浙教版八年级下册2.1 一元二次方程当堂检测题

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第2章 一元二次方程章末测试卷（培优卷）
【浙教版】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021春•九龙坡区期末）下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（　　）
A．（a﹣1）x2﹣2x＝0 B．x2+2x=-1
C．x2﹣4＝2y D．﹣2x2+3＝0
【解题思路】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答过程】解：A．当a＝1时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）（2021春•亳州期末）把方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　）
A．x2﹣x﹣2＝0 B．x2+5x﹣2＝0 C．x2﹣x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
【解题思路】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），可得出答案．
【解答过程】解：将一元二次方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式有：x2﹣x﹣2＝0，
故选：A．
3．（3分）（2021春•丽水期末）用配方法将方程x2﹣6x＝1转化为（x+a）2＝b的形式，则a，b的值分别为（　　）
A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝3，b＝10 D．a＝﹣3，b＝10
【解题思路】已知方程利用完全平方公式配方后，确定出a与b的值即可．
【解答过程】解：方程x2﹣6x＝1，
配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，
则a，b的值分别为﹣3，10．
故选：D．
4．（3分）（2021春•岳西县期末）已知关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根是2．则此方程的另一个根为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】设方程另一个根为x1，根据根与系数的关系得到2+x1＝3，从而得到方程的另一个根．
【解答过程】解：设方程另一个根为x1，
根据题意得2+x1＝3，
解得x1＝1，
即此方程的另一个根为1．
故选：B．
5．（3分）（2021春•潜山市期末）若关于x的方程kx2+（k+2）x+k4=0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≤﹣1
【解题思路】讨论：当k＝0时，方程化为2x＝0，方程有一个实数解；当k≠0时，Δ＝（k+2）2﹣4k•k4≥0，然后求出两种情况下的k的公共部分即可．
【解答过程】解：当k＝0时，方程化为2x＝0，解得x＝0；
当k≠0时，Δ＝（k+2）2﹣4k•k4≥0，解得k≥﹣1，
所以实数k的取值范围是k≥﹣1．
故选：A．
6．（3分）（2021春•怀宁县期末）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣m﹣2＝0实数根的情况最确切的是（　　）
A．有实数根 B．无实根
C．有两个相等实根 D．有两个不相等的实根
【解题思路】根据Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣m﹣2）＝4m2﹣4m+1+4m+8＝4m2+9＞0可得答案．
【解答过程】解：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣m﹣2）
＝4m2﹣4m+1+4m+8
＝4m2+9＞0，
∴方程有两个不相等的实根，
故选：D．
7．（3分）（2021春•靖江市期末）某厂一月份生产某大型机器20台，计划二、三月份共生产90台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　）
A．20（1+x）2＝90
B．20（1﹣x）2＝90
C．20（1+x）+20（1+x）2＝90
D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝90
【解题思路】设二、三月份每月的平均增长率为x，则二月份生产某大型机器20（1+x）台，三月份生产某大型机器20（1+x）2台，根据二、三月份共生产90台，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答过程】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，则二月份生产某大型机器2（1+x）台，三月份生产某大型机器2（1+x）2台，
依题意，得：20（1+x）+20（1+x）2＝90．
故选：C．
8．（3分）（2021•毕节市）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解题思路】设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛，赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答过程】解：设八年级有x个班，
依题意得：12x（x﹣1）＝15，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．
故选：B．
9．（3分）（2021•遵义）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【解题思路】先设这个方程的两根是α、β，根据两个根是﹣3，1和两个根是5，﹣4，得出α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，从而得出符合题意的方程．
【解答过程】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．
故选：B．
10．（3分）（2021春•太湖县期末）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）“满足a+b+c＝0”，那我们称这个方程为“蜻蜓”方程，已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，下列结论正确的是（　　）
A．a＝c≠b B．a＝b≠c C．b＝c≠a D．a＝b＝c
【解题思路】根据已知得出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有x＝﹣1，再判断即可．
【解答过程】解：把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0得出a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c，
∴a＝c≠b，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021春•龙口市期中）若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝　2　．
