贵州省遵义市2021-2022学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

2021~2022学年秋季高一期末考试

数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合B，再根据交集的定义即可得解.

【详解】解：因为，所以．

故选：A.

2. 命题“，是4的倍数”的否定为（    ）

A. ，是4的倍数 B. ，不是4的倍数

C. ，不是4的倍数 D. ，不是4的倍数

【答案】B

【解析】

【分析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解．

【详解】因为特称量词命题的否定是全称量词命题，

所以命题“，是4的倍数”的否定为“，不是4的倍数”．

故选：B

3. 某数学老师记录了班上8名同学的数学考试成绩，得到如下数据：90，98，100，108，111，115，115，125.则这组数据的分位数是（    ）

A. 100 B. 111 C. 113 D. 115

【答案】D

【解析】

【分析】根据第p百分位数的定义直接计算，再判断作答.

【详解】由知，这组数据的分位数是按从小到大排列的第6个位置的数，

所以这组数据的分位数是115.

故选：D

4. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表：

在以下区间中，一定有零点的是（    ）

A. （1，2） B. （2，4） C. （4，5） D. （5，6）

【答案】C

【解析】

【分析】由表格数据，结合零点存在定理判断零点所在区间.

【详解】∵

∴ ，，，,

又函数的图象是一条连续不断的曲线，

由函数零点存在定理可得在区间上一定有零点．

故选：C.

5. “”是“幂函数在上单调递增”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由幂函数的概念，即可求出或，再根据或均满足在上单调递增以及充分条件、必要条件的概念，即可得到结果.

【详解】若为幂函数，则，解得或，

又或都满足在上单调递增．

故“”是“幂函数在上单调递增”的充分不必要条件．

故选：A.

6. 函数的大致图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用排除法判断，先由函数的奇偶性分析，再取特殊值分析

【详解】因为

所以是偶函数，排除B.

因为，排除A，C.

故选：D.

7. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件利用指数函数、对数函数单调性，借助“媒介”数比较大小作答.

【详解】函数，在上都是单调递减的，

而，则，又，则，

在R上单调递增，则，

所以.

故选：A

8. 尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系式为．年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日我国四川九寨沟县发生里氏级地震的（    ）

A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍

【答案】C

【解析】

【分析】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,可得出，利用对数的运算性质可求得的值，即可得解.

【详解】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,

由已知可得，

则，故．

故选：C.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 下列函数中，为偶函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据奇偶函数的定义，可逐项判断,即可得答案.

【详解】函数满足 ，故为偶函数，A正确；

函数满足 ，故为偶函数，B正确；

函数满足 ，故为奇函数；

函数需满足 ，故既不是奇函数也不是偶函数，

故选：AB

10. 分别投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为“两枚骰子的点数都是奇数”，事件B为“两枚骰子的点数之和为奇数”，事件C为“两枚骰子的点数之和为偶数”，事件D为“两枚骰子的点数都是偶数”，则（    ）

A. A与B为互斥事件 B. A与C为互斥事件

C. B与C为对立事件 D. A与D为对立事件

【答案】AC

【解析】

【分析】题目考察互斥事件和对立事件的定义，不会同时发生的即为互斥事件，对立事件是不会同时发生且两件事包含了所有事件的可能性

【详解】投掷两枚质地均匀的骰子，共有三种情况，一奇一偶，两个奇数或两个偶数，选项A中，事件B“两枚骰子的点数之和为奇数”则说明是一奇一偶，与事件A没有重叠，所以是互斥事件，选项A正确；选项B中，事件A发生时，事件C同时发生，所以不是互斥事件，选项B错误；选项C中，两枚骰子点数之和只有两种情况，奇数或者偶数，所以B与C为对立事件，选项C正确；选项D中，两枚骰子除了都是奇数或者都是偶数，还有可能一奇一偶，所以不是对立事件，选项D错误

故选：AC

11. 根据2021年年初国家统计局发布的数据显示，我国2020年完成邮政行业业务总量21053亿元，比上年增长29.7%．快递业务量833.6亿件，快递业务收入8795亿元．下图为2016—2020年快递业务量及其增长速度，根据该统计图，下列说法正确的是（    ）

A. 2016—2020年，我国快递业务量持续增长

B. 2016—2020年，我国快递业务量增长速度持续下降

C. 预计我国2021年快递业务量将持续增长

D. 估计我国2015年的快递业务量少于210亿件

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据统计图对业务量和增长速度的数据进行分析可得．

【详解】根据统计图可得，2016—2020年，我国快递业务量持续增长，A正确．

2016—2019年，我国快递业务量增长速度持续下降，但2019—2020年，我国快递业务量增长速度上升，B错误．

2017—2020年，我国快递业务量增长速度比较平稳，且保持在较高水平，可以预测我国2021年快递业务量将持续增长，C正确．

设我国2015年的快递业务量为亿件，则，，D正确．

故选：ACD．

12. 已知函数函数有四个不同的零点，，，，且，则（    ）

A. 的取值范围是 B. 的取值范围是

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】结合的图象，由图可知，，，由二次函数的对称性，可得，可得答案.

