2022-2023学年福建省泉州实验中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州实验中学八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列命题是真命题的是(    )

A. 相等的角是对顶角 B. 如果，那么，
C. 内错角相等，两直线平行 D. 若，则

3. 若多项式分解因式为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 小莹计算时，得出的正确结果是，则是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示，，要说明，需添加的条件不能是(    )
    

A.
B.
C.
D.

6. 如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，中，，，的垂直平分线分别交于点，，与，分别交于点，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若一个等腰三角形的两边长分别为和，则该三角形的周长是(    )

A.  B. 或 C. 或 D.

9. 如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知，均为正整数且满足，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 的公因式是______．
12. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是______．

13. 如图，≌，，，则______．

14. 若，则______．
15. 如图，正方形的网格中，点，是小正方形的顶点，如果点是小正方形的顶点，且使是等腰三角形，则点的个数为______．

16. 如图，在中，是高，，，在边上取点，连接，，若，，则的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 因式分解
    ；
    ；
    ；
    ．
19. 已知，满足先化简，再求值：
    ．
20. 已知，如图，在三角形中，是边上的高．
    尺规作图：作的平分线保留作图痕迹，不写作法，不写结论；
    在已作图形中，若与交于点，且，，求证：．

21. 求证：等腰三角形底边高上任一点到两腰的距离相等，结合所给图形，把“已知”、“求证”补充完整，并完成证明过程．
    已知：在中，______，为边上的______，为上一点且满足， ______．
    求证：______．

22. 阅读材料：若，求、的值．
    解：，
    ，，，，．
    根据你的观察，探究下面的问题：
    已知，求的值；
    已知，，求的值．
23. 在等腰直角三角形中，已知，点、分别在、上．
    ______；
    如图中，若，，证明是等腰三角形；
    如图中，若，点在上移动，且满足，于点，试问：此时的长度是否变化？若变化，说明理由；若不变，求出的长．
     
24. 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“巴渝数“将一个“巴渝数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与的商记为例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以根据以上定义，回答下列问题：
    填空：
    下列两位数：、、中，“巴渝数”为______；
    计算______．
    如果一个“巴渝数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“巴渝数”；
    如果一个“巴渝数”，满足，求满足条件的的值．
25. 在等边中，点和点分别在边，上，以为边向右作等边，连接．
    如图，当点和点重合时，求的大小；
    如图，点是边的中点．
    求证：；
    如图，连接，当最小时，过点作的垂线交于点，求的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，本选项不符合题意；
B.右边不是积的形式，不属于因式分解，本选项不符合题意；
C.从左到右的变形，属于因式分解，本选项符合题意；
D.右边不是积的形式，不属于因式分解，本选项不符合题意．
故选：．
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可．
本题考查了因式分解的意义，这类问题的关键在于是否正确应用分解因式的定义来判断．
 

2.【答案】 

【解析】解：，相等的角不一定是对顶角，故错误，不符合题意，
，也可能，都小于，故错误，不符合题意，
，内错角相等，两直线平行，正确符合题意，
，，故错误，不符合题意．
故选：．
根据对顶角的性质，不等式的性质，平行的判定，绝对值的含义进行解答即可．
本题考查对顶角的性质，不等式的性质，平行的判定，绝对值的含义，正确记忆相关知识点是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：多项式分解因式为，
即，
，系数对应相等，
，
故选：．
利用十字相乘法很容易确定的值．
本题考查了因式分解的十字相乘法，解题的关键是掌握十字相乘法．
 

4.【答案】 

【解析】解：计算时，得出的正确结果是，
又，
，
故选：．
根据完全平方公式得出，进而得出选项．
本题考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式，等式两边平方及整体思想应用是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是全等三角形的判定方法，需注意的是和不能作为判定两个三角形全等的依据．
和中，已知的条件有，；要判定两三角形全等只需条件：一组对应角相等，或即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的．
【解答】
解：已知，，
A、当时，符合的判定条件，故A正确；
B、当时，符合的判定条件，故B正确；
C、当时，符合的判定条件，故C正确；
D、当时，给出的条件是，不能判定两个三角形全等，故D错误．  

6.【答案】 

【解析】解：由作图痕迹得平分，垂直平分，
过点作于点，如图，

，
，
．
故选：．
由作图痕迹得平分，垂直平分，过点作于点，如图，根据角平分线的性质得到，则利用垂线段最短得到，所以．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：垂直平分，垂直平分，
，，
，，
中，，
，
，
；
故选：．
由垂直平分，垂直平分，可得，，又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，可求得度数，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
 

8.【答案】 

【解析】解：当为底时，其它两边都为，、、不能构成三角形，
当为腰时，其它两边为和，因为，所以能构成三角形，
所以该三角形的周长是：．
故选：．
因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，则，

于点，于点，
，，
又，，
，
即，
，
故选：．
连接，则，依据，，代入计算即可得到．
本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线将等腰三角形分割成两个三角形，利用面积法进行计算．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，均为正整数，
，或，
，，，，
，，，，
的最小值为．
故选：．
利用因式分解把等式变形为，再讨论各种可能情况，求出、的值，判断出最小值．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的各种方法．
 

