贵州省黔西南州兴仁市三校2022-2023学年九年级（上）第一次月考数学试卷(解析版)

2022-2023学年贵州省黔西南州兴仁市三校九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列函数表达式中，一定为二次函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    已知函数的图象经过点，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    将一元二次方程化成为常数的形式，则，的值分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.    若，是一元二次方程的两个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    已知点，，在二次函数图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是

A.  B.
C.  D.  

8.    已知是完全平方式，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

9.    一元次方程的根的情况为(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

10. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度米与水平距离米之间满足函数解析式，由此可知该生此次实心球训练的成绩为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

12. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点坐标为则下面的四个结论：；；；当时，或其中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 若关于的方程是一元二次方程，则______．
14. 某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去张贺卡，则该学习小组______有名成员．
15. 对于任意实数、，定义一种运算：，若，则的值为            ．
16. 二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，方程的解为______．

三、解答题（本大题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    用适当的方法解下列方程
    ；
    ．
18. 本小题分
    已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．
    求的取值范围；
    当时，求另一个根的值．
19. 本小题分
    为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒元下调至元，已知每次下降的百分率相同．
    求这种药品每次降价的百分率是多少？
    已知这种药品的成本为元，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？
20. 本小题分
    已知，如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点且经过点．
    求该抛物线的解析式；
    求该抛物线的顶点坐标和对称轴；
    求的面积，并写出时的取值范围．

21. 本小题分
    已知关于的方程
    求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
    设方程的两根分别为，，且，分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为，求的值．
22. 本小题分
    某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区，其中一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成，已知墙长为米如图，设矩形的边米，面积为平方米．
    求活动区面积与之间的关系式，并指出的取值范围；
    当为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．

23. 本小题分
    某种商品每件的进价为元，若每件按元的价格销售，则每月能卖出件；若每件按元的价格销售，则每月能卖出件．假定每月的销售件数是销售价格单位：元的一次函数．
    求关于的一次函数解析式；
    当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
24. 本小题分
    先阅读，后解题．
    已知，求和的值．
    解：将左边分组配方：即．
    ，，且和为，
    且，，．
    利用以上解法，解下列问题：
    已知：，求和的值．
    已知，，是的三边长，满足且为直角三角形，求．
25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为，点坐标为．
    求此抛物线的函数解析式．
    点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，探究是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    点为该抛物线对称轴上的动点，使得为直角三角形，请求出点的坐标．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是一次函数，故此选项错误；
B、当时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：．
根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数进行分析．
此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为这个关键条件．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
 

3.【答案】 

【解析】解：的图象经过点，
，
故选：．
根据二次函数图象上点的坐标特征，将点代入二次函数，可得．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，所有在二次函数上的点的坐标适合解析式．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
即，
，．
故选：．
本题主要考查用配方法解一元二次方程．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
 

5.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
．
故选：．
利用根与系数的关系求出两根之积即可．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点，，在二次函数图象上，
；；，
．
故选：．
分别计算出自变量为、和的函数值，然后比较函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 

7.【答案】 

【解析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的原则是解答此题的关键．
直接根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
解：由“左加右减”的原则可知，抛物线向右平移个单位所得抛物线是；
由“上加下减”的原则可知，抛物线向下平移个单位所得抛物线是．
故选：．
 

8.【答案】 

【解析】解：是完全平方式，
，
故选：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义计算判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

10.【答案】 

【解析】解：当，由二次函数可知，当，由二次函数可知，
故A、、C错误，D正确；
故选：．
根据二次函数的图象点的坐标特征即可判断．
本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，熟记一次函数与二次函数的有关性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，即，
得，
解得，舍去，．
故选：项．
根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可．
本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：对称轴为，
，
，
，故选项正确；
点坐标为，
当时，，故选项错误；
图象开口向下，
，
，
图象与轴交于正半轴上，
，
，故选项错误；
对称轴为，点坐标为，
点坐标为：，
当时，或故选项正确；
故选：．
根据对称轴为可判断；当时，即可判断；根据开口方向，对称轴以及与轴交点即可判断，求出点坐标，根据图象即可判断．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点．
 

13.【答案】 

【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
解得，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 

