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初中数学浙教版八年级下册1.1 二次根式同步达标检测题
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这是一份初中数学浙教版八年级下册1.1 二次根式同步达标检测题，文件包含专题16二次根式章末重难点突破举一反三浙教版解析版docx、专题16二次根式章末重难点突破举一反三浙教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
专题1.6 二次根式章末重难点突破
【浙教版】
【题型1 二次根式的概念】
【例1】（2020秋•平房区期末）下列各式中，是二次根式有（ ）
①7；②-3；③310；④3-x（x≤3）；⑤a-32；⑥-x2-1；⑦ab（ab≥0）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次根式的概念及二次根式成立的条件进行判断．
【解答】解：②-3，被开方数小于0，不是二次根式；
③310是三次根式；
⑤a-32当a＜9时，被开方数小于0，不是二次根式；
⑥-x2-1，∵x2≥0，∴﹣x2≤0，∴﹣x2﹣1＜0，被开方数小于0，不是二次根式；
①7；④3-x（x≤3）；⑦ab（ab≥0）是二次根式．
故选：B．
【变式1-1】（2021秋•偃师市月考）下列式子中二次根式的个数有（ ）
（1）13；（2）3；（3）-x2+1；（4）38；（5）(-13)2；（6）1-x(x＞1)；（7）7．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据形如a（a≥0）的式子叫做二次根式判断即可．
【解答】解：二次根式有：（1）13；（2）3；（3）-x2+1；（5）(-13)2；（7）7共5个，
38的根指数为3，不是二次根式；
∵x＞1，
∴1﹣x＜0，
∴1-x(x＞1)不是二次根式；
故选：D．
【变式1-2】（2021春•朝阳区校级期末）已知：20n是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．5
【分析】首先化简二次根式进而得出n的最小值．
【解答】解：∵20n=25n是整数，
∴最小正整数n的值是：5．
故选：D．
【变式1-3】（2021秋•大名县期末）已知-10m是正整数，则满足条件的最大负整数m为（ ）
A．﹣10 B．﹣40 C．﹣90 D．﹣160
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：∵-10m是正整数，
∴满足条件的最大负整数m为：﹣10．
故选：A．
【题型2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2021秋•新华区校级月考）要使3-x+13x-1有意义，则x应满足（ ）
A．13＜x≤3 B．x≤3且x≠13 C．13＜x＜3 D．12≤x≤3
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不为零．
【解答】解：∵3-x+13x-1有意义，
∴3﹣x≥0且3x﹣1≠0，
∴x≤3且x≠13，
故选：B．
【变式2-1】（2021春•沙坪坝区校级期末）代数式x-1+（x﹣2）0有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x≥2 D．x≥1且x≠2
【分析】结合二次根式有意义和零整数指数幂有意义求x的取值范围．
【解答】解：由题意得：x-1≥0x-2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故选：D．
【变式2-2】（2021春•恩施市期末）(a+1)(1-a)=a+1⋅1-a成立的条件是（ ）
A．﹣1≤a≤1 B．a≤﹣1 C．a≥1 D．﹣1＜a＜1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、二次根式的乘法运算法则得出关于a的不等式组，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：a+1≥01-a≥0，
解得：﹣1≤a≤1．
故选：A．
【变式2-3】（2021秋•新邵县期末）先阅读，后回答问题：x为何值时，x(x-3)有意义？
解：要使该二次根式有意义，需x（x﹣3）≥0，由乘法法则得x≥0x-3≥0或x≤0x-3≤0．
解得x≥3或x≤0．
∴当x≥3或x≤0，x(x-3)有意义．
体会解题思想后，请你解答：x为何值时，x-13x+6有意义？
【分析】根据题目信息，列出不等式组求解即可得到x的取值范围．
【解答】解：要使该二次根式有意义，需x-13x+6≥0，
由乘法法则得x-1≥0，3x+6＞0或x-1≤0，3x+6＜0，
解得x≥1或x＜﹣2，
当x≥1或x＜﹣2时，x-13x+6有意义．
【题型3 利用二次根式的性质化简】
【例3】（2020秋•丛台区期末）化简-aa2=（ ）
A．a B．﹣a C．a D．a2
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：-aa2=(-a)⋅(-a)=-a．
故选：B．
【变式3-1】（2021春•鄞州区校级期末）已知﹣1＜a＜0，化简(a+1a)2-4+(a-1a)2+4的结果为（ ）
A．2a B．2a+2a C．2a D．-2a
【分析】直接利用完全平方公式结合a的取值范围、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，
∴(a+1a)2-4+(a-1a)2+4
=a2+1a2+2-4+a2-2+1a2+4
=(a-1a)2+(a+1a)2
＝a-1a-（a+1a）
=-2a．
故选：D．
【变式3-2】（2021秋•虹口区校级期末）将x-6x3根号外的因式移到根号内： ．
【分析】根据已知可得x＜0，所以把x转化为﹣（﹣x），然后再把（﹣x）的平方移到根号内，然后进行化简计算即可．
【解答】解：由题意得：
-6x3≥0，
∴6x3≤0，
∵x≠0，
∴6x3＜0，
∴x3＜0，
∴x＜0，
∴将x-6x3=-（﹣x）-6x3
=-(-x)2⋅(-6x3)
=--6x，
故答案为：--6x．
【变式3-3】（2021秋•平谷区期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：b2-|a-b|+(c-a)2-|c|．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
c＜b＜0＜a，
∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，
∴b2-|a-b|+(c-a)2-|c|
＝﹣b﹣（a﹣b）+a﹣c﹣（﹣c）
＝﹣b﹣a+b+a﹣c+c
＝0．
【题型4 同类二次根式的概念】
【例4】（2021秋•二道区期末）如果最简二次根式2x-1与5是同类二次根式，那么x的值为 3 ．
【分析】根据同类项的定义得出2x﹣1＝5，然后求解即可得出答案．
【解答】解：∵最简二次根式2x-1与5是同类二次根式，
∴2x﹣1＝5，
∴x＝3．
故答案为：3．
【变式4-1】（2020秋•仓山区期末）下列二次根式中，化简后可以合并的是（ ）
A．a2b与a B．xy与xy
C．50与5 D．a+b与a2+b2
【分析】先将四个选项的式子化简为最简二次根式，然后再找出是同类二次根式的选项．
【解答】解：A、a2b=ab、ab与a不是同类二次根式，所以不能合并，故A不符合题意；
B、xy=1|y|xy，xy与xy是同类二次根式，可以合并，故B符合题意；
C、50=52、50与5不是同类二次根式，不能合并，故C不符合题意；
D、a+b与a2+b2不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意．
故选：B．
【变式4-2】（2021秋•杨浦区校级期中）下列二次根式中，最简二次根式有（ ）个．
