由指数函数及对数函数的性质即可得解．
【解答】解：由lga+lgb＝0可知，，故f（x）＝a﹣x＝bx，
故函数函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logbx的单调性相同，
故选：B．
【点评】本题考查对数运算及指数函数，对数函数的图象及性质，属于基础题．
5．（5分）已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα＝﹣，则m的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m的值．
【解答】解：由题意可得x＝﹣8m，y＝﹣6sin30°＝﹣3，r＝|OP|＝，cosα＝＝＝﹣，
解得m＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
6．（5分）化简的结果是（ ）
A．sin2+cos2 B．sin2﹣cos2 C．cos2﹣sin2 D．﹣sin2﹣cos2
【分析】利用诱导公式变形，化为两数和的平方，开方得答案．
【解答】解：＝
＝
＝|sin2+cos2|＝sin2+cos2．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
7．（5分）设地球表面某地正午太阳高度角为θ，ξ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，则有θ＝90°﹣|φ﹣ξ|．根据地理知识，武汉地区的纬度值约为北纬30°，当太阳直射南回归线（此时的太阳直射纬度为﹣23°26'）时物体的影子最长，如果在武汉某高度为h0的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡（如图所示），两楼的距离应至少约为h0的（ ）倍？（注意tan36°34′＝0.75）
A．0.5倍 B．0.8倍 C．1倍 D．1.4倍
【分析】θ＝90°﹣|φ﹣ξ|＝90°﹣|30°﹣（﹣23°26'）|＝36°34′，可得＝tan36°34′，进而得出．
【解答】解：θ＝90°﹣|φ﹣ξ|＝90°﹣|30°﹣（﹣23°26'）|＝36°34′，
∴＝tan36°34′＝0.75，
∴影长＝h0≈1.4h0．
∴两楼的距离应至少约为h0的1.4倍．
故选：D．
【点评】本题考查了解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（5分）定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，若a＝f（），b＝f（log24.9），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：因为偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，
故f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∵a＝f（）＝f（log26），b＝f（log24.9），c＝f（20.8），
又log26＞log24.9＞2＞20.8＞1，
则a＞b＞c．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
9．（5分）若函数f（x）＝2x﹣x2（x＜0）的零点为x0，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点．
【解答】解：由f（﹣1）＝﹣＞0，f（0）＝1＞0，f（﹣2）＝＞0，f（﹣3）＝＜0，
及零点存在定理知f（x）的零点在区间（﹣3，﹣2）上，
∴零点所在的一个区间是（a，a+1）＝（﹣3，﹣2）
∴a＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，本题的解题的关键是检验函数值的符号．
10．（5分）给出下列函数：①y＝cos|2x|，②y＝cos|x|，③y＝sin（），④y＝tan|x|，其中周期为π的所有偶函数为（ ）
A．①② B．①②③ C．②④ D．①③
【分析】根据三角函数的诱导公式，结合三角函数的周期公式进行求解判断即可．
【解答】解：①y＝cos|2x|＝cos2x，是偶函数，周期T＝＝π，满足条件
②y＝cos|x|＝cosx，是偶函数，周期T＝2π，不满足条件
③y＝sin（）＝cos2x，是偶函数，周期T＝＝π，满足条件
④y＝tan|x|是偶函数，但不是周期函数，不满足条件．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式以及周期公式是解决本题的关键．比较基础．
11．（5分）若y＝log0.5（3x2+ax+5）在（﹣1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．[6，8） B．[6，8] C．[6，+∞） D．[，）
【分析】由外层函数对数函数为减函数，可知要使复合函数在（﹣1，+∞）上单调递减，只需内层函数t＝3x2+ax+5在（﹣1，+∞）上单调递增且恒大于0即可．
【解答】解：令t＝3x2+ax+5，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝，
外层函数y＝log0.5t是定义域内的减函数，
∴要使y＝log0.5（3x2+ax+5）在（﹣1，+∞）上单调递减，
则，解得6≤a≤8．
∴a的取值范围是[6，8]．
故选：B．
【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
12．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜），其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，若f（x）＞1对∀x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（ ）
A．[﹣，] B．[﹣，0] C．（﹣，﹣] D．[0，]
【分析】由函数图象和题意可得ω＝3，进而可得关于φ的不等式组，解不等式组结合选项可得．
【解答】解：由题意可得函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+1的最大值为3，
