广东省普宁市华美实验学校2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题 含答案

华美实验学校高三级第一学期第二次月考

数学学科试题

本试卷满分150分；考试用时120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则(    )

A.  B. C.  D.

2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.在中，为边上的中线，为的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.声音通过空气的振动所产生的压强叫作声压强，简称声压，声压的单位为帕斯卡（Pa），把声压的有效值取对数来表示声音的强弱，这种表示声音强弱的数值叫声压级，声压级以符号SPL表示，单位为分贝（dB）．在空气中，声压级的计算公式为SPL（声压级）＝，其中p为待测声压的有效值，p0为参考声压，在空气中，一般参考声压取2×10-5Pa．据此估计，声压为1 Pa的声压级为（    ）（lg 2≈0.301）

A．92 dB    B．94 dB    C．95 dB    D．96 dB

5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（      ）.

A.             B.

C.       D.

6．已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前项和为（       ）

A． B． C． D．

7．对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

8. 设函数在区间上的最大值为，最小值为，则最小值为（    ）.

A. 1B. C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的是(    )

A. “，”的否定是“，”

B. “”是“”的充分不必要条件

C. “”是“”的充分不必要条件

D. “且”是“”的必要不充分条件

10.已知平面向量，，则下列说法正确的是(    )

A. 4 B.

C. 向量与的夹角为 D. 向量在上的投影向量为

11.已知函数的任意两对称轴间的最小距离为，函数的图象关于原点对称，则（    ）

A． 在在单调递增B． ，，

C．把的图象向右平移个单位即可得到的图象

D． 若在上有且仅有两个极值点，则的取值范围为

12．若直线y＝mx＋n与曲线（x＞0）相切，则

A．m＞0    B．mn＝1    C．m＋n≥2    D．

三、填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 写出一个导函数恒大于等于2的函数f（x）＝________．

14. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则S9＝________．

15. 如图：正方形边长为，点在线段上运动，则的取值范围为__________．

16．若不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是    ．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分10分）在①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．

在中，内角的对边分别为，且满足____．

(1)求；

(2)若的面积为在边上，且，，求的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．

18. 本小题分若数列的前项和满足，等差数列满足

(1)求数列、的通项公式

(2)设，求数列的前项和．

19. 本小题分如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．

(1)证明：EF∥平面PCD

(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．

20. 本小题分随着中国实施制造强国战略以来，中国制造逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制．某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为，经过数据处理后得到如下频率分布直方图：

(1)为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在和的两组中抽取3件产品，记取自的产品件数为，求的分布列和数学期望；

(2)该企业采用混装的方式将所有的产品按200件一箱包装，质量指标在内的产品利润是5元，质量指标在之外的利润是3元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱产品的利润．

21. 本小题分已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.

(1)求的方程；

(2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

22．（本小题满分12分）已知函数在区间内有唯一极值点

(1)求实数的取值范围；

(2)证明：在区间内有唯一零点，且

华美实验学校高三级第一学期第二次月考数学学科答案

一、二、选择题：每小题5分，共60分.

三、填空题：每小题5分，共20分

13.x3＋2x或ex-e-x答案不唯一14.     15.      16 .

详解

1.【答案】A解：根据题意，或，

，则，故选A．

2.【答案】 【解析】解：，其共轭复数为，在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标为：，位于第四象限．故选：．

3.【答案】 解：根据向量的运算法则可得，故选A.

4.【答案】 解：本题考查对数与估算．声压为1 Pa的声压级为．故选B.

5.【答案】B解：对于A，，即为偶函数，故排除A；

  对于C，，即为奇函数，故排除C；

对于D，，故排除D；故选B.

6.【答案】D解：.

，由，可得，故函数的图象关于点对称，由等差中项的性质可得，

所以，数列的前项和为.故选：D.