5ab；a2-b2；a2-2ab+b2；2ab；a2．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：最简二次根式有5ab，a2-b2，a2，共3个，
故选：C．
【变式4-3】（2020秋•平房区期末）若最简二次根式3a-b4a+3b和2a-b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
【分析】根据题意得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．
【解答】解：∵最简二次根式3a-b4a+3b和2a-b+6能合并，
∴3a-b=24a+3b=2a-b+6，即3a-b=2①a+2b=3②，
①×2+②得：7a＝7，
解得：a＝1，
把a＝1代入②得：1+2b＝3，
解得：b＝1．
故选：D．
【题型5 二次根式的混合运算】
【例5】（2021秋•赫山区期末）计算：（24-16）÷2-（218+3427）．
【分析】直接化简二次根式，进而利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：原式＝（26-4）÷2-（2×24+3×239）
＝26÷2-4÷2-22-233
＝23-22-22-233
=433-522．
【变式5-1】（2021秋•徐汇区校级期末）计算：427+13+2-3•（3-213）．
【分析】直接利用二次根式的性质以及分母有理化分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝4×33+3-2(3+2)(3-2)-3+2
＝123-3+2﹣3+2
＝113+1．
【变式5-2】（2021秋•浦东新区期末）计算：3×6+9127-13-2+12÷2．
【分析】化简二次根式，然后先算乘除，再算加减．
【解答】解：原式=3×6+9×39-3+2(3+2)(3-2)+12÷2
＝32+3-（3+2）+12
＝32+3-3-2+12
＝22+12．
【变式5-3】（2020秋•电白区期末）计算题：93+（1﹣23）2-3（12-13）．
【分析】先根据二次根式的运算法则和完全平方公式计算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式=93+1﹣43+12-3×12+3×13
=3+1﹣43+12﹣6+1
＝8﹣33．
【题型6 二次根式的化简求值】
【例6】化简求值．
（1）12a2118a-2a38-a48a，其中a＝18．
（2）（a1a+4b）﹣（a2-b1b），其中a＝2，b＝3．
【分析】（1）先对式子进行化简，再将a＝8代入化简后的式子即可解答本题；
（2）先对式子进行化简，再将a＝2，b＝3代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）12a2118a-2a38-a48a
=12a2×18a18a-2×8a38-a4×22a
=12a2×32a18a-2×2a2a8-a2a2
＝2a2a-a2a2-a2a2
=a2a，
当a＝18时，原式＝18×2×18=108；
（2）（a1a+4b）﹣（a2-b1b）
=(a×aa+2b)-(a2-b×bb)
=(a+2b)-(a2-b)
=a+2b-a2+b
=a2+3b，
当a＝2，b＝3时，原式=22+33．
【变式6-1】已知x=7+22，y=7-2．求代数式（y﹣2x）12x-y-（2x+y）x2-xy+14y2的值．
【分析】根据二次根式的化简法则，先化简然后代入．
【解答】解：∵x=7+22，y=7-2，
∴2x﹣y＝2×7+22-（7-2）＝4＞0，
x-12y=7+22-7-22=2＞0，
∴原式=-2x-y-（2x+y）(x-12y)2=-2x-y-（2x+y）（x-12y）＝﹣2﹣27×2＝﹣2﹣47．
【变式6-2】已知x=8-78+7，y=8+78-7，求x+y+2xyx+y的值．
【分析】化简x、y的值，代入化简后的代数式即可求得．
【解答】解：∵x=8-78+7，y=8+78-7，
化简得x＝（8-7）2，y＝（8+7）2，
∵x+y+2xyx+y=(x+y)2x+y=x+y，
∴原式=8-7+8+7=42．
【变式6-3】已知a+b=1，且a=m+a-b2，b=n-a-b2，其中m、n均为有理数，求m2+n2的值．
【分析】由a=m+a-b2，b=n-a-b2，把a﹣b利用平方差公式因式分解，整理求得m、n，代入求得答案即可．
【解答】解：∵a+b=1，a=m+a-b2，b=n-a-b2，
∴m=a-a-b2=a-(a+b)(a-b)2=a-a-b2=a+b2=12，
n=b+a-b2=b+(a+b)(a-b)2=b+a-b2=a+b2=12，
∴m2+n2=14+14=12．
【题型7 二次根式的应用】
【例7】（2021秋•宝山区校级月考）三角形的周长为（55+210）cm，面积为（206+45）cm2，已知两边的长分别为45cm和40cm，求：（1）第三边的长；
（2）第三边上的高．
【分析】（1）根据第三边等于周长减去另两边之和，即可求出第三边的长；
（2）根据三角形的高等于三角形的面积的2倍除以底边即可求出第三边上的高．
【解答】解：（1）∵三角形周长为 (55+210)cm，两边长分别为 45cm 和 40cm，
∴第三边的长是：(55+210)-45-40=55+210-35-210=25cm；
（2）∵面积为（206+45）cm2，
∴第三边上的高为2(206+45)25=406+8525=（430+4）cm．
【变式7-1】（2021秋•二道区期末）在一个边长为（3+5）cm的正方形内部挖去一个边长为（5-3）cm的正方形（如图所示），求剩余部分的面积．
【分析】用大正方形的面积减去小正方形的面积即可求出剩余部分的面积．
【解答】解：剩余部分的面积为：（3+5）2﹣（5-3）2
＝（3+5+5-3）×（3+5-5+3）
＝25×23
＝415（cm2）．
【变式7-2】（2021•花溪区模拟）小莉在如图所示的矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，请你帮她求出图中空白部分的面积．
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为16=4cm，12=23cm，
∴AB＝4cm，BC＝（23+4）cm，
∴空白部分的面积＝（23+4）×4﹣12﹣16
＝83+16﹣12﹣16
＝（﹣12+83）cm2．
【变式7-3】（2021秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为13+1米，宽为13-1米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（83+98）＝2（83+72）＝163+142（米），
答：长方形ABCD的周长是163+142（米），
（2）通道的面积=(83×98)-(13+1)(13-1)
＝566-（13﹣1）
＝566-12（平方米），
购买地砖需要花费＝6×（566-12）＝3366-72（元）．
答：购买地砖需要花费3366-72元；
【题型8 二次根式中的新定义问题】
【例8】（2020秋•遵化市期末）定义：若两个二次根式a、b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
（1）若a与2是关于4的共轭二次根式，则a＝ 22 ．
（2）若2+3与4+3m是关于2的共轭二次根式，求m的值．
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值；
（2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值．
【解答】解：（1）∵a与2是关于4的共轭二次根式，
∴2a＝4，
∴a=42=22，
故答案为：22；
（2）∵2+3与4+3m是关于2的共轭二次根式，
∴（2+3）（4+3m）＝2，
∴4+3m=22+3=2(2-3)(2+3)(2-3)=4﹣23，
∴m＝﹣2．
【变式8-1】（2021秋•泰宁县期中）我们规定，若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）若3与x是关于1的平衡数，5-2与y是关于1的平衡数，求x，y的值；
