2022-2023学年广东省佛山市南海区大沥镇八年级（上）期中数学试卷(含解析 )

2022-2023学年广东省佛山市南海区大沥镇八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在，，，，，中，无理数的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 下列各组数为勾股数的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3. 下列算式中，计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 点关于轴的对称点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 二元一次方程组的解是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 正比例函数的图象经过一、三象限，则直线经过(    )

A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限

7. 孙子算经中有一道题，原文是“今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 直线上有三个点则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 两个函数和，它们在同一个坐标系中的图象不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 比较大小： ______填上、或
12. 的算术平方根是______．
13. 若一个正数的平方根是和，则这个正数为______．
14. 若一次函数的图象过，则的值为______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，，依次进行下去，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 计算：．
17. 解方程组：．
18. 已知：如图，已知，
    画出与关于轴对称的图形．
    求的面积．

19. 已知一次函数．
    画出函数的图象．
    图象与轴的交点坐标是______，与轴的交点坐标是______．
    当______时，．

20. 如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点．
    求证：≌；
    若，，求的长．

21. 甲、乙两人沿相同的路线由地到地匀速前进，、两地间的路程为，他们前进的路程为，甲出发后的时间为，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示，根据图象信息回答下列问题：
    甲的速度是______，乙比甲晚出发______；
    分别求出甲、乙两人前进的路程与甲出发后的时间之间的函数关系式；
    甲经过多长时间被乙追上？此时两人距离地还有多远？

22. 年北京冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，在某北京奥运官方特许零售店购买个冰墩墩和个雪容融需要元；购买个冰墩墩和个雪容融需要元．
    求每个冰墩墩和雪容融的售价分别是多少元？
    该店在开始销售这两种吉祥物的第一天就很快全部售馨，于是从厂家紧急调配商品，现拟租用甲、乙两种车共辆，若每辆甲种车的租金为元，每辆乙种车的租金为元．若乙种车不超过辆，设租用乙种车辆，总租金为元，求与的关系式，并求总租金的最低费用．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，以为底作等腰三角形的顶点恰好落在轴上，连接，直线交于点，交于点，连接．
    求点的坐标和直线的解析式；
    在轴上存在一点使最小，请求出点的坐标；
    求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，
故在，，，，，中，无理数有，共个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽得到的数；以及两个之间依次多一个，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意
B、，，不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意；
D、，能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意．
故选：．
根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数判定则可．
本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：三个数都是正整数；两个较小数的平方和等于最大数的平方．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点的坐标是，
故选：．
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
此题主要考查了关于轴对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
把代入，得：，
解得，
把代入，得，
故原方程组的解为，
故选：．
把代入方程，即可消去未知数，求出未知数，然后再求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握消元的方法是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：正比例函数的图象经过一、三象限，
，
，
直线经过第二、四象限，
故选：．
根据正比例函数的图象经过一、三象限，可以得到，从而可以得到，再根据正比例函数的性质，即可得到直线经过的象限．
本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：设木长尺，绳长尺，由题意可得，
，
故选：．
根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程组．
 

8.【答案】 

【解析】解：
，
故选：．
先计算第一行三个实数的乘积，再用这个积除以所在行的另外两个数的乘积即可得出结论．
本题主要考查了实数的运算，依据题意列算式解答是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
值随值的增大而减小．
又，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质可得出值随值的增大而减小，结合可得出，此题得解．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，两函数函数值相等，故两条直线在处相交，故选项B不符合题意．
故选：．
根据直线判断出、的符号，然后根据、的符号判断出直线经过的象限即可，作出判断．
本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
先求出与的值，再比较大小即可．
本题考查的是实数的大小比较，熟知实数大小比较的方法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
又，
的平方根是，
的算术平方根是．
即的算术平方根是．
故答案为：．
首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．
此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道，实际上这个题是求的算术平方根．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
，
解得：，
则，
则这个正数为．
应用平方根的性质，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，进行计算即可得出答案．
本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的性质进行求解是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过，
，
，
．
故答案为：．
先把点代入函数求出，再代入所求代数式进行计算即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作轴的垂线交于点，
，
把代入得，即，
把代入得，即，
同理可得，，
为自然数，
，
的坐标为
故答案为：
把点代入求出坐标，进而求得、坐标，可得、坐标，据此找到规律，即可得坐标．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出变化规律．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：，得：，
解得，
将代入，得：，
解得：，
则方程组的解为． 