【详解】有四个不同的零点，，，，即方程有四个不同的解．

 的图象如图所示，由图可知，，，所以，

即的取值范围是，

由二次函数对称性，可得．因为，所以，故．

故选：AC.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. ___________.

【答案】2

【解析】

【分析】利用换底公式及对数的性质计算可得；

【详解】解：.

故答案为：

14. 写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.①函数为指数函数；②单调递增；③.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据给定条件①可得函数的解析式，再利用另两个条件判断作答.

【详解】因函数是指数函数，则令，且，于是得，

由于单调递增，则，又，解得，取，

所以.

故答案为：（答案不唯一）

15. 已知一组数据的平均数，方差，则另外一组数据的平均数为___________，方差为___________.

【答案】    ①. 32    ②. 135

【解析】

【分析】由平均数与方差的性质即可求解.

【详解】由题意，数据的平均数为，方差为.

故答案为：；

16. 已知正数a，b满足，则的最小值为______．

【答案】##

【解析】

【分析】右边化简可得，利用基本不等式，计算化简即可求得结果.

【详解】，

故,则，当且仅当时，等号成立．

故答案为：

四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，，．

（1）求；

（2）若，求m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求得集合A，再由集合的补集运算和交集运算可求得答案；

（2）根据条件建立不等式组，可求得所求的范围.

【小问1详解】

因为，，

所以，．

小问2详解】

因为，所以

解得．故m的取值范围是．

18. 已知函数.

（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；

（2）判断奇偶性，并求在区间上的值域.

【答案】（1）函数在区间上单调递增，证明见解析   

（2）函数为奇函数，在区间上的值域为

【解析】

【分析】（1）利用定义法证明函数单调性；（2）先得到定义域关于原点对称，结合得到函数为奇函数，利用第一问的单调性求出在区间上的值域.

【小问1详解】

在区间上单调递增，证明如下：

，，且，

有.

因为，，且，所以，.

于是，即.

故在区间上单调递增.

【小问2详解】

的定义域为.

因，所以为奇函数.

由（1）得在区间上单调递增，

结合奇偶性可得在区间上单调递增.

又因为，，所以在区间上的值域为.

19. 已知函数，．

（1）求函数的定义域；

（2）试讨论关于x的不等式的解集．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）解不等式得出定义域；

（2）利用对数函数的单调性解不等式得出解集.

【小问1详解】

由题意可得解得．故函数的定义域为．

【小问2详解】

当时，函数是增函数．

因为，所以解得．当时，函数是减函数．

因为，所以解得．

综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．

20. 某学校对高一某班的名同学的身高（单位：）进行了一次测量，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中的值，估计全班同学身高的中位数；

（2）若采用分层抽样的方法从全班同学中抽取了名身高在内的同学，再从这名同学中任选名去参加跑步比赛，求选出的名同学中恰有名同学身高在内的概率.

【答案】（1），中位数为   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值，设中位数为，利用中位数左边的矩形面积之和为列等式可求得的值；

（2）分析可知所抽取的名学生，身高在的学生人数为，分别记为、、，身高在的学生人数为，记为，列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【小问1详解】

解：由图可得，解得.

设中位数为，前两个矩形的面积之和为，

前三个矩形的面积之和为，可知，

所以，，解得，

故估计全班同学身高的中位数为.

【小问2详解】

解：所抽取的名学生，身高在的学生人数为，

身高在的学生人数为，

设身高在内的同学分别为、、，身高在内的同学为，

则这个试验的样本空间可记为，共包含个样本点，

记事件选出的名同学中恰有一名同学身高在内.

则事件包含的基本事件有、、，共种，故.

21. 某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立．

（1）求产品需要进行第2个过程的概率；

（2）求产品不可以出厂的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分在第1个过程中，1或2位质检员检验结果为合格两种情况讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；

（2）首先求出在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，再求出产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，最后根据互斥事件的概率公式计算可得；

【小问1详解】

解：记事件A为“产品需要进行第2个过程”．

在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率，

在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率，

故．

【小问2详解】

解：记事件B为“产品不可以出厂”．

在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格概率，

产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，

故．

22. 已知函数．

（1）若是偶函数，求a的值；

（2）若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）0    （2）

【解析】

【分析】（1）由偶函数的定义得出a的值；

（2）由分离参数得，利用换元法得出的最小值，即可得出a的取值范围．

【小问1详解】

因为是偶函数，所以，

即，故．

【小问2详解】

由题意知在上恒成立，

则，又因为，所以，

则．令，则，

可得，

又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即a的取值范围是．