（2）若（m+3）×（1-3）＝﹣2n+3（3-1），判断m+3与5n-3是否是关于1的平衡数，并说明理由．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）将已知等式化简可得，m+2n﹣23-m3=0，然后分三种情况分别列式计算：①当m和n均为有理数时，②当m和n中一个为有理数，另一个为无理数时，③当m和n均为无理数时，当m+5n＝2时，进而可得结论．
【解答】解：（1）根据题意可知：3+x＝2，
解得x＝﹣1，
5-2+y＝2，
解得y＝﹣3+2；
（2）（m+3）×（1-3）＝﹣2n+3（3-1），
∴m-3m+3-3＝﹣2n+33-3，
∴m+2n﹣23-3m＝0，
①当m和n均为有理数时，
则有m+2n＝0，﹣2﹣m＝0，
解得：m＝﹣2，n＝1，
当m＝﹣2，n＝1时，
m+3+5n-3=-2+3+5-3=3≠2，
所以m+3与5n-3不是关于1的平衡数；
②当m和n中一个是有理数，另一个是无理数时，
m+3+5n-3=m+5n，而此时m+5n为无理数，故m+5n≠2，
所以m+3与5n-3不是关于1的平衡数；
③当m和n均为无理数时，当m+5n＝2时，
∵m+2n﹣23-3m＝0，
解得m=-69-5333，n=27+333，
使得m+3与5n-3是关于1的平衡数，
当m≠-69-5333，n≠27+333时，
m+3与5n-3不是关于1的平衡数，
综上可得：当m=-69-5333，n=27+333时，m+3与5n-3是关于1的平衡数，否则m+3与5n-3不是关于1的平衡数．
【变式8-2】（2021秋•六盘水期中）我们将（a+b），（a-b）称为一对“对偶式“．因为（a+b）（a-b）＝（a）2﹣（b）2＝a﹣b．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将（a+b）和（a-b）中的“”去掉．例如：3+33-3=(3+3)(3+3)(3-3)(3+3)=(3+3)232-(3)2=12+636=2+3．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．
（1）分母有理化2+12-1的值为 3+22 ．
（2）如图所示，数轴上表示1，2的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x．求x+2x的值．
【分析】（1）先根据材料分子分母同时乘以2+1，然后得到结果；
（2）先根据点C是点B关于点A的对称点求得x的值，然后再代入计算得到结果．
【解答】解：（1）2+12-1=(2+1)(2+1)(2-1)(2+1)=(2+1)2(2)2-12=3+222-1=3+22，
故答案为：3+22．
（2）∵点B关于点A的对称点为C，
∴x＝2-2，
∴x+2x=2-2+22-2=2-2+2(2+2)(2-2)(2+2)=2-2+4+222=2-2+2+2=4．
【变式8-3】（2020春•海州区校级期末）阅读理解（5+2）（5-2）＝3，a•a=a（a≥0），（b+1）（b-1）＝b﹣1（b≥0）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如3与3，2+1与2-1，23+5与23-5等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如123=323×3=36，2+12-1=(2+1)2(2-1)(2+1)=3+22．
解答下列问题：
（1）3-4与 3+4 互为有理化因式，将325分母有理化得 3510 ．
（2）计算：26-2-36．
（3）已知有理数a、b满足a2+1+b2=-1+22，求a、b的值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义和分母有理化解决问题；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先分母有理化整理得到∴（a+12b﹣2）2-a+1＝0，再利用实数的性质得到a+12b﹣2＝0且﹣a+1＝0，然后解方程组即可．
【解答】解：（1）3-4与3+4互为有理化因式，将325分母有理化得3510；
故答案为3+4；3510；
（2）原式=2(6+2)(6-2)(6+2)-366×6
=6+2-62
=62+2；
（3）∵a2+1+b2=-1+22，
∴（2-1）a+22b+1﹣22=0，
∴（a+12b﹣2）2-a+1＝0，
∵a、b为有理数，
∴a+12b﹣2＝0且﹣a+1＝0，
∴a＝1，b＝2．
【题型9 利用分母有理化化简求值】
【例9】（2021秋•邵东市期末）在解决问题“已知a=12-1，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a=12-1=2+1(2-1)(2+1)=2+1，
∴a﹣1=2，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：23-7．
（2）若a=13+22，求2a2﹣12a+1的值．
【分析】（1）分子、分母都乘以3+7，再进一步计算即可；
（2）将a的值的分子、分母都乘以3﹣22得a＝3﹣22，据此先后求出a﹣3、（a﹣3）2及a2﹣6a、2a2﹣12a的值，代入计算可得答案．
【解答】解：（1）23-7=2(3+7)(3-7)(3+7)=2(3+7)9-7=3+7；
（2）∵a=13+22=3-22(3+22)(3-22)=3-229-8=3﹣22，
∴a﹣3＝﹣22，
∴（a﹣3）2＝8，即a2﹣6a+9＝8，
∴a2﹣6a＝﹣1，
∴2a2﹣12a＝﹣2，
则2a2﹣12a+1＝﹣2+1＝﹣1．
【变式9-1】（2021秋•鼓楼区校级期末）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵a=12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3，
∴a﹣2=-3．
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）13+2= 3-2 ；
（2）化简12+1+13+2+14+3+⋯⋯+1169+168；
（3）若a=15-2，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先利用a=5+2得到a﹣2=5，两边平方得到a2﹣4a＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）13+2=3-2(3+2)(3-2)=3-2；
故答案为3-2；
（2）原式=2-1+3-2+4-3+⋯+169-168
=169-1
＝13﹣1
＝12；
（3）∵a=15-2=5+2，
∴a﹣2=5，
∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1．
∴a4﹣4a3﹣4a+3＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3
＝a2×1﹣4a+3
＝a2﹣4a+3
＝1+3
＝4．
【变式9-2】（2021秋•平阴县期末）阅读下面问题：
12+1=1×(2-1)(2+1)(2-1)=2-1；
13+2=1×(3-2)(3+2)(3-2)=3-2；
14+3=1×(4-3)(4+3)(4-3)=4-3．
试求：（1）求17+6= 7-6 ；
（2）当n为正整数时1n+1+n= n+1-n ；
（3）11+2+12+3+13+4+⋯+198+99+199+100的值．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；
（2）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；
（3）先将所求式子变形，然后计算即可．
【解答】解：（1）17+6=7-6(7+6)(7-6)=7-6，
故答案为：7-6；
（2）1n+1+n=n+1-n(n+1+n)(n+1-n)=n+1-n，
故答案为：n+1-n；
（3）11+2+12+3+13+4+....+198+99+199+100