【解析】利用加减消元法求出解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的两种消元方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：所画图形如下所示：

将补全为矩形，

则．
故的面积为 

【解析】根据轴对称的性质分别找到、、三点的对称点，顺次连接即可得出．
将补全为矩形，然后运用面积差求出的面积．
本题考查了轴对称作图及三角形的面积，再第二问的求解中有一定技巧，同学们要注意格点三角形的应用．
 

19.【答案】     

【解析】解：列表如下：

描点．连线画出函数图象，如图所示；

图象与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标是．
故答案为：，；
由函数图象可得：
当时，一次函数的图象在轴上方，
当时，．
故答案为：．
根据画一次函数的图象的方法，列表、描点、连线可以画出一次函数的图象；
根据图象即可求解；
根据函数图象，可以写出当为何值时，．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

20.【答案】证明：，
，
即，
，，
≌．
解：由≌，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
≌，

，
．
即． 

【解析】已知和都是等腰直角三角形，，则，，，又因为两角有一个公共的角，所以，根据得出≌．
由的论证结果得出，利用勾股定理得出答案即可．
本题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：由图象可得，
甲的速度为：，乙比甲晚出发小时，
故答案为：，；
设甲出发的路程与的函数关系式为，
则，得，
甲出发的路程与的函数关系式为；
设乙出发的路程与的函数关系式为，
，得，
乙出发的路程与的函数关系式为；
由题意可得，
，
解得，，
当时，，
，
即甲经过被乙追上，此时两人距地还有．
根据函数图象可以求得甲的速度和乙比甲晚出发的时间；
根据函数图象可以分别设出甲、乙两人前进的路程与甲出发后的时间之间的函数关系式，然后根据图象中的数据即可解答本题；
令中的两个函数值相等，即可求得的值，进而求得的值，然后再用减去的值即可解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：设个冰墩墩的售价为元，个雪容融的售价为元，根据题意，
得：，
解得，
答：个冰墩墩的售价为元，个雪容融的售价为元；
设租用甲种车辆，则租用乙种车辆，总租金为元，
根据题意得：，
由题意得，
解得，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值为，
此时，
即当租用甲种车辆，租用乙种车辆，总租金最低，最低费用为元．
答：与关系式为，最低费用为元． 

【解析】设个冰墩墩的售价为元，个雪容融的售价为元，根据“购买个冰墩墩和个雪容融需要元；购买个冰墩墩和个雪容融需要元”，列出方程组求解即可；
设租用甲种车辆，则租用乙种车辆，总租金为元，根据题意求出与的关系式，并根据题意求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
 

23.【答案】解：在中，令可得，令可求得，
，，
，，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
即，解得，
，
设直线解析式为，
把、点的坐标代入可得，解得，
直线解析式为；
作点关于轴的对称点，则的坐标为；
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
设直线的解析式为，
将代入解析式可得：，
点的坐标为．
直线交于点，交于点，交轴于点，
，，，
，且，
，
的面积为． 

【解析】可先求得、的坐标，则可求得、，在设，则，在中由勾股定理可列方程，可求得的长，则可求得点的坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式；
作点关于轴的对称点，根据最短路径分析出点的位置，再求解即可．
由直线、的解析式可分别求得点、的坐标，则可求得的长，可求得的面积；
本题考查一次函数的综合应用，涉及等腰三角形和外角的性质、勾股定理、三角形的面积、三角形的三边关系、待定系数法及方程思想，正确利用相关知识进行运算是解题关键．