∵f（x）图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，
∴f（x）的周期T＝，∴＝，解得ω＝3，
∴f（x）＝2cos（3x+φ）+1，
∵f（x）＞1对∀x∈（﹣，）恒成立，
∴2cos（3x+φ）+1＞1即cos（3x+φ）＞0对∀x∈（﹣，）恒成立，
∴﹣+φ≥2kπ﹣且+φ≤2kπ+，k∈Z．
解得φ≥2kπ﹣且φ≤2kπ，即2kπ﹣≤φ≤2kπ，k∈Z．
结合选项可得当k＝0时，φ的取值范围为[﹣，0]，
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的周期性和恒成立，属中档题．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若y＝f（x）在x∈[0，+∞）上的表达式为y＝x（1﹣x），且f（x）为奇函数，则x∈（﹣∞，0]时，f（x）等于 x（1+x） ．
【分析】先设x≤0，则﹣x≥0，根据x≥0时，y＝f（x）＝x（1﹣x），代入即可求解．
【解答】解：设x≤0，则﹣x≥0，
因为x≥0时，y＝f（x）＝x（1﹣x），
所以f（﹣x）＝﹣x（1+x）＝﹣f（x），
故f（x）＝x（1+x）．
故答案为：x（1+x）．
【点评】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数解析式，属于基础试题．
14．（5分）函数f（x）＝3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是 ①②③
①图象C关于直线x＝π对称；
②图象C关于点（，0）对称；
③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；
④由y＝3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．
【分析】把代入求值，只要是的奇数倍，则①正确，把横坐标代入求值，只要是π的倍数，则②对；同理由x的范围求出的范围，根据正弦函数的单调区间判断③是否对，因为向右平移故把x＝x﹣代入进行化简，再比较判断④是否正确．
【解答】解：①、把代入得，，故①正确；
②、把x＝代入得，，故②正确；
③、当时，求得，故③正确；
④、有条件得，，故④不正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了复合三角函数图象的性质和图象的变换，把作为一个整体，根据条件和正弦函数的性质进行求解以及判断，考查了整体思想．
15．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了 10 个“半衰期”．【提示：】
【分析】设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14，则，即，再根据参考数据即可得解．
【解答】解：设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14，
则，即，
由参考数据可知，＞0.001，＜0.001，
∴n＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查合情推理及指数的简单计算，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
16．（5分）设函数则函数g（x）＝3f2（x）﹣8f（x）+4的零点个数是 5 ．
【分析】利用复合函数的关系，结合函数与方程的关系进行转化，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：由g（x）＝3f2（x）﹣8f（x）+4＝[3f（x）﹣2][f（x）﹣2]＝0，
得和f（x）＝2，函数的图象如图所示：
由图可得方程和f（x）＝2共有5个根，
即函数g（x）＝3f2（x）﹣8f（x）+4有5个零点．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合复合函数关系进行分解，利用数形结合进行求解是解决本题的关键．难度不大．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣x2+2x+15≤0}，B＝{x||x﹣5|＜1}，求A∪B，（∁RA）∩B．
【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|x≤﹣3或x≥5}，B＝{x|4＜x＜6}，
∴A∪B＝{x|x≤﹣3或x＞4}，
∁RA＝{x|﹣3＜x＜5}，
（∁RA）∩B＝{x|4＜x＜5}．
【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，交、并、补集的混合运算，考查了计算能力，属于基础题．
18．（12分）函数f（x）＝Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）f（x）的图象向右平行移动个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g（x）的图象，用“五点法”作出g（x）在[0，π]内的大致图象．
【分析】（Ⅰ）根据条件求出A，ω的值，即可求函数f（x）的解析式，结合函数的单调性即可求当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）根据三角函数的图象平移关系求出g（x）的解析式，利用五点法进行作图即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的最大值是3，
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，
∴ω＝2．（2分）
所以f（x）＝2sin（2x﹣）+1
令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，
即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，（4分）
∵x∈[0，π]，
∴f（x）的单调减区间为[，]．（5分）
（Ⅱ）依题意得g（x）＝f（x﹣）﹣1＝2sin（2x﹣），
列表得：
x
0
π
2x﹣
﹣
0
π
g（x）