14.【答案】 

【解析】解：设这个小组有名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，
根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：．
设这个小组有名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，由该小组新年互送新年贺卡共张，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元二次方程的解法因式分解法．本题是新定义型题目，正确理解新定义并准确使用是解题的关键．依据新定义得到关于的方程，解方程可得结论．
【解答】
解：由题意得：
．
整理得：
．
即．
解得：，．
故答案为：或．  

16.【答案】， 

【解析】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点坐标为，
所以抛物线与轴的另一个交点坐标为，
所以方程的解为，，
故答案为：，．
先利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，根据方程的解即为的图象与轴的交点即为所求．
本题考查了抛物线与轴的交点，关键是求出抛物线与轴的交点．
 

17.【答案】解：移项得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，；
方程移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，． 

【解析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
方程移项后，利用配方法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
的取值范围为．
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，
，
又，
，
，
另一个根的值为． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
利用两根之和等于，即可得出，代入，即可求出．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；牢记“两根之和等于，两根之积等于”
 

19.【答案】解：设这种药品每次降价的百分率是，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：这种药品每次降价的百分率是．
元，
，
按此降价幅度再一次降价，药厂不会亏本． 

【解析】设这种药品每次降价的百分率是，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
根据经过连续三次降价后的价格经过连续两次降价后的价格，即可求出再次降价后的价格，将其与元进行比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：二次函数的图象经过点、，
，
解这个方程组，得，
该二次函数的解析式是；

顶点坐标是；
对称轴是直线；
二次函数的图象与轴交于，两点，
，
解这个方程得：，，
即二次函数与轴的两个交点的坐标为，．
的面积；
由图象可知，当时，． 

【解析】直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求出答案；
直接利用配方法求出抛物线顶点坐标和对称轴即可；
直接利用三角形面积求法得出答案，并根据函数图象得出的取值范围．
此题主要考查了抛物线与轴的交点以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确得出二次函数解析式是解题关键．
 

21.【答案】证明：，
，
总有两个不相等的实数根；
方程的两根分别为，，
，
，分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为，
，
，
解得或，
当时，，，不符合题意，舍去，
当时，，符合题意，
的值为． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；
根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于的方程，解方程并检验可得答案．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；利用根与系数的关系得出．
 

22.【答案】解：四边形是矩形，米，
米，
墙长为米，
，
，
，
即；
，
由知，，
当时，有最大值，
答：当为米时，活动区的面积最大，最大面积是平方米． 

【解析】由总长度垂直于墙的两边的长度平行于墙的这边的长度，由矩形的面积公式建立二次函数，根据墙的长度就可以求出的取值范围；
利用二次函数性质求出面积的最大值即可．
此题考查了二次函数的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解．
 

23.【答案】解：设，把，，和，代入，可得，
解得：，
；
设每月所获的利润为元，



．
当时，有最大值，最大值为． 

【解析】根据题意利用待定系数法可求得与之间的关系；
写出利润和之间的关系是可发现是二次函数，求二次函数的最值问题即．
主要考查利用函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
 

24.【答案】解：，
，即，
，，且和为，
且，
，；
，
方程变形为，
，，
，，
为直角三角形，
当，是直角边时，则；
当是斜边，是直角边时，则；
或． 

【解析】根据题意可把方程进行配方，然后问题可求解；
由题意把方程进行配完全平方公式，然后根据勾股定理可求解．
本题主要考查配方法的应用及勾股定理，熟练掌握配方法的应用及勾股定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线的图象经过点，点，
，
解得，
抛物线的解析式为；

存在．
理由：如图中，设，连接．

令，则，
解得或，
，，
，
，
，
，
时，的面积最大，最大值为，此时；

如图中，设抛物线的对称轴交轴于点，过点作抛物线的对称轴于点则；

，，
，
当时，是等腰直角三角形，
，
，
当时，是等腰直角三角形，可得，
当时，设，设的中点为，连接，则，
，
，
解得或，
，，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 

【解析】把点，两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，可得结论；
存在．如图中，设，连接构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题；
如图中，设抛物线的对称轴交轴于点，过点作抛物线的对称轴于点则，分三种情形：，，，分别求解可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．