初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数练习

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2021-2022学年八年级数学下册章节同步实验班培优变式训练（人教版）19.2.3 一次函数与方程、不等式 题型导航一次函数与方程、不等式已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型1由直线与坐标轴交点求不等式的解集 题型2根据两条直线的交点求不等式的解集 题型3两条直线的交点与二元一次方程组的解 题型4求直线围成的图形面积 题型5 题型变式【题型1】已知直线与坐标轴交点求方程的解1．（2022·全国·九年级专题练习）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，2），B（1，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（　　）A．x＝0 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝3【答案】C【解析】【分析】关于x的方程ax+b＝0的解为y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，再根据直线过点B(1，0)即可求解．【详解】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，∵直线y＝ax+b过B（1，0），∴方程ax+b＝0的解是x＝1，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，属于基础题．【变式1-1】2．（2021·广东·佛山市南海区第一中学八年级期中）若一次函数的图象如图所示，则关于的一元一次方程的解是______．【答案】【解析】【分析】一次函数与关于的一元一次方程的解是一次函数，当时，的值，由图像即可的出本题答案．【详解】解：∵由一次函数的图像可知，当 时，，∴关于的一元一次方程的解就是．故答案是：x=2．【点睛】本题主要考查了一次函数与关于的一元一次方程的解关系的知识，掌握一次函数，当时，的值就是关于的一元一次方程的解，是解答本题的关键．【题型2】由直线与坐标轴交点求不等式的解集1．（2021·甘肃·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直接从一次函数的图象上即可得到答案．【详解】解：由图象可知：函数过点，把代入得：，即，，，，由图象可知：，除以得：，故选：．【点睛】本题主要考查一次函数与不等式，解此题的关键在于从一次函数的图象上获取信息．【变式2-1】2．（2021·上海市民办立达中学八年级期中）已知一次函数（k、b为常数）的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集是______．【答案】【解析】【分析】根据一次函数与轴的交点，结合图象即可求得不等式的解集．【详解】根据图象可知，函数的图象经过点（4，0），并且函数值y随x的增大而减小，所以当时，函数值大于0，即关于x的不等式的解集是．故答案为．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．【题型3】根据两条直线的交点求不等式的解集1．（2021·陕西西安·八年级阶段练习）如图，一次函数y＝kx﹣2k（k＜0）的图象经过点P（1，1），当0＜kx﹣2k≤x时，x的取值范围是（　　）A．x＜1 B．x＞1 C．0＜x≤1 D．1≤x＜2【答案】D【解析】【分析】根据待定系数法求得解析式，即可求得直线与x轴的交点，然后根据图象即可求得．【详解】解：∵一次函数y＝kx﹣2k（k＜0）的图象经过点P（1，1），∴1＝k﹣2k，解得k＝﹣1，∴一次函数为y＝﹣x+2，令y＝0，则﹣x+2＝0，解得x＝2，由图象可知，当0＜kx﹣2k≤x时，x的取值范围是1≤x＜2，故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，熟练掌握待定系数法求解函数解析式是解题的关键．【变式3-1】2．（2022·江苏·无锡市东林中学八年级期末）如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组，解是____________；当时，的取值范围是____________．【答案】          【解析】【分析】由函数和的图象交于点P得到二元一次方程组的解为；图象可得，当 时，．【详解】 函数和的图象交于点P 二元一次方程组的解为由图象可得，当 时，．故答案为：；．【点睛】本题主要考查了利用图象解二元一次方程组的问题及数形结合的数学思想，熟练掌握一次函数与二元一次方程组及一元一次不等式的关系是解题的关键．【题型4】两条直线的交点与二元一次方程的解1．（2022·陕西西安·八年级期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】将点P（、4）代入，求出的值，结合图像交点P的坐标即为二元一次方程组的解．【详解】一次函数与的交点为P（、4）解得点P的坐标为（2、4）的解为：故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点P坐标，结合图形求解．【变式4-1】2．