﹣
0
2
0
﹣2
﹣
（7分）
描点（0，﹣），（，0），（，2），（，0），（，﹣2），（π，﹣），（8分）
连线得g（x）在[0，π]内的大致图象．
（10分）
【点评】本题主要考查三角函数图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用五点法作图是解决本题的关键．
19．（12分）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（3）若对任意的x∈[1，2]，不等式f（x2﹣mx）+f（x2+4）＞0成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）令f（0）＝0；（2）利用单调性定义证明；（3）利用单调性的定义，转化为求2x2﹣mx+4＞0，利用参数分离法求出．
【解答】解（1）由题意得：
∵函数是奇函数，定义域为R
∴f（0）＝0，＝0，解得a＝1．
（2）f（x）＝，设x1，x2∈R，x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝（﹣）
＝（）
＝＜0，
故f（x）在R上单调递增；
（3）任意的x∈[1，2]，不等式f（x2﹣mx）+f（x2+4）＞0，
即f（x2﹣mx）＞f（﹣x2﹣4），所以2x2﹣mx+4＞0，所以m＜2x+，
因为2x+，当且仅2x＝，即当x＝成立，
所以m＜（2x+）min＝4．
【点评】考查函数的奇偶性，函数单调性的证明和应用，函数恒成立问题，基本不等式等，综合性高．
20．（12分）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．
（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？
【分析】（1）设水轮上圆心O正右侧点为A，y轴与水面交点为O′，建立三角函数关系式表示高度h关于时间t的函数；
（2）由h关于t的函数，令h≥2，求出t∈[0，3]时的取值范围，再计算有多长时间即可．
【解答】解：（1）设水轮上圆心O正右侧点为A，y轴与水面交点为O′，如图所示
由OO′＝1，OP0＝2，所以∠O′OP0＝，所以∠AOP0＝；
设h＝2sin（ωt﹣）+1，则T＝＝3，解得ω＝；
所以点P距离水面的高度h关于时间t的函数为
h＝2sin（t﹣）+1（t≥0）；
（2）由h＝2sin（t﹣）+1≥2，
得sin（t﹣）≥；
令t∈[0，3]，则t﹣∈[﹣，]；
由≤t﹣≤，
解得≤t≤，
又﹣＝1，
所以在水轮转动的任意一圈内，有1s时间点P距水面的高度超过2米．
【点评】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
21．（12分）已知定义域在（0，+∞）上的函数f（x）满足对于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）＝f（x）+f（y），当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立．
（1）设x，y∈（0，+∞），求证f（）＝f（y）﹣f（x）；
（2）设x1，x2∈（0，+∞），若f（x1）＜f（x2），试比较x1与x2的大小；
（3）若﹣1＜a＜3，解关于x的不等式f[x2﹣（a+1）x+a+1]＞0．
【分析】（1）取y＝•x，代入已知等式即可证得结果；
（2）由f（x1）＜f（x2），结合（1）中等式f（）＝f（y）﹣f（x），得到f（）＜0，再根据当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立得到 ＞1，从而得到x1＞x2；
（3）在已知等式中取特值x＝y＝1求出f（1）＝0，由（2）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数，在不等式f（x2﹣（a+1）x+a+1）＞0中，用f（1）替换0后利用函数的单调性脱掉“f”，则不等式的解集可求．
【解答】（1）证明：∵f（xy）＝f（x）+f（y），∴f（）+f（x）＝f（y），
∴f（）＝f（y）﹣f（x）；
（2）解：∵f（x1）＜f（x2），∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
又f（）＝f（x1）﹣f（x2），所以f（）＜0，
∵当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立，∴当f（x）＜0时，x＞1，
∴＞1，x1＞x2；
（3）解：令x＝y＝1代入f（xy）＝f（x）+f（y）得f（1）＝f（1）+f（1），f（1）＝0，
∴f（x2﹣（a+1）x+a+1）＞0⇔f（x2﹣（a+1）x+a+1）＞f（1），
由（2）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数，
∴0＜x2﹣（a+1）x+a+1＜1，
∵∀a∈（﹣1，3），Δ＝（a+1）2﹣4（a+1）＝a2﹣2a﹣3＜0；
∴0＜x2﹣（a+1）x+a+1恒成立；
故只需满足x2﹣（a+1）x+a+1＜1即x2﹣（a+1）x+a＜0成立即可；
即（x﹣a）（x﹣1）＜0；
当a∈（﹣1，1）时，x∈（a，1）；
当a＝1时，x∈∅；
当a∈（1，3）时，x∈（1，a）；
综上可得：当a∈（﹣1，1）时，x∈（a，1）；
当a＝1时，x∈∅；
当a∈（1，3）时，x∈（1，a）．
【点评】本题考查了抽象函数的应用，考查了函数的单调性的判断与证明，训练了特值法求函数的值，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，属中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2x+1．
（Ⅰ）若f（x）的值域为[0，+∞），求a的值；
（Ⅱ）已知a≤，是否存在这样的实数a，使函数在区间[1，2]内有且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据一元二次函数图象知若f（x）的值域为[0，+∞），则开口向上，Δ＝0即可；
