《新高考数学大二轮复习课件》专题一 第5讲 函数的极值、最值

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KAO QING FEN XI
利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多在选择题、填空题靠后的位置考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题.
考点一　利用导数研究函数的极值
判断函数的极值点，主要有两点(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点.(2)利用函数f′(x)的单调性可得函数的极值点.
例1　已知函数f(x)＝aln x＋ x2－(a＋1)x＋1.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
所以f′(x)＝x－1, 所以k＝f′(2)＝1,
所以切线方程为y＝x－1.
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围.
解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞).
令f′(x)＝0，即x2－(a＋1)x＋a＝0，解得x＝1或x＝a.①当a≤0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
所以当x＝1时，f(x)取得极小值.所以a≤0成立. ②当0a.当ab.综上，可知必有ab>a2成立.
解析　因为f(x)＝ex－ax2＋2ax有两个极值点，所以f′(x)＝0有两个不同实数根，所以ex－2ax＋2a＝0有两个不同实数根，所以ex＝2a(x－1)有两个不同实数根，显然a≠0，
当x∈(－∞，2)时，g′(x)>0；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)0)，则a，b的值为A.a＝2，b＝－29 B.a＝3，b＝2C.a＝2，b＝3 D.以上都不对
解析　函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)1时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；
综上，f(x)min＝1.
(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论.(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值.
跟踪演练2　(1)(2021·重庆联考)函数f(x)＝x＋2cs x在[0，π]上的最大值为
解析　由题意得，f′(x)＝1－2sin x，
(2)(2021·芜湖模拟)已知关于x的不等式x3－ax2≥ln x恒成立，则实数a的取值范围为
解析　因为不等式x3－ax2≥ln x恒成立，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，又h(1)＝0，所以当00，
所以g(x)＝1－ln x－x2在(0，＋∞)上单调递减，g(1)＝0.故当x∈(0,1)时，g(x)>0，即f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)0⇒x>0⇒f′(x)在(0，＋∞)上单调递增；g′(x)0)，我们可以作变形：f(x)＝xx＝　＝exln x＝et(t＝xln x)，所以f(x)可看作是由函数f(t)＝et和g(x)＝xln x复合而成的，即f(x)＝xx(x>0)为初等函数.根据以上材料，对于初等函数h(x)＝　 (x>0)，h(x)的极值点为A.(e,0) 　　　B.(1,0) 　　　 C.e 　　　D.1
令h′(x)＝0，得x＝e.当0e时，h′(x)0)的所有极小值点从小到大排列成数列{an}，设Sn是{an}的前n项和，则sin S2 021等于
解析　f′(x)＝1＋2cs x(x>0)，f′(x)是周期为2π的周期函数，
画出f′(x)在(0,2π]上的图象如图所示，由图可知f(x)在区间(0,2π]上的极小值点为x＝　 .
7.(2021·湛江模拟)已知函数f(x)＝x3－3ln x－1，则A.f(x)的极大值为0B.曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线为x轴C.f(x)的最小值为0D.f(x)在定义域内单调
所以f(x)的极小值，也是最小值为f(1)＝0，无极大值，在定义域内不单调，故C正确，A，D错误；
对于B，由f(1)＝0及f′(1)＝0，所以y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－0＝0(x－1)，即y＝0，故B正确.
8.已知函数f(x)＝eax(e是自然对数的底数)，g(x)＝x2的图象在(0,16]上有两个交点，则实数a的值可能是
解析　由函数f(x)＝eax，g(x)＝x2的图象在(0,16]上有两个交点，可转化为方程eax＝x2在(0,16]上有两个不等的实数根，即方程ax＝2ln x在(0,16]上有两个不等实根，
当0