【解题思路】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．
【解答过程】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+2）x|m|一定是此二次项．
所以得到m+2≠0|m|=2，解得m＝2．
12．（3分）（2021春•岳西县期末）已知某个一元二次方程的两根分别是1和﹣2，则这个方程可以是（填一般形式） 　x2+x﹣2＝0（答案不唯一）　．
【解题思路】根据一元二次方程的根与系数的关系，观察各式即可得出结论．
【解答过程】解：∵一元二次方程的两根分别是1和﹣2，
∴x1+x2＝﹣1
x1x2＝﹣2．
∴这个方程为：x2+x﹣2＝0（答案不唯一）．
故答案为：x2+x﹣2＝0（答案不唯一）．
13．（3分）（2021春•高邮市期末）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2022﹣3a2﹣3a的值是 　2019　．
【解题思路】把x＝a代入已知方程，并求得a2+a＝1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【解答过程】解：把x＝a代入x2+x﹣1＝0，得
a2+a﹣1＝0，
解得a2+a＝1，
所以2022﹣3a2﹣3a＝2022﹣3（a2+a）＝2022﹣3＝2019．
故答案是：2019．
14．（3分）（2021•南岗区模拟）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根，则该等腰三角形的周长为 　7或8　．
【解题思路】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝3，利用等腰三角形的性质讨论：等腰三角形的腰为2，底边为3；等腰三角形的腰为3，底边为2，然后分别计算对应的三角形的周长．
【解答过程】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
即x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3，
当等腰三角形的腰为2，底边为3时，2+2＞3，该等腰三角形的周长为2+2+3＝7；
当等腰三角形的腰为3，底边为2时，3+2＞3，该等腰三角形的周长为2+3+3＝8；
综上所述，该等腰三角形的周长为7或8．
故答案为7或8．
15．（3分）（2021春•蚌埠月考）关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是　﹣2　．
【解题思路】根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a的范围，确定出所求即可．
【解答过程】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，
∴△＝4﹣12（a+1）≥0，且a+1≠0，
解得：a≤-23且a≠﹣1，
则整数a的最大值为﹣2．
故答案为：﹣2．
16．（3分）（2020秋•万荣县期末）如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即为剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm和30cm，且折成的长方体盒子表面积是888cm2，则剪掉的小正方形的边长为　6　cm．

【解题思路】设剪掉的小正方形的边长为xcm，则剪掉的小长方形的长为402=20cm，宽为xcm，根据折成的长方体盒子表面积是888cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答过程】解：设剪掉的小正方形的边长为xcm，则剪掉的小长方形的长为402=20cm，宽为xcm，
依题意得：40×30﹣2x2﹣2×20x＝888，
整理得：x2+20x﹣156＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣26（不合题意，舍去）．
故答案为：6．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2021秋•灌南县期中）用指定方法解下列方程
（1）2x2+5x﹣2＝0（用配方法）；
（2）9x2﹣（x﹣1）2＝0（用因式分解法）．
【解题思路】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答过程】解：2x2+5x＝2
2（x2+52x）＝2
x2+52x+2516=1+2516
（x+54）2=4116
x=-5±414　　　　　
（2）（3x+x﹣1）（3x﹣x+1）＝0
x1=-12；x2=14
18．（6分）（2021春•金安区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m的值．
【解题思路】（1）求出Δ＝（m﹣3）2≥0，再根据根的判别式得出答案即可；
（2）把x＝1代入方程得出1﹣m+2m﹣4＝0，再求出方程的解即可．
【解答过程】（1）证明：x2﹣mx+2m﹣4＝0，
Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2，
∵不论m为何值，（m﹣4）2≥0，
∴Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）把x＝1代入关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0，得1﹣m+2m﹣4＝0．
解得m＝3．
19．（8分）（2021春•高邮市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0两根为x1，x2．
（1）已知x1﹣x2＝0，求a的值；
（2）化简：(a-1)2-|2﹣a|．
【解题思路】（1）根据根与系数的关系，列出关于a的方程，解方程即可求解；
（2）根据判别式可求a的取值范围，再化简即可求解．
【解答过程】解：Δ＝（2a﹣1）2﹣4（a2+1）＝﹣4a﹣4≥0，
解得a≤﹣1，
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0两根为x1，x2，
∴x1+x2＝2a﹣1，x1x2＝a2+1，
∵x1﹣x2＝0，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝0，
即（2a﹣1）2﹣4（a2+1）＝﹣4a﹣4＝0，
解得a＝﹣1；
（2）(a-1)2-|2﹣a|＝1﹣a﹣（2﹣a）＝﹣1．
20．（8分）（2020秋•洪洞县期中）阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，将原方程化为y2﹣3y＝0，①解得y1＝0，y2＝3．
当y＝0时，x2﹣1＝0，x2＝1，∴x＝±1
当y＝3时，x2﹣1＝3，x2＝4，∴x＝±2
∴原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2
解答问题：
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　换元　法达到了降次的目的，体现了　化归　的数学思想；