（Ⅱ）函数在区间[1，2]内有且只有一个零点．即g（x）＝ax2﹣2x+3＝log2x＝h（x），等价于两个函数g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点，根据h（x）中a是否为零，以及图象开口方向与对称轴的位置讨论交点个数即可．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的值域为[0，+∞），则
解得a＝1．
（Ⅱ）由，
即ax2﹣2x+3＝log2x
令g（x）＝ax2﹣2x+3，h（x）＝log2x，x∈[1，2]，
原命题等价于两个函数g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点．
（1）当a＝0时，g（x）＝﹣2x+3在[1，2]上递减，h（x）＝log2x在[1，2]上递增，
而g（1）＝1＞0＝h（1），g（2）＝﹣1＜1＝h（2），
∴函数g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点．
（2）当a＜0时，g（x）图象开口向下，对称轴为x＝＜0，g（x）在[1，2]上递减，h（x）＝log2x在[1，2]上递增，
g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点，
当且仅当，即，即﹣1≤a≤．
∴﹣1≤a＜0．
（3）当0＜a≤时，g（x）图象开口向上，对称轴为，g（x）在[1，2]上递减，h（x）＝log2x在[1，2]上递增，g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点，
，即即，
∴0＜a≤．
综上，存在实数a∈[﹣1，]，使函数y＝f（x）﹣log2于在区间[1，2]内有且只有一个点．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合与分类讨论的思想方法，属于综合题．
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2019-2020学年湖北省武汉市五校联合体高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．（5分）已知M＝{x|x2﹣x≤0}，N＝{x|}，则集合M、N之间的关系为（ ）
A．M∩N＝∅ B．M＝N C．N⫋M D．M⫋N
2．（5分）设f（x）＝，g（x）＝，则f（g（π））的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．π
3．（5分）已知，则tan2α＝（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
4．（5分）已知lga+lgb＝0（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），则函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logbx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα＝﹣，则m的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
6．（5分）化简的结果是（ ）
A．sin2+cos2 B．sin2﹣cos2 C．cos2﹣sin2 D．﹣sin2﹣cos2
7．（5分）设地球表面某地正午太阳高度角为θ，ξ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，则有θ＝90°﹣|φ﹣ξ|．根据地理知识，武汉地区的纬度值约为北纬30°，当太阳直射南回归线（此时的太阳直射纬度为﹣23°26'）时物体的影子最长，如果在武汉某高度为h0的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡（如图所示），两楼的距离应至少约为h0的（ ）倍？（注意tan36°34′＝0.75）
A．0.5倍 B．0.8倍 C．1倍 D．1.4倍
8．（5分）定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，若a＝f（），b＝f（log24.9），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b
9．（5分）若函数f（x）＝2x﹣x2（x＜0）的零点为x0，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
10．（5分）给出下列函数：①y＝cos|2x|，②y＝cos|x|，③y＝sin（），④y＝tan|x|，其中周期为π的所有偶函数为（ ）
A．①② B．①②③ C．②④ D．①③
11．（5分）若y＝log0.5（3x2+ax+5）在（﹣1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．[6，8） B．[6，8] C．[6，+∞） D．[，）
12．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜），其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，若f（x）＞1对∀x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（ ）
A．[﹣，] B．[﹣，0] C．（﹣，﹣] D．[0，]
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若y＝f（x）在x∈[0，+∞）上的表达式为y＝x（1﹣x），且f（x）为奇函数，则x∈（﹣∞，0]时，f（x）等于 ．
14．（5分）函数f（x）＝3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是
①图象C关于直线x＝π对称；
②图象C关于点（，0）对称；
③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；
④由y＝3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．
15．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了 个“半衰期”．【提示：】