7.【答案】 当时，，即，令，由题意得在上单调递减，故，即在上恒成立，则，故选：C

8. 【答案】D解：因为函数，所以其最小正周期为，而区间的区间长度是该函数的最小正周期的，因为函数在区间上的最大值为，最小值为，所以当区间关于它的图象对称轴对称时，取得最小值，对称轴为，此时函数有最值，不妨设y取得最大值，则有，所以，解得，得，

所以，所以的最小值为，故选：D

9.【答案】BC 解：选项A根据命题的否定可知：“，”的否定是“，”，A错误；选项B 等价于或所以“”是“”的充分不必要条件，B正确；

选项C由能推出，而当时也有所以“”是“”的充分不必要条件，C正确；选项D根据不等式的性质可知：由且能推出，所以“且”是“”的充分条件，D错误；故选BC．

10.【答案】 解：，所以，故A正确；

，故B正确；，，

，，，故C错误；向量在上的投影向量为，

故D正确．  

11.【答案】 解：11.根据题意的最小正周期为，所以，

所以，，

由于的图象关于原点对称，所以，

由于，所以.所以.

对于A选项，，所以A选项错误.

对于B选项，，

所以，，，所以B选项正确.

对于C选项，由于，所以C选项错误.

对于D选项，在上有且仅有两个极值点，，

所以，，D选项正确.故选：BD

12.【答案】AD解：由得，设直线y＝mx＋n与曲线相切于点，则且，消去t得，所以A正确，B错误；，C错误：，设，由得m＝e，所以，即，D正确，故选AD．

13.【答案】答案不唯一:如x3＋2x（或ex-e-x，只要符合题意即可）本题考查导数．若f（x）＝x3＋2x，则f'（x）＝3x2＋2≥2．

14.【答案】27解：因为数列{an}是等差数列，所以，所以a5＝3，S9＝9a5＝27．

15.【答案】 解：以，为，轴建立直角坐标系，则，，，．

设，则，，所以当时，函数有最大值；当时函数有最小值，故答案为  

16．【解答】

解：，，令，，，

则函数的图像恒过定点，，，

当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，，又，，记点，，当时，，作出函数大致图像，如图，若满足不等式式有且仅有一个正整数解，

则结合函数图像必有．，，．

故答案为．

17.解：(1)方案一：选条件①.由，可得，

由正弦定理得，因为，所以，

所以，故，....  3分

又，于是，即，因为，所以........    5分

方案二：选条件②．，由正弦定理得，即，.... 3分，由余弦定理得又，所以...5分

(2)由题意知，得．①，即②

联立①②解得........    7分而

由余弦定理得

，故即的值为........    10分

18解：当时，，，..............    1分

当时， ，即，

数列是以为首项，为公比的等比数列，，..............    4分

设的公差为，，，，

．..............    6分

，， ，....    8分

由得，，

所以．..............    12分

19.(1)证明：取PD的中点G，连接CG，EG，

因为E，F分别为PA，BC的中点，所以，..............    2分

又底面ABCD为菱形，所以，所以，

所以四边形EGCF为平行四边形，..............    4分

所以又平面PCD．平面PCD，所以EF//平面PCD．.......   6分

(2)解：连接，

因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，

因为四边形ABCD为菱形，，所以为等边三角形，

因为F为BC的中点，所以，

因为∥，所以，所以两两垂直，..............    8分

所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．

因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），则．设平面DEF的法向量，则

，令，得．

设直线AF与平面DEF所成的角为θ，

则，

所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为..............    12分

20．(1)解：样本中质量指标在的产品有40×10×0.015=6件，质量指标在的有40×10×0.01=4件，可能的取值为0，1，2，3，应的概率为：

，，

，，........    5分

随机变量的分布列为

所以期望........    7分

(2)解：设质量指标在内有件，每箱产品的利润为元，则质量指标在外的有件，由题意知，因为，所以，

所以........    12分

21. 【小问1详解】椭圆：的离心率为，短轴长为2，

可知，则，故的方程为；.............    4分

【小问2详解】证明：由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，

设，联立，可得，

，....    6分,则，

所以，.............    8分

又，所以，解得，

从而....    11分,故，即为定值....   12分

22．【解析】(1)，当时，，，

①当时，，在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；

②当时，显然在上递增，又因为，，

所以在上有唯一零点，所以，；，，

所以在上有唯一极值点，符合题意．综上，的取值范围是........    5分

(2)由(1)知，所以时，，

所以，，单调递减；，，单调递增，

所以时，，则，

又因为，所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点.

因为，由(1)知，所以，

则，构造，，

所以，

记，则，

显然在上单调递增，所以，所以在上单调递增，

所以，所以，所以在上单调递增，所以，

所以，由前面讨论可知：，，

且在单调递增，所以........    12分