=2-1+3-2+4-3+⋯+99-98+100-99
=100-1
＝10﹣1
＝9．
【变式9-3】（2021春•东至县期末）小明在解决问题，已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a=12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3；
∴a﹣2=-3；
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3；
∴a2﹣4a＝﹣1；
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：12021+2020= 2021-2020 ；
（2）若a=110-3，求3a2﹣18a+5的值．
【分析】（1）直接找出分母有理化因式，进而化简得出答案；
（2）直接找出分母有理化因式，再将原式变形，进而化简得出答案．
【解答】解：（1）12021+2020=2021-2020(2021+2020)(2021-2020)=2021-2020；
故答案为：2021-2020；
（2）∵a=110-3=10+3(10+3)(10-3)=10+3，
∴3a2﹣18a+5
＝3（a2﹣6a）+5
＝3[（a﹣3）2﹣9]+5
＝3（a﹣3）2﹣22，
＝3（10+3﹣3）2﹣22
＝3×10﹣22
＝8．
【题型10 以二次根式为背景的材料阅读题】
【例10】（2021秋•山亭区期中）阅读下列材料，然后回答问题．
二次根式35，23，23+1，可以进一步化简：
35=3×55×5=355（一）；
23=2×33×3=63（二）；
23+1=2×(3-1)(3+1)(3-1)=2(3-1)(3)2-12=3-1（三）；
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
式子23+1也可以这样化简：23+1=3-13+1=(3)2-123+1=(3+1)(3-1)3+1=3-1（四）；
（1）请参照（三）式、（四）式，用两种不同的方法化简27+5；
（2）直接利用上面的结论化简：13+1+15+3+17+5+⋯+12n+1+2n-1．
【分析】（1）方法一：把分子分母都乘以（7-5），然后利用平方差公式计算；
方法二：利用二次根式的性质把分子化为（7）2﹣（5）2，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：（1）方法一：27+5=2(7-5)(7+5)(7-5)=7-5；
方法二：27+5=(7)2-(5)27+5=(7+5)(7-5)7+5=7-5；
（2）原式=3-12+5-32+7-52+•••+2n+1-2n-12
=2n+1-12．
【变式10-1】（2020秋•罗湖区校级期中）阅读材料题
知识链接：我们利用平方差公式可以计算形如：(a+b)(a-b)=a-b的运算
知识运用：
（1）请看下面的运算：例：(10+2)(15-3)=[2(5+1)]×[3(5-1)]=6×4=46
请仿照例子用公式计算：(14+35)(6-15)
（2）运用平方差公式比较大小例：比较7-6与6-5大小
7-6=(7+6)(7-6)(7+6)=17+6．
6-5=(6+5)(6-5)(6+5)=16+5
∵(7+6)＞(6+5)
∴17+6＜16+5
∴7-6＜6-5
请比较17-15与15-13的大小．
【分析】（1）14+35化成7（2+5），6-15化成3（2-5），再利用平方差计算乘法即可；
（2）根据所给例题，利用平方差进行变形计算即可．
【解答】解：（1）(14+35)(6-15)，
=7（2+5）×3（2-5），
=21×（﹣3），
＝﹣321；
（2）17-15=(17-15)(17+15)17+15=217+15，
15-13=(15-13)(15+13)15+13=215+13，
∵17+15＞15+13，
∴217+15＜215+13，
∴17-15＜15-13．
【变式10-2】（2021秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+2b＝（m+2n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+2b＝m2+2n2+22mn，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+2b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+6b＝（m+6n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+6n2 ，b＝ 2mn ；
（2）若a+43=（m+3n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：7-21+80．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【解答】解：（1）∵（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，a+6b＝（m+6n）2，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为m2+6n2，2mn；
（2）∵（m+3n）2＝m2+3n2+23mn，a+43=（m+3n）2，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）21+80=20+45+1=(25+1)2=25+1，
则7-21+80
=7-25-1
=6-25
=(5-1)2
=5-1．
【变式10-3】（2021春•莆田期中）阅读下面材料：
同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式，小明发现像m+n，mnp，m2+n2等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式．
他还发现像m2+n2，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示．例如：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1．于是丽丽把mn和m+n称为基本神奇对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）代数式①2mn，②m2﹣n2，③nm，④xy+yz+xz(x≥0，y≥0，z≥0)中，属于神奇对称式的是 ①④ （填序号）；
（2）已知（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q．
①若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式1m+1n= -32 ；
②若p2-q＝0，求神奇对称式m3+1m+n3+1n的最小值．
【分析】（1）根据神奇对称式的概念进行判断；
（2）①首先利用多项式乘多项式的计算法则计算求得mn，m+n的值，然后利用分式的计算法则进行计算；
②利用分式的运算法则将原式进行化简，然后代入求值，结合配方法求代数式的最值．
【解答】解：（1）2mn=2nm，故①是神奇对称式；
只有当m+n＝0或m﹣n＝0时，m2﹣n2＝n2﹣m2，
∴m2﹣n2不一定等于n2﹣m2，故②不是神奇对称式；
只有当m＝n≠0或m＝﹣n时，nm=mn，
∴nm不一定等于mn，故③不是神奇对称式；
xy+yz+xz=yx+zy+zx，故④是神奇对称式；
故答案为：①④；
（2）①∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝＝x2﹣px+q，
∴m+n＝p＝3，mn＝q＝﹣2，
∴1m+1n=m+nmn=-32，
故答案为：-32；
②∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝＝x2﹣px+q，
∴m+n＝p，mn＝q，
原式＝m2+1m+n2+1n
＝（m+n）2﹣2mn+m+nmn
