2022-2023学年湖北省荆州市荆州区高三年级（上）数学期末模拟测试（word版）含答案

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荆州市荆州区2022-2023学年高三年级（上）期末模拟测试数学一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共 40分。下列各题，每小题只有一个选项符合题意。）1. 设集合，，则（    ）A． B． C． D．2. 已知复数的实部与虚部的和为12，则（    ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 63. 已知△ABC中，，，点O是△ABC的外心，则（    ）A. － B. － C.  D. 4. 小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，而且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明准时到校的概率为（    ）A. 0.954 B. 0.956 C. 0.958 D. 0.9595. 已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（    ）A.  B.  C.  D. 6. 已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（    ）A.  B.  C.  D. 7. 已知正项等比数列前项和为，，且数列的前项和为，若对于一切正整数都有，则数列的公比的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 8. 已知三棱锥的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA⊥平面ABC，，，，M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为（    ）A. 3 B.  C.  D. 二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数，给出下列四个命题，其中正确的是（    ）A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称C. 在区间上单调递增 D. 的值域为10. 三角形 中， 角 的对边分别为 ， 下列条件能判断 是钝角三角形的有 （    ）A.  B. C.  D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（    ）A. 双曲线的离心率为2B. 若，且，则C. 以线段，为直径的两个圆外切D. 若点P第二象限，则12. 如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，给出下列命题，其中真命题的是（    ）A. 三棱锥的体积恒为定值B. 存在唯一的点E，使得截面的周长取得最小值C. 不存在点E，使得平面D. 若点E满足，则在棱上存在相应的点G，使得∥平面三.填空题(共4题，总计 16分)13. 等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则______．14. 定义一个同学数学成绩优秀的标准为“连续5次数学考试成绩均不低于120分（满分150分）”.现有甲､乙､丙三位同学连续5次数学考试成绩的数据（数据都是正整数）的描述：①甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128；②乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121；③丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125.则数学成绩一定优秀的同学是___________.15. 设A1，A2，B1分别是椭圆的左、右、上顶点，O为坐标原点，D为线段OB1的中点，过A2作直线A1D的垂线，垂足为H．若H到x轴的距离为，则C的离心率为______．16. 九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为___.（用含n的式子表示）四.解答题(共6题，总计74分)17. 已知数列{an}满足，且．（1）请你在①，②中选择一个证明：①若，则{bn}是等比数列；②若，则{bn}是等差数列．注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分．（2）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（1）求角A；（2）如图，若，点D是外一点，，设，求平面四边形面积的最大值及相应的值．19. 长江是我国第一大河，永葆长江生机活力是事关中华民族伟大复兴和永续发展的千秋大计.2020年1月1日起实施的10年全年禁渔令，是我国保护长江的百年大计，是保护后代子孙生活环境的重大举措.某科研机构发现：在理想状态下，鱼群数量随时间的增长满足指数模型：，其中表示初始时刻的鱼群数量，表示鱼群的增长率.该科研机构在某个监测站从2021年1月到2021年7月每个月测一次数据，数据整理如下：时间（单位：月）1234567鱼群数量（单位：千克）8101424417693（1）根据上表与参考数据，建立理相状态下鱼群的数量关于时间的回归方程；（2）科研机构认为在实际状态下鱼群的增长率与某个环境指标满足关系：（其中与每年禁渔的总时间（单位：月）有关，.）（i）在2020年起实施全年禁渔令以后，若希望鱼群数量增加，如何控制环境指标的取值范围？（ii）在2020年之前，长江每年的禁渔时长为3个月，请说明我国在2020年起实施全年禁渔令的科学性.参考数据381478其中参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为20. 在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°．（1）求证：AD⊥PC；（2）求二面角P-AB-C的余弦值；21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点、是双曲线的两个实轴顶点，点是双曲线上异于、的任意一点，直线交于，直线交于，证明：直线的倾斜角为定值．22. 已知函数，．（1）设函数，求的最大值；（2）证明：．
荆州市荆州区2022-2023学年高三年级（上）数学期末模拟测试参考答案及解析一.单项选择题 1.【答案】：C2.【答案】：C3.【答案】：C4.【答案】：B5.【答案】：C6.【答案】：B7.【答案】：B8.【答案】：B二. 多选题 9.【答案】：BD10.【答案】：BC11.【答案】：ACD12.【答案】：ABD二. 填空题13.【答案】： 414.【答案】： 乙15.【答案】： .16.【答案】： （，n为奇数）.四.解答题17【答案】：（1）详见解析；    （2），.【解析】：【小问1详解】选择①，由，可得，∴，又，∴数列{bn}是以2为首项，以为公比的等比数列；选择②，∵，，∴，又∴数列{bn}是等差数列.【小问2详解】由上可知，即，∴，∴.18【答案】：（1）    （2）最大值为，此时【解析】：【小问1详解】∵，由正弦定理知，，由余弦定理知，.【小问2详解】由（1）以及，得是等边三角形．设，则．余弦定理可得：，则．故四边形面积．∵，∴，∴当时，S取得最大值为，故平面四边形面积的最大值为，此时．19【答案】：（1）    （2）（i）；（ii）答案见解析【解析】：【小问1详解】解：由，两边同时取自然对数得，设，可得，因为，所以，又由，解得，即关于的回归方程为.【小问2详解】解：（i）当实施禁渔令以后，，要使得鱼群数量增加，则，解得，（ii）根据题意知，设函数，则，令，可得，当时，；当时，，所以当时，取得最大值.此时说明鱼群数量随时间会逐渐减少，因此我国在2020年起实施全年禁渔令是科学的.20【答案】：（1）证明见解析    （2）【解析】：【小问1详解】证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD⊂平面ABCD，AD⊥DC，∴AD⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，
∴AD⊥PC；【小问2详解】在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，DH⊂平面PDC，
∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，
以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，∵DH⊥平面ABCD，
∴平面ABCD的一个法向量为，又，，设平面PAB的一个法向量为，
由，取，则，
∴，由题意可知，二面角P﹣AB﹣C为锐角，
∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为；21【答案】：（1）；    （2）证明见解析.【解析】：【小问1详解】解：由题意得，解得，所以，椭圆的标准方程为．【小问2详解】解：由（1）知，双曲线方程为．设，则，则，因为、，所以．设直线的方程为，联立，消去得，由韦达定理可得，则，直线的方程为，联立，消去可得，由韦达定理可得，则，所以，直线的倾斜角为.22【答案】：（1）；    （2）证明见解析.【解析】：【小问1详解】解：因为，所以．当时，；当时，．所以在上为增函数，在上为减函数，从而．【小问2详解】证明：原不等式等价于，则，令，则，所以，在上单调递增．令，则，，所以，存在唯一使得，即，当时，；当时，此时在上单调递减，在上单调递增，要证，即要证．于是原问题转化为证明不等式组，由，得，代入．对两边取对数得，代入，得．因为，当且仅当，时，等号成立，所以．【拓展提高】：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.