（2021·广西百色·八年级期末）如图，已知函数与的图象交于点（1，2），那么关于，的方程组的解是_____．【答案】【解析】【分析】由题可知，利用函数图象，求解对应方程组的解；由于方程组的解即为与其对应函数交点的坐标，即可求解．【详解】由题可知：函数 与的图象交于点P（1，2）；又所求方程组，恰为对应的函数组成；又函数图象的交点即为其对应方程组的解；∴方程组的解为：，故答案为：．【点睛】本题考查函数与对应方程组的关系，重点理解交点及方程组解的对应关系；熟练数形结合的应用．【题型5】求直线围成的图形面积1．（2021·安徽·利辛县汝集镇西关学校八年级期中）点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式，把代入函数关系即可得出的值，进而得出的值．【详解】解：已知和， ．，，，当时，，解得．，，即；故选：C．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．【变式5-1】2．（2021·广东·深圳市福田区外国语学校八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若，则m的值为____________．【答案】或【解析】【分析】分别求出A、C、D三点坐标，根据，利用坐标列式计算即可．【详解】∵由直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，∴点A坐标（－1，2），∵过点B（m，0）作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，∴点C坐标（m，1－m），点D坐标（m，－2m）．∴，解得故答案为或．【点睛】本题考查了求两直线交点坐标，用未知数表示动点坐标等知识点，利用代数式表示动点坐标是解决本题的关键．专项训练一．选择题1．（2021·全国·八年级专题练习）已知直线与直线在第三象限交于点，若直线与轴的交点为，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由直线与轴的交点为可得直线轴的表达式为y＝kx−k，则与y轴交点（0，−k），再由直线在第三象限交于点得出（0，−k）在原点和点（0，−3）之间，即可求解．【详解】解：∵直线与x轴的交点为B（1，0），∴k＋b＝0，则b＝−k，∴y＝kx−k，直线与y轴的交点坐标为（0，−3），则与y轴交点（0，−k）在原点和点（0，−3）之间，即：−3＜−k＜0，解得：0＜k＜3，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质并能利用数形结合的思想确定与y轴交点位置．2．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，直线y1=k1x+b和直线y2=k2x+b分别与x轴交于A(-1，0)和B(3，0)两点，则不等式组的解集为(     )A． B．C． D．或【答案】A【解析】【分析】观察函数图象，写出直线y1=k1x+b在x轴上方和直线y2=k2x+b在x轴上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：即，同时大于0时，自变量x的取值范围，通过看图可知时，x＞-1，时，x＜3，两个解联立，得到解集.故选A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．3．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）平面直角坐标系中，已知直线与直线的交点在第二象限，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据题意易得，则有，然后根据交点在第二象限可进行分类求解．【详解】解：由题意可联立直线与直线得：，解得：，∵交点在第二象限，∴，当，即，则，，∴与题意矛盾，当且，即，则，∴与题意矛盾；当，即，则有，，∴，符合题意；综上所述：；故选A．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质及分类讨论思想，熟练掌握一次函数的图象与性质及分类讨论思想是解题的关键．4．（2020·全国·八年级课时练习）一次函数y=kx+b的图象如图所示，不等式kx+b＞0的解集是（　　）A．x＞2 B．x＞4 C．x＜2 D．x＜4【答案】C【解析】【详解】kx+b＞0即是一次函数的图象在x轴的上方，由图象可得x＜2，故选C.5．（2015·山西·九年级专题练习）如图，一次函数的图象经过、两点，则不等式的解集是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由图象可知：B（1，0），且当x＞1时，y＜0，即可得到不等式kx+b＜0的解集是x＞1，即可得出选项．【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，由图象可知：B（1，0），根据图象当x＞1时，y＜0，即：不等式kx+b＜0的解集是x＞1．故选A．【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象等知识点的理解和掌握，能根据图象进行说理是解此题的关键，用的数学思想是数形结合思想．6．（2021·全国·八年级专题练习）如图，已知直线过点，过点的直线交轴于点，则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据图象解答即可．