＝p2﹣2q+pq，
又∵p2=q，
∴p＝±q，
当p＝q时，原式＝p2﹣2q+1＝（p﹣1）2≥0，
∴此时，原式的最小值是0；
当p＝﹣q时，原式＝p2﹣2q﹣1＝（p﹣1）2﹣2≥﹣2，
∴此时，原式的最小值是﹣2；
专题1.6 二次根式章末重难点突破
【浙教版】
【题型1 二次根式的概念】
【例1】（2020秋•平房区期末）下列各式中，是二次根式有（ ）
①7；②-3；③310；④3-x（x≤3）；⑤a-32；⑥-x2-1；⑦ab（ab≥0）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次根式的概念及二次根式成立的条件进行判断．
【解答】解：②-3，被开方数小于0，不是二次根式；
③310是三次根式；
⑤a-32当a＜9时，被开方数小于0，不是二次根式；
⑥-x2-1，∵x2≥0，∴﹣x2≤0，∴﹣x2﹣1＜0，被开方数小于0，不是二次根式；
①7；④3-x（x≤3）；⑦ab（ab≥0）是二次根式．
故选：B．
【变式1-1】（2021秋•偃师市月考）下列式子中二次根式的个数有（ ）
（1）13；（2）3；（3）-x2+1；（4）38；（5）(-13)2；（6）1-x(x＞1)；（7）7．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据形如a（a≥0）的式子叫做二次根式判断即可．
【解答】解：二次根式有：（1）13；（2）3；（3）-x2+1；（5）(-13)2；（7）7共5个，
38的根指数为3，不是二次根式；
∵x＞1，
∴1﹣x＜0，
∴1-x(x＞1)不是二次根式；
故选：D．
【变式1-2】（2021春•朝阳区校级期末）已知：20n是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．5
【分析】首先化简二次根式进而得出n的最小值．
【解答】解：∵20n=25n是整数，
∴最小正整数n的值是：5．
故选：D．
【变式1-3】（2021秋•大名县期末）已知-10m是正整数，则满足条件的最大负整数m为（ ）
A．﹣10 B．﹣40 C．﹣90 D．﹣160
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：∵-10m是正整数，
∴满足条件的最大负整数m为：﹣10．
故选：A．
【题型2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2021秋•新华区校级月考）要使3-x+13x-1有意义，则x应满足（ ）
A．13＜x≤3 B．x≤3且x≠13 C．13＜x＜3 D．12≤x≤3
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不为零．
【解答】解：∵3-x+13x-1有意义，
∴3﹣x≥0且3x﹣1≠0，
∴x≤3且x≠13，
故选：B．
【变式2-1】（2021春•沙坪坝区校级期末）代数式x-1+（x﹣2）0有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x≥2 D．x≥1且x≠2
【分析】结合二次根式有意义和零整数指数幂有意义求x的取值范围．
【解答】解：由题意得：x-1≥0x-2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故选：D．
【变式2-2】（2021春•恩施市期末）(a+1)(1-a)=a+1⋅1-a成立的条件是（ ）
A．﹣1≤a≤1 B．a≤﹣1 C．a≥1 D．﹣1＜a＜1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、二次根式的乘法运算法则得出关于a的不等式组，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：a+1≥01-a≥0，
解得：﹣1≤a≤1．
故选：A．
【变式2-3】（2021秋•新邵县期末）先阅读，后回答问题：x为何值时，x(x-3)有意义？
解：要使该二次根式有意义，需x（x﹣3）≥0，由乘法法则得x≥0x-3≥0或x≤0x-3≤0．
解得x≥3或x≤0．
∴当x≥3或x≤0，x(x-3)有意义．
体会解题思想后，请你解答：x为何值时，x-13x+6有意义？
【分析】根据题目信息，列出不等式组求解即可得到x的取值范围．
【解答】解：要使该二次根式有意义，需x-13x+6≥0，
由乘法法则得x-1≥0，3x+6＞0或x-1≤0，3x+6＜0，
解得x≥1或x＜﹣2，
当x≥1或x＜﹣2时，x-13x+6有意义．
【题型3 利用二次根式的性质化简】
【例3】（2020秋•丛台区期末）化简-aa2=（ ）
A．a B．﹣a C．a D．a2
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：-aa2=(-a)⋅(-a)=-a．
故选：B．
【变式3-1】（2021春•鄞州区校级期末）已知﹣1＜a＜0，化简(a+1a)2-4+(a-1a)2+4的结果为（ ）
A．2a B．2a+2a C．2a D．-2a
【分析】直接利用完全平方公式结合a的取值范围、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，
∴(a+1a)2-4+(a-1a)2+4
=a2+1a2+2-4+a2-2+1a2+4
=(a-1a)2+(a+1a)2
＝a-1a-（a+1a）
=-2a．
故选：D．
【变式3-2】（2021秋•虹口区校级期末）将x-6x3根号外的因式移到根号内： ．
【分析】根据已知可得x＜0，所以把x转化为﹣（﹣x），然后再把（﹣x）的平方移到根号内，然后进行化简计算即可．
【解答】解：由题意得：
-6x3≥0，
∴6x3≤0，
∵x≠0，
∴6x3＜0，
∴x3＜0，
∴x＜0，
∴将x-6x3=-（﹣x）-6x3
=-(-x)2⋅(-6x3)
=--6x，
故答案为：--6x．
【变式3-3】（2021秋•平谷区期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：b2-|a-b|+(c-a)2-|c|．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
c＜b＜0＜a，
∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，
∴b2-|a-b|+(c-a)2-|c|
＝﹣b﹣（a﹣b）+a﹣c﹣（﹣c）
＝﹣b﹣a+b+a﹣c+c
＝0．
【题型4 同类二次根式的概念】
【例4】（2021秋•二道区期末）如果最简二次根式2x-1与5是同类二次根式，那么x的值为 3 ．
【分析】根据同类项的定义得出2x﹣1＝5，然后求解即可得出答案．
【解答】解：∵最简二次根式2x-1与5是同类二次根式，
∴2x﹣1＝5，
∴x＝3．
故答案为：3．
【变式4-1】（2020秋•仓山区期末）下列二次根式中，化简后可以合并的是（ ）
A．a2b与a B．xy与xy
C．50与5 D．a+b与a2+b2
【分析】先将四个选项的式子化简为最简二次根式，然后再找出是同类二次根式的选项．
【解答】解：A、a2b=ab、ab与a不是同类二次根式，所以不能合并，故A不符合题意；
B、xy=1|y|xy，xy与xy是同类二次根式，可以合并，故B符合题意；
C、50=52、50与5不是同类二次根式，不能合并，故C不符合题意；
D、a+b与a2+b2不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意．
故选：B．
【变式4-2】（2021秋•杨浦区校级期中）下列二次根式中，最简二次根式有（ ）个．
5ab；a2-b2；a2-2ab+b2；2ab；a2．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：最简二次根式有5ab，a2-b2，a2，共3个，
故选：C．
【变式4-3】（2020秋•平房区期末）若最简二次根式3a-b4a+3b和2a-b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