16．（5分）设函数则函数g（x）＝3f2（x）﹣8f（x）+4的零点个数是 ．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣x2+2x+15≤0}，B＝{x||x﹣5|＜1}，求A∪B，（∁RA）∩B．
18．（12分）函数f（x）＝Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）f（x）的图象向右平行移动个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g（x）的图象，用“五点法”作出g（x）在[0，π]内的大致图象．
19．（12分）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（3）若对任意的x∈[1，2]，不等式f（x2﹣mx）+f（x2+4）＞0成立，求实数m的取值范围．
20．（12分）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．
（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？
21．（12分）已知定义域在（0，+∞）上的函数f（x）满足对于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）＝f（x）+f（y），当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立．
（1）设x，y∈（0，+∞），求证f（）＝f（y）﹣f（x）；
（2）设x1，x2∈（0，+∞），若f（x1）＜f（x2），试比较x1与x2的大小；
（3）若﹣1＜a＜3，解关于x的不等式f[x2﹣（a+1）x+a+1]＞0．
22．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2x+1．
（Ⅰ）若f（x）的值域为[0，+∞），求a的值；
（Ⅱ）已知a≤，是否存在这样的实数a，使函数在区间[1，2]内有且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年湖北省武汉市五校联合体高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．（5分）已知M＝{x|x2﹣x≤0}，N＝{x|}，则集合M、N之间的关系为（ ）
A．M∩N＝∅ B．M＝N C．N⫋M D．M⫋N
【分析】可以求出集合M，N，然后即可判断集合M，N的关系．
【解答】解：∵M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|0＜x≤1}，
∴M∩N＝N，N⫋M．
故选：C．
【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式和分式不等式的解法，交集和真子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）设f（x）＝，g（x）＝，则f（g（π））的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．π
【分析】根据π是无理数可求出g（π）的值，然后根据分段函数f（x）的解析式可求出f（g（π））的值．
【解答】解：∵π是无理数
∴g（π）＝0
则f（g（π））＝f（0）＝0
故选：B．
【点评】本题主要考查了分段函数的求值，解题的关键判定π是否为有理数，属于基础题．
3．（5分）已知，则tan2α＝（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
【分析】由已知求得cos2α，再由商的关系求解tan2α．
【解答】解：∵α∈[，∴2α∈[]，
又，
∴cos2α＝﹣＝﹣．
∴tan2＝．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
4．（5分）已知lga+lgb＝0（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），则函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logbx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分析可知，，再由指数函数及对数函数的性质即可得解．
【解答】解：由lga+lgb＝0可知，，故f（x）＝a﹣x＝bx，
故函数函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logbx的单调性相同，
故选：B．
【点评】本题考查对数运算及指数函数，对数函数的图象及性质，属于基础题．
5．（5分）已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα＝﹣，则m的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m的值．
【解答】解：由题意可得x＝﹣8m，y＝﹣6sin30°＝﹣3，r＝|OP|＝，cosα＝＝＝﹣，
解得m＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
6．（5分）化简的结果是（ ）
A．sin2+cos2 B．sin2﹣cos2 C．cos2﹣sin2 D．﹣sin2﹣cos2
【分析】利用诱导公式变形，化为两数和的平方，开方得答案．
【解答】解：＝
＝
＝|sin2+cos2|＝sin2+cos2．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
7．（5分）设地球表面某地正午太阳高度角为θ，ξ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，则有θ＝90°﹣|φ﹣ξ|．根据地理知识，武汉地区的纬度值约为北纬30°，当太阳直射南回归线（此时的太阳直射纬度为﹣23°26'）时物体的影子最长，如果在武汉某高度为h0的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡（如图所示），两楼的距离应至少约为h0的（ ）倍？（注意tan36°34′＝0.75）
