高考物理二轮复习解题方法第18讲 波函数法（2份打包，解析版+原卷版，可预览）

第18讲 波函数法（原卷版）

—高中物理解题方法28法20讲

江苏省特级教师 学科网特约金牌名师 戴儒京

内容提要：关于“振动和波”的题目，本文除了用传统方法解以外，还用另一种方法——鲜为人知的“波函数法”去解，波函数法比传统方法更“数学”一些，也是培养“用数学工具解决物理问题的能力”吧。

关键词：波函数，振动方程，波动公式，振动和波，

一、什么是波函数？

波函数的定义：

为了定量地描述介质中波动的情况，必修求得介质中各质元的位移与该质元所处的平衡位置及时间的定量关系，这种定量关系就是波的表达式，也叫做波函数（wave function）。

二、简谐波函数的推导

设有一波前为平面的简谐波，在均匀介质中沿轴正方向传播，波速为。由于这是一种平面波，所以在与轴垂直的平面上，各点的振动情况是一样的。所以只要讨论轴上各点的振动，就可以知道空间中各点的情况。

以O点为波源，设该处质元做简谐振动，其位移与时间的关系为

式中A为振幅，为角频率。考察波线O上的任一点P，它离O点的距离为，当波源O的振动传到P点时，P点的质元将重复O点的质元的振动，角频率也相同，但振动的相位要落后于O点。因为O点的振动传到P点需要时间，所以P处质元在时刻的振动相位和O点质元在时刻的振动相位一样，即其相位为

因为平面简谐波传播时各质元的振幅相等，P处质元在时刻的位移为

        ，这就是平面简谐波的波函数。

因为,,

所以波函数也可以写为 

当取某一确定值时，波函数便是某质点的振动方程，例如，便是振源O的振动方程。据此可以画出该质点的振动图象。

当取某一确定值时，波函数便是某时刻的波动方程，例如，便是时刻的波动函数方程。据此可以画出该时刻的波的图象。

三、波函数的应用：解高考“振动与波”题

振动与波的问题，历来是高考的热点。不论原大纲高考，还是新课标高考，振动与波的问题，都占有一席之地。2010年高考的波的图象问题，又有新动向。如2010年高考上海物理卷第20题，是一道关于波的图象的难题，难在哪？难在两点间的距离不是的整数倍，还难在波的传播时间不是的整数倍，而以往的高考题往往都是的整数倍。笔者经认真研究，给出本题的不同于一般的解法：用波函数解，当然，也就给出了此类题的此种解法。因为2010年高考其它省市的理综或物理试卷中，关于机械振动和机械波的题目，也有此类情况，这，就是高考题的发展与变化的规律。

例1. 如图1，一列沿轴正方向传播的简谐横波，振幅为，波速为，在波的传播方向上两质点的平衡位置相距（小于一个波长），当质点在波峰位置时，质点在轴下方与轴相距的位置，则              

（A）此波的周期可能为

（B）此波的周期可能为

（C）从此时刻起经过，点可能在波谷位置                  

（D）从此时刻起经过，点可能在波峰位置

例2.有两列简谐横波a、b在同一媒质中沿x轴正方向传播，波速均为v＝2.5m/s。在t＝0时，两列波的波峰正好在x＝2.5m处重合，如图所示。

（1）求两列波的周期Ta和Tb。

（2）求t＝0时，两列波的波峰重合处的所有位置。

（3）辨析题：分析并判断在t＝0时是否存在两列波的波谷重合处。

 某同学分析如下：既然两列波的波峰存在重合处，那么波谷与波谷重合处也一定存在。只要找到这两列波半波长的最小公倍数，……，即可得到波谷与波谷重合处的所有位置。

 你认为该同学的分析正确吗？若正确，求出这些点的位置。若不正确，指出错误处并通过计算说明理由。

例3．图甲为一列简谐横波在t=0.10s时的波形图，P是平衡位置为x=1m处的质点，Q是平衡位置为x=4m处的质点，图乙为质点Q的振动图像，则（   ）

A、t=0.15s时，质点Q的加速度达到正向最大

B、t=0.15s时，质点P的运动方向沿y轴负方向

C、从t=0.10s到t=0.25s，该波沿x轴正方向传播了6m

D、从t=0.10s到t=0.25s，质点P通过的路程为30cm

例4.在时刻，质点A开始做简谐运动，其振动图象如图乙所示。质点A振动的周期是    ▲     s；时，质点A的运动沿轴的     ▲     方向（填“正”或“负”）；质点B在波动的传播方向上与A相距16m，已知波的传播速度为2m/s，在时，质点B偏离平衡位置的位移是      cm

