《新高考数学大二轮复习课件》专题三 培优点9 构造法求数列的通项公式

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求数列的通项公式是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用.
例1　已知数列{an}满足an＋1＝3an－1，a1＝2，求数列{an}的通项公式.
解　∵an＋1＝3an－1，
例2　已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式.
解　∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，
∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n.
例3　数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且an＋2＝3an＋1－2an，n∈N*，求{an}的通项公式.
解　∵an＋2＝3an＋1－2an，∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
∴{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝2n，∴当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋21＋20
又a1＝1也满足上式，综上，an＝2n－1.
(1)若数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，构造an＋1＋λ＝p(an＋λ).(2)若数列{an}满足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)].
1.数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1，a1＝－1，求数列{an}的前n项和Sn.
解　∵an＋1＝3an＋2n＋1，
∴an＝3n－2n＋1，∴Sn＝(31＋32＋…＋3n)－(22＋23＋…＋2n＋1)
2.已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋3an－1，求{an}的通项公式.
解　∵an＋1＝2an＋3an－1，∴an＋1＋an＝3(an＋an－1)，∴{an＋1＋an}是以a2＋a1＝3为首项，3为公比的等比数列，∴an＋1＋an＝3·3n－1＝3n，①又an＋1－3an＝－(an－3an－1)，∴{an＋1－3an}是以a2－3a1＝－1为首项，－1为公比的等比数列，∴an＋1－3an＝(－1)·(－1)n－1＝(－1)n，②由①②得4an＝3n－(－1)n，