【详解】解：由图象可知，当x＜-3时，直线在直线下方；当x>-6时，直线在x轴下方，∴当时，，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，理解图象是本题的关键．二、填空题7．（2022·江苏江苏·八年级期末）一次函数与的图像交点坐标为______．【答案】【解析】【分析】两函数解析式联立方程组，求出方程组的解即可．【详解】解：联立方程组，得：，解得， ∴一次函数与的图像交点坐标为（）故答案为：．【点睛】本题考查了两直线交点坐标的求法，联立方程组是解答此类试题的常用方法．8．（2021·全国·八年级课时练习）随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，即含氧量与大气压强x（kpa）成正比例函数关系．当时，，则与的函数关系式是____________【答案】y=3x【解析】【详解】成正比例函数，可设y=kx．解：设y=kx，然后根据题意列出关系式．依题意有：x=36（kPa）时，y=108（g/m3），∴k=3，故函数关系式为y=3x．9．（2022·安徽合肥·八年级期末）已知直线y=x+b和y=ax+2交于点P(3，-1)，则关于x的方程(a-1)x=b-2的解为_______．【答案】x=3【解析】【分析】利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可求解．【详解】解：解：∵直线y=x+b和y=ax+2交于点P(3，-1)，∴当x=3时，3+b=3a+2，上述等式移项得到：3a-3=b-2，整理得到：3(a-1)=b-2，∴关于x的方程(a-1)x=b-2的解为：x=3．故答案为x=3．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)的关系：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．10．（2022·重庆一中八年级开学考试）如图，直线与相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为______．【答案】【解析】【分析】根据两条直线相交与二元一次方程组的关系即可求得二元一次方程组的解．【详解】∵直线与相交于点∴的坐标既满足，也满足∴是方程组的解 故答案为：【点睛】本题考查了两条直线相交与二元一次方程组的关系，理解这个关系是关键．11．（2021·全国·八年级专题练习）如图是一次函数y1＝ax+b，y2＝kx+c的图象，观察图象，写出同时满足y1≥0，y2≥0时x的取值范围______．【答案】−2≤x≤1【解析】【分析】通过观察函数y1＝ax+b的图象，可得当x≥−2时，y1≥0，由y2＝kx+c的图象可得x≤1时，y2≥0，即可求出同时满足y1≥0，y2≥0时x的取值范围．【详解】解：观察函数图象y1＝ax+b得，当x≥−2时，y1≥0，由y2＝kx+c的图象可得x≤1时，y2≥0，∴当同时满足y1≥0，y2≥0时，x的取值范围−2≤x≤1．故答案为：−2≤x≤1．【点睛】本题考查了一次函数图象的应用，掌握分析一次函数图象并能准确判断自变量的取值范围是解题的关键．12．（2021·全国·八年级专题练习）在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于x的不等式的解为____________．【答案】x＜－1【解析】【分析】根据不等式得到直线 在直线的下方，即可确定不等式的解集．【详解】解：由不等式得直线 在直线的下方，∴自变量的取值范围为x＜－1．故答案为：x＜－1【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，理解函数与不等式的关系是解题关键．三、解答题13．（2021·全国·八年级课时练习）已知一次函数的图象经过点A（﹣4，9）与点B（6，3），求这个一次函数的解析式．【答案】【解析】【分析】设函数解析式为y=kx+b，把经过的两个点的坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，求解得到k、b的值，即可得解．【详解】解：设函数解析式为，一次函数的图象经过点和点，，解得，所以，这个函数的解析式为．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握．14．（2021·安徽·安庆市第四中学八年级期中）如图，已知直线与直线相交于点. （1）求、的值；（2）请结合图象直接写出不等式的解集.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）把点P的坐标分别代入l1与l2的函数关系式，解方程即可；（2）利用函数图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可.【详解】解：（1）因为点P是两条直线的交点，所以把点分别代入与中，得，，解得，.（2）当时，的图象在的上面，所以，不等式的解集是.【点睛】本题考查了一次函数的交点问题和一次函数与一元一次不等式的关系，读懂图象，弄清一次函数图象的交点与解析式的关系和一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键.15．（2021·山东泰安·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点是直线上一点，直线交x轴于点C，直线与x轴交点，与y轴交于点B，直线、相交于点Q．