例5. （1）图1为一简谐波在t=0时刻的波形图，介质中的质点P做简谐运动的表达式为y=Asin5t，求该波的速度，并画出t=0.3s时的波形图(至少画出一个波长)。

例6.一列波长大于1m的横波沿着轴正方向传播，处在和的两质点、的振动图像如图所示。由此可知

A．波长为m

B．波速为

C．末、两质点的位移相同

D．末点的振动速度大于点的振动速度

例7．一简谐振子沿轴振动，平衡位置在坐标原点。＝0时刻振子的位移＝-0．1m；＝时刻＝0．1m；＝4时刻＝0．1m。该振子的振幅和周期可能为（  ）

　A．0．1m，   B．0．1m，8   C．0．2m，   D．0．2m，8

例8.如图，a. b, c. d是均匀媒质中x轴上的四个质点.相邻两点的间距依次为2m、4m和6m，一列简谐横波以2m/s的波速沿x轴正向传播，在t=O时刻到达质点a处，质点a由平衡位置开始竖直向下运动，t=3s时a第一次到达最高点。下列说法正确的是       (填正确答案标号。选对I个得3分，选对2个得4分，选对3个得6分。每选错I个扣3分，最低得分为0分)

A．在t=6s时刻波恰好传到质点d处

B．在t=5s时刻质点c恰好到达最高点

C.质点b开始振动后，其振动周期为4s

D.在4s<t<6s的时间间隔内质点c向上运动

E.当质点d向下运动时，质点b一定向上运动

例9.甲乙两列简谐横波在同一介质中分别沿轴正向和负向传播，波速均为，两列波在时的波形曲线如图所示

求

（i）时，介质中偏离平衡位置位移为16的所有质点的坐标

（ii）从开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为的质点的时间

例10.一简谐横波沿水平绳向右传播，波速为v，周期为T，振幅为A。绳上两质点M、N的平衡位置相距3/4波长，N位于M右方。设向上为正，在t=0时M位移为+A/2，且向上运动；经时间t（t<T），M位移仍为+A/2，但向下运动，则

（A）在t时刻，N恰好在波谷位置

（B）在t时刻，N位移为负，速度向上

（C）在t时刻，N位移为负，速度向下

（D）在2t时刻，N位移为-A/2，速度向下

大家知道，小学算术应用题难，学会代数就不难；初中平面几何难，学会解析几何就不难；同样，高中物理振动与波题难，学会波函数就不难了。

例11.由波源S形成的简谐横波在均匀介质中向左、右传播。波源振动的频率为20 Hz，波速为16 m/s。已知介质中P、Q两质点位于波源S的两侧，且P、Q和S的平衡位置在一条直线上，P、Q的平衡位置到S的平衡位置之间的距离分别为15.8 m、14.6 m，P、Q开始振动后，下列判断正确的是_____。（填正确答案标号。选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分。每选错1个扣3分，最低得分为0分）

A．P、Q两质点运动的方向始终相同

B．P、Q两质点运动的方向始终相反

C．当S恰好通过平衡位置时，P、Q两点也正好通过平衡位置

D．当S恰好通过平衡位置向上运动时，P在波峰

E．当S恰好通过平衡位置向下运动时，Q在波峰

例12.甲、乙两列横波在同一介质中分别从波源M、N两点沿x轴相向传播，波速为2m/s，振幅相同；某时刻的图像如图所示。则

（A）甲乙两波的起振方向相反

（B）甲乙两波的频率之比为3:2

（C）再经过3s，平衡位置在x=7m处的质点振动方向向下

（D）再经过3s，两波源间（不含波源）有5个质点位移为零

例13.在均匀介质中坐标原点O处有一波源做简谐运动，其表达式为，它在介质中形成的简谐横波沿x轴正方向传播，某时刻波刚好传播到x=12m处，波形图像如图所示，则

A、此后再经过6s该波传播到x=24m处

B、M点在此后第3s末的振动方向沿y轴正方向

C、波源开始振动时的运动方向沿y轴负方向

D、此后M点第一次到达y=-3m处所需时间是2s

例14.如图1，在xoy平面内有一列沿x轴传播的简谐横波，频率为2.5Hz。在t=0时，P点位于平衡位置且速度向下，Q点位于平衡位置下方的最大位移处，则在t=0.35s时，P、Q两质点的（   ）

A. 位移大小相等，方向相反

B. 速度大小相等，方向相同

C. 速度大小相等，方向相反

D. 加速度大小相等，方向相反

          图1

例15.从两个波源发出的两列振幅相同、频率均为5 Hz的简谐横波，分别沿x轴正、负方向传播，在某一时刻到达A、B点，如图中实线、虚线所示。两列波的波速均为10 m/s。求

