《新高考数学大二轮复习课件》专题五 第2讲 随机变量及其分布

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KAO QING FEN XI
离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常相结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.
考点一　分布列的性质及应用
离散型随机变量X的分布列为
则(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.
(5)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X).
例1　(1)(多选)设离散型随机变量X的分布列如表：
若离散型随机变量Y＝－3X＋1，且E(X)＝3，则A.m＝0.1 B.n＝0.1C.E(Y)＝－8 D.D(Y)＝－7.8
解析　由E(X)＝1×m＋2×0.1＋3×0.2＋4×n＋5×0.3＝3，得m＋4n＝0.7，又由m＋0.1＋0.2＋n＋0.3＝1，得m＋n＝0.4，从而得m＝0.3，n＝0.1，故A选项错误，B选项正确；E(Y)＝－3E(X)＋1＝－8，故C选项正确；因为D(X)＝0.3×(1－3)2＋0.1×(2－3)2＋0.1×(4－3)2＋0.3×(5－3)2＝2.6，所以D(Y)＝(－3)2D(X)＝23.4，故D选项错误.
(2)已知随机变量ξ的分布列如表所示，若E(ξ)＝D(ξ)，则下列结论中不可能成立的是
解析　由题意得E(ξ)＝ka＋(k－1)(1－a)＝k－1＋a，D(ξ)＝[k－(k－1＋a)]2·a＋[k－1－(k－1＋a)]2·(1－a)＝a(1－a).因为E(ξ)＝D(ξ)，所以k－1＋a＝a(1－a)，所以k＝1－a2，
分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
跟踪演练1　(1)已知随机变量X，Y的分布列如下：
则E(X)·E(Y)的最小值为
(2)(2021·绍兴模拟)设a>0，若随机变量ξ的分布列如下：
则下列方差值中最大的是A.D(ξ) B.D(|ξ|)C.D(2ξ－1) D.D(2|ξ|＋1)
其中D(2ξ－1)最大.
考点二　随机变量的分布列
1.超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率P(X＝k)＝ ，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.2.二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝ 　pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
例2　为了加强食品安全监管，某县市场监管局计划添购一批食品检测仪器，符合这次采购要求的检测仪器只有甲、乙两种型号，下表是该县市场监管局以往使用甲、乙两种型号检测仪器的使用年限及数量统计表.
以频率估计概率.(1)分别从以往使用的甲、乙两种检测仪器中各随机抽取一台，求甲型号检测仪器的使用年限比乙型号检测仪器的使用年限恰好多1年的概率；
解　记事件Ai为“从以往使用的甲型号检测仪器中随机抽取一台，使用年限为i年”，事件Bi为“从以往使用的乙型号检测仪器中随机抽取一台，使用年限为i年”，i＝1,2,3,4，事件C为“从以往使用的甲、乙两种型号检测仪器中各随机抽取一台，甲型号检测仪器的使用年限比乙型号检测仪器的使用年限恰好多1年”，则
(2)若该县市场监管局购买甲、乙两种型号检测仪器各2台，记2年后仍可使用的检测仪器的台数为ξ，求ξ的分布列与均值.
设2年后仍可使用的甲型号检测仪器有X台，乙型号检测仪器有Y台，
由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，
P(ξ＝1)＝P(X＝1，Y＝0)＋P(X＝0，Y＝1)
P(ξ＝3)＝P(X＝2，Y＝1)＋P(X＝1，Y＝2)
例3　(2021·房山模拟)单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩.现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下表：
假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立.(1)从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；
解　设“该站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成绩”为事件A，运动员甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为86.20,92.80,87.50,89.50,86.00，运动员乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为88.40,88.60,89.10,88.20,87.70，其中第2站和第4站甲的成绩高于乙的成绩，
(2)从下表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和均值；
解　X可能取的值为0,1,2，则
(3)假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由.
求随机变量X的均值与方差的方法及步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值对应的概率，写出随机变量X的分布列；(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.
(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率；
解　设事件A表示“甲被企业M正式录取”，事件B表示“乙被企业M正式录取”，事件C表示“丙被企业M正式录取”，
设事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被企业M正式录取”，
(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业M决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：
记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和均值.
解　X的所有可能取值为300,500,700,900，
解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ.(2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.
例4　(1)(2021·枣庄模拟)医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质(普通卫生纱布或无纺布)，中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层)，外层为特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层).根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x～N(0.937 2，0.013 92).若x～N(μ，σ2)(σ>0)，则P(μ－2σ