2022湖北省高一上学期期末调考数学试题含答案

湖北省2021年秋季学期高一年级期末调考

数学试卷

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合，若，则（    ）

A. -1 B. 0 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系列方程求解即可.

【详解】因为，所以或，

而无实数解，所以.

故选：C

2. 命题“”的否定是 

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C.

考点：全称命题与存在性命题.

3. 已知角的终边经过点，则的值为（    ）

A. 11 B. 10 C. 12 D. 13

【答案】B

【解析】

【分析】

由角的终边经过点，根据三角函数定义，求出，带入即可求解.

【详解】∵角的终边经过点，

∴，

∴.

故选：B

【点睛】利用定义法求三角函数值要注意：

(1) 三角函数值的大小与点P（x,y）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；

(2) 当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论．

4. 函数的零点所在区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】判断函数单调性，结合零点存在性定理判断函数的零点所在区间.

【详解】因为函数，都为上的增函数，

所以函数在R上单调递增，

又，，，，

根据零点存在性定理可知的零点所在区间为.

故选：D.

5. 幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．

【详解】设幂函数的解析式为y=xa，

∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），

∴2=4a，

解得a=

∴，其定义域为[0，+∞），且是增函数，

当0＜x＜1时，其图象在直线y=x的上方．对照选项．

故选C．

【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求解及幂函数图象及其与指数的关系，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法．

6. 化简的结果是（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角函数的诱导公式化简求解即可.

【详解】原式

.

故选：B

7. 2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约（    ）年到5730年之间？（参考数据：，）

A. 4011 B. 3438 C. 2865 D. 2292

【答案】A

【解析】

【分析】由已知条件可得，两边同时取以2为底的对数，化简计算可求得答案

【详解】因为碳14的质量是原来的至，所以，

两边同时取以2为底的对数得，

所以，所以，

则推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间.

故选：A.

8. 已知函数满足∶当时，， 当时，， 若，且，设，则(    )

A. 没有最小值 B. 的最小值为

C. 的最小值为 D. 的最小值为

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件，首先利用表示出，然后根据已知条件求出的取值范围，最后利用一元二次函数并结合的取值范围即可求解.

【详解】∵且， 则，且，∴ ， 即

由，

∴，

又∵，

∴当时，，

当时，，

故有最小值.

故选：B.

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知，，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据不等式的性质判断A，B，根据比较法判断C，根据基本不等式判断D.

【详解】对于A，因为，，所以，所以A正确；

对于B，由，当时，，所以B不正确；

对于C，因为，，所以，故，所以C正确；

对于D，因为，所以均值不等式得，所以D正确；

故选：ACD.

10. 下列四组关系中不正确的是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】由终边相同角的概念结合特殊值，逐一分析四组角即可得答案;

【详解】对于A，当时，，不存在与之对应，所以A不正确；

对于B，表示终边落在y轴上的角，表示终边落在y轴正半轴上的角，所以B不正确；

对于C，与都表示终边落在y轴上的角，所以C正确；

对于D，表示终边落在x轴负半轴上的角，表示终边落在x轴上的角，所以D不正确.

故选：ABD.

11. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】函数在区间上单调递减，不符合要求，故A错；函数的最小正周期为，不符合要求，故B错；符合题中要求，故C正确；最小正周期为，在区间上单调递增，故D正确.

【详解】对于A，最小正周期为，在区间上单调递减，所以A错误；

对于B，最小正周期为，在区间上单调递减，所以B错误；

对于C，最小正周期为，在区间上单调递增，所以C正确；

对于D，最小正周期为，在区间上单调递增，所以D正确，

故选:CD.

12. 若定义在R上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意的实数x都成立，则称是一个“特征函数”.下列结论正确的是（    ）

A. 是常数函数中唯一的“特征函数”

B. 不是“特征函数”

C. “特征函数”至少有一个零点

D. 是一个“特征函数”

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据“特征函数”的定义逐个分析判断

【详解】对于A，设是一个“-特征函数”，则，当时，，因此不是常数函数中唯一的“-特征函数”，故A不正确；

对于B，，即，要使该式恒成立，则，而该方程无解，故B正确；

对于C，令，得，所以，若，显然有实数根；若，则，又因为的函数图象是连续不断的，所以在上必有实数根，因此任意“-特征函数”至少有一个零点，故C正确；

对于D，若是一个“-特征函数”，则对任意实数x恒成立，即，令，则由两函数的图象可知，两图象有一个交点，所以有解，故D正确.