【分析】根据题意得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．
【解答】解：∵最简二次根式3a-b4a+3b和2a-b+6能合并，
∴3a-b=24a+3b=2a-b+6，即3a-b=2①a+2b=3②，
①×2+②得：7a＝7，
解得：a＝1，
把a＝1代入②得：1+2b＝3，
解得：b＝1．
故选：D．
【题型5 二次根式的混合运算】
【例5】（2021秋•赫山区期末）计算：（24-16）÷2-（218+3427）．
【分析】直接化简二次根式，进而利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：原式＝（26-4）÷2-（2×24+3×239）
＝26÷2-4÷2-22-233
＝23-22-22-233
=433-522．
【变式5-1】（2021秋•徐汇区校级期末）计算：427+13+2-3•（3-213）．
【分析】直接利用二次根式的性质以及分母有理化分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝4×33+3-2(3+2)(3-2)-3+2
＝123-3+2﹣3+2
＝113+1．
【变式5-2】（2021秋•浦东新区期末）计算：3×6+9127-13-2+12÷2．
【分析】化简二次根式，然后先算乘除，再算加减．
【解答】解：原式=3×6+9×39-3+2(3+2)(3-2)+12÷2
＝32+3-（3+2）+12
＝32+3-3-2+12
＝22+12．
【变式5-3】（2020秋•电白区期末）计算题：93+（1﹣23）2-3（12-13）．
【分析】先根据二次根式的运算法则和完全平方公式计算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式=93+1﹣43+12-3×12+3×13
=3+1﹣43+12﹣6+1
＝8﹣33．
【题型6 二次根式的化简求值】
【例6】化简求值．
（1）12a2118a-2a38-a48a，其中a＝18．
（2）（a1a+4b）﹣（a2-b1b），其中a＝2，b＝3．
【分析】（1）先对式子进行化简，再将a＝8代入化简后的式子即可解答本题；
（2）先对式子进行化简，再将a＝2，b＝3代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）12a2118a-2a38-a48a
=12a2×18a18a-2×8a38-a4×22a
=12a2×32a18a-2×2a2a8-a2a2
＝2a2a-a2a2-a2a2
=a2a，
当a＝18时，原式＝18×2×18=108；
（2）（a1a+4b）﹣（a2-b1b）
=(a×aa+2b)-(a2-b×bb)
=(a+2b)-(a2-b)
=a+2b-a2+b
=a2+3b，
当a＝2，b＝3时，原式=22+33．
【变式6-1】已知x=7+22，y=7-2．求代数式（y﹣2x）12x-y-（2x+y）x2-xy+14y2的值．
【分析】根据二次根式的化简法则，先化简然后代入．
【解答】解：∵x=7+22，y=7-2，
∴2x﹣y＝2×7+22-（7-2）＝4＞0，
x-12y=7+22-7-22=2＞0，
∴原式=-2x-y-（2x+y）(x-12y)2=-2x-y-（2x+y）（x-12y）＝﹣2﹣27×2＝﹣2﹣47．
【变式6-2】已知x=8-78+7，y=8+78-7，求x+y+2xyx+y的值．
【分析】化简x、y的值，代入化简后的代数式即可求得．
【解答】解：∵x=8-78+7，y=8+78-7，
化简得x＝（8-7）2，y＝（8+7）2，
∵x+y+2xyx+y=(x+y)2x+y=x+y，
∴原式=8-7+8+7=42．
【变式6-3】已知a+b=1，且a=m+a-b2，b=n-a-b2，其中m、n均为有理数，求m2+n2的值．
【分析】由a=m+a-b2，b=n-a-b2，把a﹣b利用平方差公式因式分解，整理求得m、n，代入求得答案即可．
【解答】解：∵a+b=1，a=m+a-b2，b=n-a-b2，
∴m=a-a-b2=a-(a+b)(a-b)2=a-a-b2=a+b2=12，
n=b+a-b2=b+(a+b)(a-b)2=b+a-b2=a+b2=12，
∴m2+n2=14+14=12．
【题型7 二次根式的应用】
【例7】（2021秋•宝山区校级月考）三角形的周长为（55+210）cm，面积为（206+45）cm2，已知两边的长分别为45cm和40cm，求：（1）第三边的长；
（2）第三边上的高．
【分析】（1）根据第三边等于周长减去另两边之和，即可求出第三边的长；
（2）根据三角形的高等于三角形的面积的2倍除以底边即可求出第三边上的高．
【解答】解：（1）∵三角形周长为 (55+210)cm，两边长分别为 45cm 和 40cm，
∴第三边的长是：(55+210)-45-40=55+210-35-210=25cm；
（2）∵面积为（206+45）cm2，
∴第三边上的高为2(206+45)25=406+8525=（430+4）cm．
【变式7-1】（2021秋•二道区期末）在一个边长为（3+5）cm的正方形内部挖去一个边长为（5-3）cm的正方形（如图所示），求剩余部分的面积．
【分析】用大正方形的面积减去小正方形的面积即可求出剩余部分的面积．
【解答】解：剩余部分的面积为：（3+5）2﹣（5-3）2
＝（3+5+5-3）×（3+5-5+3）
＝25×23
＝415（cm2）．
【变式7-2】（2021•花溪区模拟）小莉在如图所示的矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，请你帮她求出图中空白部分的面积．
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为16=4cm，12=23cm，
∴AB＝4cm，BC＝（23+4）cm，
∴空白部分的面积＝（23+4）×4﹣12﹣16
＝83+16﹣12﹣16
＝（﹣12+83）cm2．
【变式7-3】（2021秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为13+1米，宽为13-1米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（83+98）＝2（83+72）＝163+142（米），
答：长方形ABCD的周长是163+142（米），
（2）通道的面积=(83×98)-(13+1)(13-1)
＝566-（13﹣1）
＝566-12（平方米），
购买地砖需要花费＝6×（566-12）＝3366-72（元）．
答：购买地砖需要花费3366-72元；
【题型8 二次根式中的新定义问题】
【例8】（2020秋•遵化市期末）定义：若两个二次根式a、b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
（1）若a与2是关于4的共轭二次根式，则a＝ 22 ．
（2）若2+3与4+3m是关于2的共轭二次根式，求m的值．
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值；
（2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值．
【解答】解：（1）∵a与2是关于4的共轭二次根式，
∴2a＝4，
∴a=42=22，
故答案为：22；
（2）∵2+3与4+3m是关于2的共轭二次根式，
∴（2+3）（4+3m）＝2，
∴4+3m=22+3=2(2-3)(2+3)(2-3)=4﹣23，
∴m＝﹣2．
【变式8-1】（2021秋•泰宁县期中）我们规定，若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）若3与x是关于1的平衡数，5-2与y是关于1的平衡数，求x，y的值；
（2）若（m+3）×（1-3）＝﹣2n+3（3-1），判断m+3与5n-3是否是关于1的平衡数，并说明理由．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）将已知等式化简可得，m+2n﹣23-m3=0，然后分三种情况分别列式计算：①当m和n均为有理数时，②当m和n中一个为有理数，另一个为无理数时，③当m和n均为无理数时，当m+5n＝2时，进而可得结论．
