《新高考数学大二轮复习课件》专题六 第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系

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KAO QING FEN XI
直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等.
考点一　弦长、面积问题
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝ 　.
证明　由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，必要性：
所以必要性成立；充分性：设直线MN：y＝kx＋b(kb<0)，即kx－y＋b＝0，
可得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
(1)求椭圆C的标准方程；
解　方法一　由题意知，直线的斜率不为0，F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
解得m＝±1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.方法二　由(1)知F1(－1,0)，B(2,0)，当直线l的斜率不存在时，|MN|＝3，点B(2,0)到直线l：x＝－1的距离为3，
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等.(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉.(3)|AB|＝x1＋x2＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立.
即x－2y＝－4.当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4.
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
解　设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m.如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.
可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8，
与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
由两点之间距离公式可得
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.
即x2＋3y2＝3b2，
两式作差得(x1＋x2)(x1－x2)＋3(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
②求椭圆C的标准方程.
消去y可得10x2－18x＋9－3b2＝0.Δ＝182－40(9－3b2)＝120b2－36>0，
解得b2＝1，合乎题意，故a2＝3b2＝3，
(1)处理中点弦问题常用的求解方法
(2)中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.
解析　设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，P为AB的中点，
因为x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为线段PQ的中点为M(－2,1)，所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，
设直线PQ的方程为y－1＝k(x＋2)，即y＝kx＋2k＋1，代入双曲线方程，得(b2－a2k2)x2－2a2k(2k＋1)x－a2(2k＋1)2－a2b2＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，
整理得a2＝2bc，所以c2－b2－2bc＝0，
考点三　直线与圆锥曲线位置关系的应用
直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.
例4　(1)已知直线l与椭圆　　 ＝1(a>b>0)相切，与直线x＝－a，x＝a分别交于点M，N，F为椭圆的左焦点，若以MN为直径的圆为E，则FA.在圆E上 B.在圆E内C.在圆E外 D.以上三种情况都有可能
解析　显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，
因为直线l与椭圆相切，所以Δ＝(2a2km)2－4(a2k2＋b2)(a2m2－a2b2)＝0，故m2＝a2k2＋b2.易知F(－c,0)，M(－a，－ak＋m)，N(a，ak＋m)，
(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
因为点P为直线l与椭圆的交点， 所以点P到直线AB的距离为d，
此时直线l与椭圆有2个交点，此时有2个点P，所以共有3个点P.
1.直线l经过P(4,2)且与双曲线 －y2＝1交于M，N两点，如果点P是线段MN的中点，那么直线l的方程为A.x－y－2＝0 B.x＋y－6＝0C.2x－3y－2＝0 D.不存在
解析　当斜率不存在时，显然不符合题意；当斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点P是线段MN的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
所以直线y＝x－2满足题意.
2.已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为－2且经过焦点F的直线l交该抛物线于M，N两点，若|MN|＝ ，则该抛物线的方程是A.y2＝x B.y2＝2xC.y2＝4x D.y2＝6x
解析　设直线l：y＝－2x＋p，
得4x2－6px＋p2＝0，
所以p＝1，所以所求抛物线的方程是y2＝2x.
3.(2021·成都模拟)设O为坐标原点，直线l过定点(1,0)，与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，若OA⊥OB，则抛物线C的准线方程为
解析　由题意可知直线l的斜率不为0.设直线l：x＝my＋1，与y2＝2px(p>0)联立得y2－2pmy－2p＝0，Δ>0恒成立.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－2p.由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0，
解析　由已知可得a＝8，b＝4，
由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直于x轴时弦长最短，
当弦与x轴重合时，弦长最长为2a＝16，则弦长的取值范围为[4,16]，故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦”的长度之和为4＋16＋(5＋6＋7＋…＋15)×2＝240.
解析　当直线AB的斜率k＝0时，即AB为x轴，则垂直平分线为y轴，所以xM＝0；当直线AB的斜率k≠0 时，又斜率存在，则设直线方程为y＝k(x－2)，
设N为线段AB的中点，
则AB的垂直平分线MN的方程为
∴A(－ma,0)，B(0，mb)，设切线AC为y＝k1(x＋ma)，切线BD为y＝k2x＋mb，
7.(2021·兰州模拟)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为M，N，若线段MN的中点为P，且线段FP的长为4，则直线l的方程为
解析　由y2＝4x得p＝2，所以F(1,0)，准线为x＝－1，设直线l的方程为x＝ty＋1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
依题意得M(－1，y1)，N(－1，y2)，则线段MN的中点P(－1,2t)，
9.直线y＝kx＋1与椭圆　　 ＝1总有公共点，则实数m的取值范围是________________.
[1,4)∪(4，＋∞)
解析　直线y＝kx＋1过定点(0,1)，
解析　由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.
11.(2021·绵阳模拟)已知双曲线E：　　＝1(a>0，b>0)与抛物线C：y2＝2px(p>0)有共同的一焦点，过E的左焦点且与曲线C相切的直线恰与E的一条渐近线平行，则E的离心率为______.
解析　因为抛物线与双曲线共焦点，
所以Δ＝16a2c2－16b2c2＝0，所以a＝b，
12.已知直线y＝kx＋2(k>0)与抛物线C：x2＝8y相交于A，B两点，点F为C的焦点，|FA|＝4|FB|，则k＝_____.
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知抛物线的焦点坐标为F(0,2)，直线y＝kx＋2(k>0)与抛物线C：x2＝8y联立方程得x2－8kx－16＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝8k2＋4，y1y2＝(kx1＋2)·(kx2＋2)＝4，又因为|FA|＝4|FB|，所以y1＋2＝4(y2＋2)，即y1＝4y2＋6，
13.已知点A(0,2)，B为抛物线x2＝2y－2上任意一点，且B为AC的中点，设动点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；
解　设C(x，y)，B(m，n)，
∵B在抛物线x2＝2y－2上，∴m2＝2n－2，
∴曲线E的方程为x2＝4y.
(2)A关于直线y＝x的对称点为D，斜率为 的直线l交曲线E于M，N两点，且△MDN是以MN为底边的等腰三角形，求△MDN的面积.
解　由题意得D(2,0)，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－4t，Δ＝4＋16t>0，
∵△MDN是以MN为底边的等腰三角形，则kDP·kMN＝－1，
∴x2－2x－6＝0，
(1)求椭圆E和圆F的方程；
再由a2＝b2＋c2，可得a＝2b，①
由①②可解得a＝2，b＝1，
(2)若直线l：y＝k(x－ 　)(k>0)与圆F交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，请说明理由.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
若|AC|＝|BD|，则|AC|＋|BC|＝|BD|＋|BC|，即|AB|＝|CD|＝1，
得4k2＝4k2＋1，无解，故不存在.