11.【答案】 

【解析】解：的公因式是．
故答案为：．
确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：定系数，即确定各项系数的最大公约数；定字母，即确定各项的相同字母因式或相同多项式因式；定指数，即各项相同字母因式或相同多项式因式的指数的最低次幂．
本题主要考查了公因式，多项式中，各项都含有一个公共的因式，因式叫做这个多项式各项的公因式．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．
根据三角形的判定方法可解决此题．
故答案为：．
根据全等三角形的判定方法解决此题．
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：≌，，，
，，
，
故答案为：．
根据全等三角形的性质得出，，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，






，
故答案为：．
利用多项式乘多项式的法则进行计算，再整体代入，即可得出结果．
本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图：

分三种情况：
当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交小正方形的格点为，；
当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交小正方形的格点为，；
当时，作的垂直平分线，交小正方形的格点为，；
综上所述：是等腰三角形，则点的个数为，
故答案为：．
分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交的延长线于，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
：：，
，
：：，
，
，
，
，
故答案为：．
过点作，交的延长线于，先证≌，再证≌，得，，然后由高相等的两个三角形面积比等于底之比解决问题．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形面积等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式；

原式

． 

【解析】直接利用单项式乘多项式运算法则分别化简，进而得出答案；
直接利用平方差公式以及完全平方公式化简，进而合并同类项得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：

；



；
；


；


． 

【解析】先提公因式，再利用公式法；
先整理变形，提公因式，再利用平方差公式；
先利用平方差公式，再利用十字相乘法；
连续两次利用十字相乘法分解因式．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的各种方法．
 

19.【答案】解：原式


，
，
，，
，，
当，时，
原式

． 

【解析】本题考查整式的混合运算化简求值，
先根据整式的混合运算法则进行化简，然后将与的值求出，最后代入化简后的式子即可求出答案．
 

20.【答案】解：如图，为所作；

证明：是边上的高．
，
在和中，
，
≌，
，
平分，
，
． 

【解析】利用基本作图作的平分线；
先根据”“证明≌，则，再利用角平分线的定义得到，从而得到．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了全等三角形的判定与性质．
 

21.【答案】  高     

【解析】已知：在中，，为边上的高，为上一点且满足，，垂足分别为、，
求证：，
证明：，为高，
平分，
，，
，
故答案为：，高，，．
根据等腰三角形的性质得出平分，再根据角平分线性质得出答案即可．
本题考查了等腰三角形的性质和角平分线的性质，能熟记等腰三角形的性质是解此题的关键，等腰三角形底边上的高平分顶角，角平分线上的点到角两边的距离相等．
 

22.【答案】解：，
，
，
，，
解得，，，
；
，
，
将代入，得
，
，
，
，，
解得，，，
，
． 

【解析】根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到、的值，从而可以得到的值；
根据，，可以得到、、的值，从而可以得到的值．
本题考查因式分解的应用、非负数的性质偶次方，解题的关键是明确题目中的材料，可以将问题中方程转化为材料中的形式．
 

23.【答案】解：；
证明：，，

，
由知：，
，
，
，即是等腰三角形；
的值不变，证明如下：
如图，过点作于，

，，
是等腰直角三角形，，点为的中点，
，
，
，
又，，
，
在和中，
，
≌，
，
的值不变，为． 

【解析】

【分析】
根据等腰直角三角形的定义可解答；
由，利用等边对等角和三角形内角和定理可求得，，然后利用等角对等边可得出结论；
过点作于，首先利用等腰直角三角形的性质可以得到，，然后证得，进而利用证明≌，再根据全等三角形的性质可得．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形等知识，解答的关键是正确作出辅助线，并利用证得≌．
【解答】
解：在等腰直角三角形中，

故答案为：；
见答案；
见答案．  

24.【答案】   

【解析】解：根据“巴渝数”的定义知，中个位为，不是“巴渝数”，中，不是“巴渝数”，中，是“巴渝数”，
故答案为：；
，
故答案为：；
设任意一个“巴渝数”的十位上的数字是，个位上的数字是，
则．
又一个“巴渝数”的十位数字是，个位数字是，且，
，解得，
．
“巴渝数”的值为，
设的十位上的数字是，个位上的数字是，
，
，
，
当时，或，或；
当时，或或或，或或或；
综上，满足条件的的值为：或或或或或．
由“巴渝数”的定义可得；
根据定义计算可得；
由，可求得的值，即可求；
设的十位上的数字是，个位上的数字是，根据可列出不等式，即可写出满足条件的的值．
本题考查了因式分解的应用，解一元一次不等式；理解“巴渝数”的定义，并按照定义分析是解题关键．
 

25.【答案】解：，都是等边三角形，
，，，
即，
，
在和中，
，
≌，
；
证明：如图中，连接，取的中点，连接，．

，，，
，
，
是等边三角形，
是等边三角形，
同法可证≌，
，，
，
，
，，，
≌，
，
，
，
；
解：如图中，连接，过、分别作，，其垂足分别为、，

，
点在的垂直平分线上，
当时，的值最小，，
为等边三角形，，
垂直平分，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】证明≌，可得；
如图中，连接，取的中点，连接，证明≌，可得结论；
如图中，连接，过、分别作，，其垂足分别为、，由可知，点在的垂直平分线上，当时，的值最小，此时，证明≌，推出，可得结论．
本题考查三角形的综合应用，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键．