A．0.5倍 B．0.8倍 C．1倍 D．1.4倍
【分析】θ＝90°﹣|φ﹣ξ|＝90°﹣|30°﹣（﹣23°26'）|＝36°34′，可得＝tan36°34′，进而得出．
【解答】解：θ＝90°﹣|φ﹣ξ|＝90°﹣|30°﹣（﹣23°26'）|＝36°34′，
∴＝tan36°34′＝0.75，
∴影长＝h0≈1.4h0．
∴两楼的距离应至少约为h0的1.4倍．
故选：D．
【点评】本题考查了解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（5分）定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，若a＝f（），b＝f（log24.9），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：因为偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，
故f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∵a＝f（）＝f（log26），b＝f（log24.9），c＝f（20.8），
又log26＞log24.9＞2＞20.8＞1，
则a＞b＞c．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
9．（5分）若函数f（x）＝2x﹣x2（x＜0）的零点为x0，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点．
【解答】解：由f（﹣1）＝﹣＞0，f（0）＝1＞0，f（﹣2）＝＞0，f（﹣3）＝＜0，
及零点存在定理知f（x）的零点在区间（﹣3，﹣2）上，
∴零点所在的一个区间是（a，a+1）＝（﹣3，﹣2）
∴a＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，本题的解题的关键是检验函数值的符号．
10．（5分）给出下列函数：①y＝cos|2x|，②y＝cos|x|，③y＝sin（），④y＝tan|x|，其中周期为π的所有偶函数为（ ）
A．①② B．①②③ C．②④ D．①③
【分析】根据三角函数的诱导公式，结合三角函数的周期公式进行求解判断即可．
【解答】解：①y＝cos|2x|＝cos2x，是偶函数，周期T＝＝π，满足条件
②y＝cos|x|＝cosx，是偶函数，周期T＝2π，不满足条件
③y＝sin（）＝cos2x，是偶函数，周期T＝＝π，满足条件
④y＝tan|x|是偶函数，但不是周期函数，不满足条件．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式以及周期公式是解决本题的关键．比较基础．
11．（5分）若y＝log0.5（3x2+ax+5）在（﹣1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．[6，8） B．[6，8] C．[6，+∞） D．[，）
【分析】由外层函数对数函数为减函数，可知要使复合函数在（﹣1，+∞）上单调递减，只需内层函数t＝3x2+ax+5在（﹣1，+∞）上单调递增且恒大于0即可．
【解答】解：令t＝3x2+ax+5，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝，
外层函数y＝log0.5t是定义域内的减函数，
∴要使y＝log0.5（3x2+ax+5）在（﹣1，+∞）上单调递减，
则，解得6≤a≤8．
∴a的取值范围是[6，8]．
故选：B．
【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
12．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜），其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，若f（x）＞1对∀x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（ ）
A．[﹣，] B．[﹣，0] C．（﹣，﹣] D．[0，]
【分析】由函数图象和题意可得ω＝3，进而可得关于φ的不等式组，解不等式组结合选项可得．
【解答】解：由题意可得函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+1的最大值为3，
∵f（x）图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，
∴f（x）的周期T＝，∴＝，解得ω＝3，
∴f（x）＝2cos（3x+φ）+1，
∵f（x）＞1对∀x∈（﹣，）恒成立，
∴2cos（3x+φ）+1＞1即cos（3x+φ）＞0对∀x∈（﹣，）恒成立，
∴﹣+φ≥2kπ﹣且+φ≤2kπ+，k∈Z．
解得φ≥2kπ﹣且φ≤2kπ，即2kπ﹣≤φ≤2kπ，k∈Z．
结合选项可得当k＝0时，φ的取值范围为[﹣，0]，
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的周期性和恒成立，属中档题．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若y＝f（x）在x∈[0，+∞）上的表达式为y＝x（1﹣x），且f（x）为奇函数，则x∈（﹣∞，0]时，f（x）等于 x（1+x） ．
【分析】先设x≤0，则﹣x≥0，根据x≥0时，y＝f（x）＝x（1﹣x），代入即可求解．
【解答】解：设x≤0，则﹣x≥0，
因为x≥0时，y＝f（x）＝x（1﹣x），
所以f（﹣x）＝﹣x（1+x）＝﹣f（x），
故f（x）＝x（1+x）．
故答案为：x（1+x）．
【点评】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数解析式，属于基础试题．
14．（5分）函数f（x）＝3sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是 ①②③
①图象C关于直线x＝π对称；
②图象C关于点（，0）对称；
③函数即f（x）在区间（﹣，）内是增函数；
④由y＝3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．