（2）利用上述材料中的方法解方程：（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2＝0．
【解题思路】（1）根据换元法及其体现的数学思想解答即可．
（2）设x2+x＝m，用m代替方程中的x2+x，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程．
【解答过程】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想；
故答案为：换元，化归；
（2）令x2+x＝m，
则m2﹣m﹣2＝0，
∴（m﹣2）（m+1）＝0，
∴m﹣2＝0或m+1＝0，
解得m＝2或m＝﹣1，
当m＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
则x+2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1；
当m＝﹣1时，x2+x＝﹣1，即x2+x+1＝0，
∵△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∴此方程无解；
综上，原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．
21．（8分）（2020秋•金台区校级月考）设△ABC的三边长为a，b，c，其中a，b是方程x2﹣（c+2）x+2（c+1）＝0的两个实数根．
（1）判断△ABC是否为直角三角形？是说明理由．
（2）若△ABC是等腰三角形，求a，b，c的值．
【解题思路】（1）根据根与系数的关系得到a+b＝c+2，ab＝2（c+1）＝2c+2，把第一个等式两边平方，整理可得到a2+b2＝c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以c为斜边的直角三角形；
（2）由于△ABC是等腰直角三角形，则a＝b，且c=2a，利用a+b＝c+2可计算出a，于是可得到b、c的值．
【解答过程】解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下：
根据题意得a+b＝c+2，ab＝2（c+1）＝2c+2，
∴（a+b）2＝（c+2）2，即a2+2ab+b2＝c2+4c+4，
∴a2+4c+4+b2＝c2+4c+4，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形；
（2）∵△ABC是等腰三角形，
∴a＝b，且c=2a，
∴a+a=2a+2，
∴a＝2+2，
∴b＝2+2，
c＝2+22．
22．（8分）（2020•玉田县二模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11﹣3×17＝48，13×15﹣7×21＝48．不难发现，结果都是48．

（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；
（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）．
【解题思路】（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7），利用（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）＝48可证出结论；
（2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14），根据两数之积为435，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），根据两数之积为120，可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确．
【解答过程】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7），
∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7），
＝a2﹣1﹣（a2﹣49），
＝48．
（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14），
依题意，得：x（x﹣14）＝435，
解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）．
答：设这5个数中最大数为29．
（3）解：设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），
依题意，得：y（y﹣14）＝120，
解得：y1＝20，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．
∵20在第一列，
∴不符合题意，
∴小明的说法不正确．
23．（8分）（2021春•南浔区期末）科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产200万个，第三天生产288万个．试回答下列问题：
（1）求前三天生产量的日平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/天．
①现该厂要保证每天生产一次性注射2600万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【解题思路】（1）设前三天生产量的日平均增长率为x，利用第三天的产量＝第一天的产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20m）万个/天，利用总产量＝每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合在增加产能同时又要节省投入，即可确定m的值；
②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20a）万个/天，利用总产量＝每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于a的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣39＜0，可得出该方程无实数根，进而可得出能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个．
【解答过程】解：（1）设前三天生产量的日平均增长率为x，
依题意得：200（1+x）2＝288，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：前三天日平均增长率为20%．
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20m）万个/天，
依题意得：（1+m）（600﹣20m）＝2600，
整理得：m2﹣29m+100＝0，
解得：m1＝4，m2＝25，
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m＝4．
答：应该增加4条生产线．
②不能，理由如下：
设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20a）万个/天，
依题意得：（1+a）（600﹣20a）＝5000，
整理得：a2﹣29a+220＝0．
∵b2﹣4ac＝（﹣29）2﹣4×1×220＝﹣39＜0，
∴该方程无实数根．