（i）质点P、O开始振动的时刻之差；

（ii）再经过半个周期后，两列波在x=1 m和x=5 m之间引起的合振动振幅极大和极小的质点的x坐标。

例16. 一列简谐横波在t=时的波形图如图（a）所示，P、Q是介质中的两个质点，图（b）是质点Q的振动图像。求

（i）波速及波的传播方向；

（ii）质点Q的平衡位置的x坐标。

例17.一列横波沿水平绳传播，绳的一端在t＝0时开始做周期为T的简谐运动，经过时间t(T＜t＜T)，绳上某点位于平衡位置上方的最大位移处。则在2t时，该点位于平衡位置的

(A)上方，且向上运动

(B)上方，且向下运动

(C)下方，且向上运动

(D)下方，且向下运动

例18. 2018年高考全国3卷第34（1）题

一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t=0和t=0.20 s时的波形分别如图中实线和虚线所示。己知该波的周期T>0.20 s。下列说法正确的是______。(填正确答案标号。选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分。每选错1个扣3分，最低得分为0分)

A．波速为0.40 m/s

B．波长为0.08 m

C．x=0.08 m的质点在t=0.70 s时位于波谷

D．x=0.08 m的质点在t=0.12 s时位于波谷

E．若此波传入另一介质中其波速变为0.80 m/s，则它在该介质中的波长为0.32 m

例19. 一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t=0时振子的位移为-0.1 m，t=1 s时位移为0.1 m，则

A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为

B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为

C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s

D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s

例20.一列简谐横波沿x轴正方向传播，在x=0 和x=0.6 m处的两个质点A、B的振动图象如图所示．已知该波的波长大于0.6 m，求其波速和波长

【小结】关于用波函数解“振动与波”的问题小结如下：

1. “机械波”重点考查图象，有的题目只考查波形图，有的题目考查振动图象与波形图象的关系。
2. 在波的传播过程中，时间与空间具有对应关系：传播时间是周期的多少倍，传播距离就是波长的多少倍，即。
3. 对于难题，可以用波函数或解决。是用正弦函数还是余弦函数，视波源的初始情况决定，波源从平衡位置开始振动，则用正弦函数，波源从最大位置（振幅处）开始振动，则用弦函数，
4. 波函数，在x一定t为自变量时，为振动方程，在t一定x为自变量时，为波动方程。
5. 有时需要准确地画图象，可以用电脑Excel作图象，因为Excel作的图象是根据真实数据做出的，而电脑附件中的“画图”，是示意图，可以人为地画。

自从1985年全国高考试题以“波的图象”为大题、压轴题出现以来，经历了高考试题命题的多元化（许多省市自主命题最多时共14套试卷），又经历了最近两年的教育部把命题权力的回收（今年共7套高考真题含物理的试卷），经历了教科书的变迁：在课程标准教科书中“机械振动和机械波”改为选修内容，“有关“机械振动和机械波” 尤其是“波的图象”的问题，依然受高考命题者所青睐，每年各省市的理综或物理试卷，差不多都要有一题。每年有进步，每年有创新。

2020年人教版新教科书选择性必修第一册第2章复习与提高习题

习题1. 如图 3-9，S点是波源，振动频率为 100 Hz， 产生的简谐波向右传播，波速为80 m/s。波在传播过程中经过 P、Q 两点，已知 SP 为 4.2 m， SQ 为 5.4 m。 （1）在某一时刻 t，当 S 点通过平衡位置向上运动时，P 点和Q 点是处于波峰还是处于波谷，或者处于其他位置？ （2）取时刻 t 为时间的起点，分别作出 S、 P、 Q 三点的振动图像。

习题2. 在学校运动场上 50 m 直跑道的两端，分别安装了由同一信号发生器带动的两个相同的 扬声器。两个扬声器连续发出波长为5 m 的声波。一同学从该跑道的中点出发，向某一端点缓慢行进 10 m。求在此过程中他听到扬声器声音由强变弱的次数？

习题3. 如图 3-10，一列简谐横波在 x 轴上传播， 图甲和图乙分别为 x 轴上 a、b 两质点的振动图像，且 xab 为6 m。试求出这列波的波长与波速？

习题4. 两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于x＝－0.2 m和 x＝1. 2 m处，两列波的波速均为0.4 m/s，波源的振幅均为2 cm。图3-11为0时刻两列 波 的 图 像， 此 刻 平 衡 位 置 在x＝0.2 m和 x＝0.8 m的P、Q两质点刚开始振动。质点M 的平衡位置处于x＝0.5 m处。 （1）求两列波相遇的时刻。 （2）求1.5 s后质点M运动的路程。