【解答】解：（1）根据题意可知：3+x＝2，
解得x＝﹣1，
5-2+y＝2，
解得y＝﹣3+2；
（2）（m+3）×（1-3）＝﹣2n+3（3-1），
∴m-3m+3-3＝﹣2n+33-3，
∴m+2n﹣23-3m＝0，
①当m和n均为有理数时，
则有m+2n＝0，﹣2﹣m＝0，
解得：m＝﹣2，n＝1，
当m＝﹣2，n＝1时，
m+3+5n-3=-2+3+5-3=3≠2，
所以m+3与5n-3不是关于1的平衡数；
②当m和n中一个是有理数，另一个是无理数时，
m+3+5n-3=m+5n，而此时m+5n为无理数，故m+5n≠2，
所以m+3与5n-3不是关于1的平衡数；
③当m和n均为无理数时，当m+5n＝2时，
∵m+2n﹣23-3m＝0，
解得m=-69-5333，n=27+333，
使得m+3与5n-3是关于1的平衡数，
当m≠-69-5333，n≠27+333时，
m+3与5n-3不是关于1的平衡数，
综上可得：当m=-69-5333，n=27+333时，m+3与5n-3是关于1的平衡数，否则m+3与5n-3不是关于1的平衡数．
【变式8-2】（2021秋•六盘水期中）我们将（a+b），（a-b）称为一对“对偶式“．因为（a+b）（a-b）＝（a）2﹣（b）2＝a﹣b．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将（a+b）和（a-b）中的“”去掉．例如：3+33-3=(3+3)(3+3)(3-3)(3+3)=(3+3)232-(3)2=12+636=2+3．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．
（1）分母有理化2+12-1的值为 3+22 ．
（2）如图所示，数轴上表示1，2的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x．求x+2x的值．
【分析】（1）先根据材料分子分母同时乘以2+1，然后得到结果；
（2）先根据点C是点B关于点A的对称点求得x的值，然后再代入计算得到结果．
【解答】解：（1）2+12-1=(2+1)(2+1)(2-1)(2+1)=(2+1)2(2)2-12=3+222-1=3+22，
故答案为：3+22．
（2）∵点B关于点A的对称点为C，
∴x＝2-2，
∴x+2x=2-2+22-2=2-2+2(2+2)(2-2)(2+2)=2-2+4+222=2-2+2+2=4．
【变式8-3】（2020春•海州区校级期末）阅读理解（5+2）（5-2）＝3，a•a=a（a≥0），（b+1）（b-1）＝b﹣1（b≥0）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如3与3，2+1与2-1，23+5与23-5等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如123=323×3=36，2+12-1=(2+1)2(2-1)(2+1)=3+22．
解答下列问题：
（1）3-4与 3+4 互为有理化因式，将325分母有理化得 3510 ．
（2）计算：26-2-36．
（3）已知有理数a、b满足a2+1+b2=-1+22，求a、b的值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义和分母有理化解决问题；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先分母有理化整理得到∴（a+12b﹣2）2-a+1＝0，再利用实数的性质得到a+12b﹣2＝0且﹣a+1＝0，然后解方程组即可．
【解答】解：（1）3-4与3+4互为有理化因式，将325分母有理化得3510；
故答案为3+4；3510；
（2）原式=2(6+2)(6-2)(6+2)-366×6
=6+2-62
=62+2；
（3）∵a2+1+b2=-1+22，
∴（2-1）a+22b+1﹣22=0，
∴（a+12b﹣2）2-a+1＝0，
∵a、b为有理数，
∴a+12b﹣2＝0且﹣a+1＝0，
∴a＝1，b＝2．
【题型9 利用分母有理化化简求值】
【例9】（2021秋•邵东市期末）在解决问题“已知a=12-1，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a=12-1=2+1(2-1)(2+1)=2+1，
∴a﹣1=2，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：23-7．
（2）若a=13+22，求2a2﹣12a+1的值．
【分析】（1）分子、分母都乘以3+7，再进一步计算即可；
（2）将a的值的分子、分母都乘以3﹣22得a＝3﹣22，据此先后求出a﹣3、（a﹣3）2及a2﹣6a、2a2﹣12a的值，代入计算可得答案．
【解答】解：（1）23-7=2(3+7)(3-7)(3+7)=2(3+7)9-7=3+7；
（2）∵a=13+22=3-22(3+22)(3-22)=3-229-8=3﹣22，
∴a﹣3＝﹣22，
∴（a﹣3）2＝8，即a2﹣6a+9＝8，
∴a2﹣6a＝﹣1，
∴2a2﹣12a＝﹣2，
则2a2﹣12a+1＝﹣2+1＝﹣1．
【变式9-1】（2021秋•鼓楼区校级期末）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵a=12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3，
∴a﹣2=-3．
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）13+2= 3-2 ；
（2）化简12+1+13+2+14+3+⋯⋯+1169+168；
（3）若a=15-2，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先利用a=5+2得到a﹣2=5，两边平方得到a2﹣4a＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）13+2=3-2(3+2)(3-2)=3-2；
故答案为3-2；
（2）原式=2-1+3-2+4-3+⋯+169-168
=169-1
＝13﹣1
＝12；
（3）∵a=15-2=5+2，
∴a﹣2=5，
∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1．
∴a4﹣4a3﹣4a+3＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3
＝a2×1﹣4a+3
＝a2﹣4a+3
＝1+3
＝4．
【变式9-2】（2021秋•平阴县期末）阅读下面问题：
12+1=1×(2-1)(2+1)(2-1)=2-1；
13+2=1×(3-2)(3+2)(3-2)=3-2；
14+3=1×(4-3)(4+3)(4-3)=4-3．
试求：（1）求17+6= 7-6 ；
（2）当n为正整数时1n+1+n= n+1-n ；
（3）11+2+12+3+13+4+⋯+198+99+199+100的值．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；
（2）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；
（3）先将所求式子变形，然后计算即可．
【解答】解：（1）17+6=7-6(7+6)(7-6)=7-6，
故答案为：7-6；
（2）1n+1+n=n+1-n(n+1+n)(n+1-n)=n+1-n，
故答案为：n+1-n；
（3）11+2+12+3+13+4+....+198+99+199+100
=2-1+3-2+4-3+⋯+99-98+100-99
=100-1
＝10﹣1
＝9．
【变式9-3】（2021春•东至县期末）小明在解决问题，已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a=12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3；