【分析】把代入求值，只要是的奇数倍，则①正确，把横坐标代入求值，只要是π的倍数，则②对；同理由x的范围求出的范围，根据正弦函数的单调区间判断③是否对，因为向右平移故把x＝x﹣代入进行化简，再比较判断④是否正确．
【解答】解：①、把代入得，，故①正确；
②、把x＝代入得，，故②正确；
③、当时，求得，故③正确；
④、有条件得，，故④不正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了复合三角函数图象的性质和图象的变换，把作为一个整体，根据条件和正弦函数的性质进行求解以及判断，考查了整体思想．
15．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了 10 个“半衰期”．【提示：】
【分析】设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14，则，即，再根据参考数据即可得解．
【解答】解：设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14，
则，即，
由参考数据可知，＞0.001，＜0.001，
∴n＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查合情推理及指数的简单计算，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
16．（5分）设函数则函数g（x）＝3f2（x）﹣8f（x）+4的零点个数是 5 ．
【分析】利用复合函数的关系，结合函数与方程的关系进行转化，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：由g（x）＝3f2（x）﹣8f（x）+4＝[3f（x）﹣2][f（x）﹣2]＝0，
得和f（x）＝2，函数的图象如图所示：
由图可得方程和f（x）＝2共有5个根，
即函数g（x）＝3f2（x）﹣8f（x）+4有5个零点．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合复合函数关系进行分解，利用数形结合进行求解是解决本题的关键．难度不大．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣x2+2x+15≤0}，B＝{x||x﹣5|＜1}，求A∪B，（∁RA）∩B．
【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|x≤﹣3或x≥5}，B＝{x|4＜x＜6}，
∴A∪B＝{x|x≤﹣3或x＞4}，
∁RA＝{x|﹣3＜x＜5}，
（∁RA）∩B＝{x|4＜x＜5}．
【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，交、并、补集的混合运算，考查了计算能力，属于基础题．
18．（12分）函数f（x）＝Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式和当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）f（x）的图象向右平行移动个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g（x）的图象，用“五点法”作出g（x）在[0，π]内的大致图象．
【分析】（Ⅰ）根据条件求出A，ω的值，即可求函数f（x）的解析式，结合函数的单调性即可求当x∈[0，π]时f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）根据三角函数的图象平移关系求出g（x）的解析式，利用五点法进行作图即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的最大值是3，
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，
∴ω＝2．（2分）
所以f（x）＝2sin（2x﹣）+1
令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，
即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，（4分）
∵x∈[0，π]，
∴f（x）的单调减区间为[，]．（5分）
（Ⅱ）依题意得g（x）＝f（x﹣）﹣1＝2sin（2x﹣），
列表得：
x
0
π
2x﹣
﹣
0
π
g（x）
﹣
0
2
0
﹣2
﹣
（7分）
描点（0，﹣），（，0），（，2），（，0），（，﹣2），（π，﹣），（8分）
连线得g（x）在[0，π]内的大致图象．
（10分）
【点评】本题主要考查三角函数图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用五点法作图是解决本题的关键．
19．（12分）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（3）若对任意的x∈[1，2]，不等式f（x2﹣mx）+f（x2+4）＞0成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）令f（0）＝0；（2）利用单调性定义证明；（3）利用单调性的定义，转化为求2x2﹣mx+4＞0，利用参数分离法求出．
【解答】解（1）由题意得：
∵函数是奇函数，定义域为R
∴f（0）＝0，＝0，解得a＝1．
（2）f（x）＝，设x1，x2∈R，x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝（﹣）
＝（）
＝＜0，
故f（x）在R上单调递增；
（3）任意的x∈[1，2]，不等式f（x2﹣mx）+f（x2+4）＞0，
即f（x2﹣mx）＞f（﹣x2﹣4），所以2x2﹣mx+4＞0，所以m＜2x+，
因为2x+，当且仅2x＝，即当x＝成立，
所以m＜（2x+）min＝4．
【点评】考查函数的奇偶性，函数单调性的证明和应用，函数恒成立问题，基本不等式等，综合性高．
20．（12分）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．
（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？