（1）________，的解析式为________，点Q坐标为________；（2）连接OP、OQ，直接写出的面积________；（3）在x轴上找一点M，使，则点M的坐标为________．【答案】（1）-2；；（4，4）；（2）12；（3）（2，0）或（-10，0）．【解析】【分析】（1）把点代入直线中即可求出m的值，把点代入中求出b即可，把和联立组成方程组求解即可；（2）分别过点p，Q作x轴的垂线，从而分别先求出三角形OPC的面积和△OCQ的面积，再把它们相加即可；（3）分两种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）∵点是直线上一点，∴．∵直线与x轴交点，∴-8+b=0解得：b=8．∴的解析式为．∵ 解得： ∴点Q坐标为（4，4）．故答案为：-2；；（4，4）．（2）令，则解得：x=-4．∴OC=4．如图，过点P作PE⊥AC于点E，过点Q作QF⊥AC于F，∵点，点Q坐标为（4，4），∴PE=2，QF=4．的面积=的面积+的面积==12．故答案为：12．（3）设点M的坐标为（a，0），由（2）可知OC=4，∴点C的坐标为（-4，0），∴MC= 令x=0，则，∴OB=8．∵∴解得：a=2或-10．∴点M的坐标为（2，0）或（-10，0）．故答案为：（2，0）或（-10，0）．【点睛】本题考查了一次函数的综合，掌握相关知识是解题的关键．16．（2021·云南昆明·八年级期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3）与直线y＝x交于点C．（1）求k，b的值和点C坐标；（2）求△BOC的面积；（3）直接写出不等式kx+b≥x的解．【答案】（1），C（2，2）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）把A（6，0），与点B（0，3）代入函数解析式解方程组即可，再联立两个函数解析式解方程组可得的坐标；（2）由可得上的高为 再利用三角形的面积公式可得答案；（3）观察函数的图象，满足的图象在的图象的上方（包括交点），从而可得此时的范围.【详解】解：（1） 直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3）， 解得： 所以直线为： 联立： 解得： 则 （2） （3）观察图象：结合 所以不等式kx+b≥x的解集为：【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解函数的交点坐标，利用函数图象解不等式，掌握数形结合的方法是解题的关键.17．（2021·全国·八年级单元测试）如图，已知直线经过点，交轴于点，直线与直线交于点，交轴于点．（1）求的值．（2）求的面积（3）当时，则的取值范围是________．（直接写出结果）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）把A点坐标代入中求解即可；（2）先求出C点和D点坐标，然后求出BD的长，计算面积即可；（3）利用函数图像求解不等式的解集即可．【详解】解：（1）把代入，得，解得．（2）由（1）知，直线．且．根题意知，．解得，即．又由知，．所以．所以．（3）由（2）知，．当时，，此时．所以由图象知，当时，则的取时，则的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标求不等式的解集，两直线围成的面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．（2020·重庆·中考真题）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”；①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；(       )②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3；(       )③当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；(       )（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．【答案】（1），；（2）①× ②√   ③√；（3）x＜−1或−0.3＜x＜1.8．【解析】【分析】（1）代入x=3和x=-3即可求出对应的y值，再补全函数图象即可；（2）结合函数图象可从增减性及对称性进行判断；（3）根据图象求解即可．【详解】解：（1）当x=-3时，，当x=3时，，函数图象如下：（2）①由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形；故答案为：× ， ②结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3；故答案为：√ ， ③观察函数图象可得：当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；故答案为：√． （3），时，得，，，故该不等式的解集为： x＜−1或−0.3＜x＜1.8．【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．…－5－4－3－2－1012345……－303…