∴a﹣2=-3；
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3；
∴a2﹣4a＝﹣1；
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：12021+2020= 2021-2020 ；
（2）若a=110-3，求3a2﹣18a+5的值．
【分析】（1）直接找出分母有理化因式，进而化简得出答案；
（2）直接找出分母有理化因式，再将原式变形，进而化简得出答案．
【解答】解：（1）12021+2020=2021-2020(2021+2020)(2021-2020)=2021-2020；
故答案为：2021-2020；
（2）∵a=110-3=10+3(10+3)(10-3)=10+3，
∴3a2﹣18a+5
＝3（a2﹣6a）+5
＝3[（a﹣3）2﹣9]+5
＝3（a﹣3）2﹣22，
＝3（10+3﹣3）2﹣22
＝3×10﹣22
＝8．
【题型10 以二次根式为背景的材料阅读题】
【例10】（2021秋•山亭区期中）阅读下列材料，然后回答问题．
二次根式35，23，23+1，可以进一步化简：
35=3×55×5=355（一）；
23=2×33×3=63（二）；
23+1=2×(3-1)(3+1)(3-1)=2(3-1)(3)2-12=3-1（三）；
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
式子23+1也可以这样化简：23+1=3-13+1=(3)2-123+1=(3+1)(3-1)3+1=3-1（四）；
（1）请参照（三）式、（四）式，用两种不同的方法化简27+5；
（2）直接利用上面的结论化简：13+1+15+3+17+5+⋯+12n+1+2n-1．
【分析】（1）方法一：把分子分母都乘以（7-5），然后利用平方差公式计算；
方法二：利用二次根式的性质把分子化为（7）2﹣（5）2，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：（1）方法一：27+5=2(7-5)(7+5)(7-5)=7-5；
方法二：27+5=(7)2-(5)27+5=(7+5)(7-5)7+5=7-5；
（2）原式=3-12+5-32+7-52+•••+2n+1-2n-12
=2n+1-12．
【变式10-1】（2020秋•罗湖区校级期中）阅读材料题
知识链接：我们利用平方差公式可以计算形如：(a+b)(a-b)=a-b的运算
知识运用：
（1）请看下面的运算：例：(10+2)(15-3)=[2(5+1)]×[3(5-1)]=6×4=46
请仿照例子用公式计算：(14+35)(6-15)
（2）运用平方差公式比较大小例：比较7-6与6-5大小
7-6=(7+6)(7-6)(7+6)=17+6．
6-5=(6+5)(6-5)(6+5)=16+5
∵(7+6)＞(6+5)
∴17+6＜16+5
∴7-6＜6-5
请比较17-15与15-13的大小．
【分析】（1）14+35化成7（2+5），6-15化成3（2-5），再利用平方差计算乘法即可；
（2）根据所给例题，利用平方差进行变形计算即可．
【解答】解：（1）(14+35)(6-15)，
=7（2+5）×3（2-5），
=21×（﹣3），
＝﹣321；
（2）17-15=(17-15)(17+15)17+15=217+15，
15-13=(15-13)(15+13)15+13=215+13，
∵17+15＞15+13，
∴217+15＜215+13，
∴17-15＜15-13．
【变式10-2】（2021秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+2b＝（m+2n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+2b＝m2+2n2+22mn，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+2b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+6b＝（m+6n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+6n2 ，b＝ 2mn ；
（2）若a+43=（m+3n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：7-21+80．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【解答】解：（1）∵（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，a+6b＝（m+6n）2，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为m2+6n2，2mn；
（2）∵（m+3n）2＝m2+3n2+23mn，a+43=（m+3n）2，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）21+80=20+45+1=(25+1)2=25+1，
则7-21+80
=7-25-1
=6-25
=(5-1)2
=5-1．
【变式10-3】（2021春•莆田期中）阅读下面材料：
同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式，小明发现像m+n，mnp，m2+n2等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式．
他还发现像m2+n2，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示．例如：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1．于是丽丽把mn和m+n称为基本神奇对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）代数式①2mn，②m2﹣n2，③nm，④xy+yz+xz(x≥0，y≥0，z≥0)中，属于神奇对称式的是 ①④ （填序号）；
（2）已知（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q．
①若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式1m+1n= -32 ；
②若p2-q＝0，求神奇对称式m3+1m+n3+1n的最小值．
【分析】（1）根据神奇对称式的概念进行判断；
（2）①首先利用多项式乘多项式的计算法则计算求得mn，m+n的值，然后利用分式的计算法则进行计算；
②利用分式的运算法则将原式进行化简，然后代入求值，结合配方法求代数式的最值．
【解答】解：（1）2mn=2nm，故①是神奇对称式；
只有当m+n＝0或m﹣n＝0时，m2﹣n2＝n2﹣m2，
∴m2﹣n2不一定等于n2﹣m2，故②不是神奇对称式；
只有当m＝n≠0或m＝﹣n时，nm=mn，
∴nm不一定等于mn，故③不是神奇对称式；
xy+yz+xz=yx+zy+zx，故④是神奇对称式；
故答案为：①④；
（2）①∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝＝x2﹣px+q，
∴m+n＝p＝3，mn＝q＝﹣2，
∴1m+1n=m+nmn=-32，
故答案为：-32；
②∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝＝x2﹣px+q，
∴m+n＝p，mn＝q，
原式＝m2+1m+n2+1n
＝（m+n）2﹣2mn+m+nmn
＝p2﹣2q+pq，
又∵p2=q，
∴p＝±q，
当p＝q时，原式＝p2﹣2q+1＝（p﹣1）2≥0，
∴此时，原式的最小值是0；
当p＝﹣q时，原式＝p2﹣2q﹣1＝（p﹣1）2﹣2≥﹣2，
∴此时，原式的最小值是﹣2；
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