【分析】（1）设水轮上圆心O正右侧点为A，y轴与水面交点为O′，建立三角函数关系式表示高度h关于时间t的函数；
（2）由h关于t的函数，令h≥2，求出t∈[0，3]时的取值范围，再计算有多长时间即可．
【解答】解：（1）设水轮上圆心O正右侧点为A，y轴与水面交点为O′，如图所示
由OO′＝1，OP0＝2，所以∠O′OP0＝，所以∠AOP0＝；
设h＝2sin（ωt﹣）+1，则T＝＝3，解得ω＝；
所以点P距离水面的高度h关于时间t的函数为
h＝2sin（t﹣）+1（t≥0）；
（2）由h＝2sin（t﹣）+1≥2，
得sin（t﹣）≥；
令t∈[0，3]，则t﹣∈[﹣，]；
由≤t﹣≤，
解得≤t≤，
又﹣＝1，
所以在水轮转动的任意一圈内，有1s时间点P距水面的高度超过2米．
【点评】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
21．（12分）已知定义域在（0，+∞）上的函数f（x）满足对于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）＝f（x）+f（y），当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立．
（1）设x，y∈（0，+∞），求证f（）＝f（y）﹣f（x）；
（2）设x1，x2∈（0，+∞），若f（x1）＜f（x2），试比较x1与x2的大小；
（3）若﹣1＜a＜3，解关于x的不等式f[x2﹣（a+1）x+a+1]＞0．
【分析】（1）取y＝•x，代入已知等式即可证得结果；
（2）由f（x1）＜f（x2），结合（1）中等式f（）＝f（y）﹣f（x），得到f（）＜0，再根据当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立得到 ＞1，从而得到x1＞x2；
（3）在已知等式中取特值x＝y＝1求出f（1）＝0，由（2）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数，在不等式f（x2﹣（a+1）x+a+1）＞0中，用f（1）替换0后利用函数的单调性脱掉“f”，则不等式的解集可求．
【解答】（1）证明：∵f（xy）＝f（x）+f（y），∴f（）+f（x）＝f（y），
∴f（）＝f（y）﹣f（x）；
（2）解：∵f（x1）＜f（x2），∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
又f（）＝f（x1）﹣f（x2），所以f（）＜0，
∵当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立，∴当f（x）＜0时，x＞1，
∴＞1，x1＞x2；
（3）解：令x＝y＝1代入f（xy）＝f（x）+f（y）得f（1）＝f（1）+f（1），f（1）＝0，
∴f（x2﹣（a+1）x+a+1）＞0⇔f（x2﹣（a+1）x+a+1）＞f（1），
由（2）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数，
∴0＜x2﹣（a+1）x+a+1＜1，
∵∀a∈（﹣1，3），Δ＝（a+1）2﹣4（a+1）＝a2﹣2a﹣3＜0；
∴0＜x2﹣（a+1）x+a+1恒成立；
故只需满足x2﹣（a+1）x+a+1＜1即x2﹣（a+1）x+a＜0成立即可；
即（x﹣a）（x﹣1）＜0；
当a∈（﹣1，1）时，x∈（a，1）；
当a＝1时，x∈∅；
当a∈（1，3）时，x∈（1，a）；
综上可得：当a∈（﹣1，1）时，x∈（a，1）；
当a＝1时，x∈∅；
当a∈（1，3）时，x∈（1，a）．
【点评】本题考查了抽象函数的应用，考查了函数的单调性的判断与证明，训练了特值法求函数的值，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，属中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣2x+1．
（Ⅰ）若f（x）的值域为[0，+∞），求a的值；
（Ⅱ）已知a≤，是否存在这样的实数a，使函数在区间[1，2]内有且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据一元二次函数图象知若f（x）的值域为[0，+∞），则开口向上，Δ＝0即可；
（Ⅱ）函数在区间[1，2]内有且只有一个零点．即g（x）＝ax2﹣2x+3＝log2x＝h（x），等价于两个函数g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点，根据h（x）中a是否为零，以及图象开口方向与对称轴的位置讨论交点个数即可．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的值域为[0，+∞），则
解得a＝1．
（Ⅱ）由，
即ax2﹣2x+3＝log2x
令g（x）＝ax2﹣2x+3，h（x）＝log2x，x∈[1，2]，
原命题等价于两个函数g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点．
（1）当a＝0时，g（x）＝﹣2x+3在[1，2]上递减，h（x）＝log2x在[1，2]上递增，
而g（1）＝1＞0＝h（1），g（2）＝﹣1＜1＝h（2），
∴函数g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点．
（2）当a＜0时，g（x）图象开口向下，对称轴为x＝＜0，g（x）在[1，2]上递减，h（x）＝log2x在[1，2]上递增，
g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点，
当且仅当，即，即﹣1≤a≤．
∴﹣1≤a＜0．
（3）当0＜a≤时，g（x）图象开口向上，对称轴为，g（x）在[1，2]上递减，h（x）＝log2x在[1，2]上递增，g（x）与h（x）的图象在[1，2]内有唯一交点，
，即即，
∴0＜a≤．
综上，存在实数a∈[﹣1，]，使函数y＝f（x）﹣log2于在区间[1，2]内有且只有一个点．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合与分类讨论的思想方法，属于综合题．
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