《新高考数学大二轮复习课件》专题一 培优点3 洛必达法则

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例　已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R.若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.
解　方法一　由f(x)＝x2ln x－a(x2－1)≥0，当x＝1时，不等式成立，
故y＝x2－1－2ln x在(1，＋∞)上单调递增，则y＝x2－1－2ln x>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增.
方法二　f′(x)＝2xln x＋x－2ax＝x(2ln x＋1－2a)，因为x≥1，所以2ln x＋1≥1，
此时f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
则x∈[1，　　)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，x∈(　　，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(　　)
此时，f(x)≥0不成立.
对函数不等式恒成立求参数取值范围时，大家常采用分类讨论、假设反证法，但很难对参数进行讨论.若采取参数与分离变量的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷.此时，利用洛必达法则.
已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.
解　当x＝0时，f(x)＝0，对任意实数a都有f(x)≥0；
令h(x)＝xex－2ex＋x＋2(x>0)，则h′(x)＝xex－ex＋1，记φ(x)＝h′(x)，则φ′(x)＝xex>0，∴h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，h′(x)>h′(0)＝0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h(x)>h(0)＝0，∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增.