故选：BCD.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

13. 若命题p是命题“”的充分不必要条件，则p可以是___________.（写出满足题意的一个即可）

【答案】，（答案不唯一）

【解析】

【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可

【详解】因为当时，一定成立，

而当时，可能，可能，

所以是的充分不必要条件，

故答案为：（答案不唯一）

14. 已知一个扇形的面积为，半径为，则其圆心角为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

结合扇形的面积公式即可求出圆心角的大小.

【详解】解：设圆心角为，半径为，则，由题意知，，解得，

故答案为:

15. 设，则______.

【答案】1

【解析】

【分析】

根据指数式与对数式的互化，得到，，再结合对数的运算法则，即可求解.

【详解】由，可得，，

所以.

故答案为：.

16. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】先判断为奇函数，且在R上为增函数，然后将转化为，从而有，进而可求出m的取值范围

【详解】由题意可知，的定义域为R，

因为，所以为奇函数.

因为，且在R上为减函数，

所以由复合函数的单调性可知在R上为增函数.

又，所以，

所以，解得.

故答案为：.

四､解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知全集，集合，，.

（1）若，求；

（2）若，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）时，分别求出集合，，，再根据集合的运算求得答案；

（2）根据，列出相应的不等式组，解得答案.

【小问1详解】

当时，，，

所以，

故.

【小问2详解】

因为，所以,

解得.

18. 已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1），   

（2），

【解析】

【分析】（1）利用余弦函数的增减性列不等式可得答案；

（2）先讨论函数的增减区间，再结合所给角的范围，可得最值.

【小问1详解】

令，，

可得，

故的单调递增区间为，.

【小问2详解】

 由（1）知当时，在单调递增，

可得在单调递减，

而，

从而在单调递减，在单调递增，

故，

.

19. 为了在冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层､某栋房屋要建造能使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的建造成本是6万元，该栋房屋每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元.设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.

（1）求和的表达式；

（2）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用最小，并求出最小值.

【答案】（1），   

（2）隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元

【解析】

【分析】(1)由已知，又不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元．所以可得C（0）＝5，由此可求，进而得到．由已知建造费用为6x，根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），可得f（x）的表达式．

(2)由(1)中所求的f（x）的表达式，利用基本不等式求出总费用f（x）的最小值．

【小问1详解】

因为，

若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，所以，故，

因为为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和，

所以.

【小问2详解】

，

当且仅当，即时，等号成立，

即隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元.

20. 已知关于x的不等式对恒成立.

（1）求的取值范围；

（2）当取得最小值时，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

分析】（1）根据已知条件，利用判别式小于等于零列不等式可得范围；

（2）根据（1）可得，利用转化分母，把正弦和余弦化为正切值，可得答案.

【小问1详解】

关于x的不等式对恒成立，

所以，解得.

【小问2详解】

由（1）可知，由得

.

21. 已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）设，若，，都有，求实数a的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】(1)由同角关系原不等式可化为，化简可得，结合正弦函数可求其解集，(2)由条件可得在上的最大值小于或等于在上的最小值，利用单调性求的最大值，利用换元法，通过分类讨论求的最小值，由此列不等式求实数a的取值范围.

【小问1详解】

由得，

，

当时，，

由，而，故解得，

所以的解集为，.

【小问2详解】

由题意可知在上的最大值小于或等于在上的最小值.

因为在上单调递减，所以在上的值域为.

则恒成立，令，

于是在恒成立.

当即时，在上单调递增，

则只需，即，此时恒成立，所以；

当即时，在上单调递减，

则只需，即，不满足，舍去；

当即时，只需，

解得，而，

所以.综上所述，实数a的取值范围为.

22. 已知函数，函数的图像与的图像关于对称.

（1）求的值；

（2）若函数在上有且仅有一个零点，求实数k取值范围；

（3）是否存在实数m，使得函数在上的值域为，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】（1）   

（2）或   

（3）存在，

【解析】

【分析】（1）由题意，将代入可得答案.

（2）由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，设,作出其函数图像，数形结合可得答案.

（3）设记，则函数在上单调递增，根据题意若存在实数m满足条件，则a，b是方程的两个不等正根，由二次方程的根的分布的条件可得答案.

【小问1详解】

由题意，，所以

【小问2详解】

由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，

设，作出函数在上的图像（如下图）

，，由题意，直线与该图像有且仅有一个公共点，

所以实数k的取值范围是或

【小问3详解】

记，

其中，在定义域上单调递增，则函数在上单调递增，

若存在实数m，使得的值域为，

则，即a，b是方程的两个不等正根，

即a，b是的两个不等正根，

所以解得，所以实数m的取值范围是.

【点睛】思路点睛：函数的零点问题可转化为两个熟悉函数的图象的交点问题来处理，而二次方程的零点问题，可结合判别式的正负、特殊点处的函数值的正负、对称轴的位置等来处理.