2021-2022学年贵州省铜仁市碧江区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年贵州省铜仁市碧江区九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 已知∽，若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

6. 如图，在水平地面上，由点测得旗杆顶点的仰角为，点到旗杆的距离米，则旗杆的高度为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在▱中，为的中点，交于点，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

9. 为保障人民的身体健康，卫生部门对某医药商店进行检查，抽查了某品牌的口罩包每包只，其中合格口罩的只数分别是：，，，，，则估计该品牌口罩的合格率约是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，点是▱的边上一点，直线交的延长线于点，则下列结论正确的有(    )
     ；；；．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 计算： ______ ．
12. 如图，、分别是的边、上的点，连接，要使∽，还需添加一个条件______只需写一个．

13. 如图，是反比例函数图象上一点，轴于点，则______．

14. 金滩商场月份的利润是万元，预计月份的利润将达到万元，设每月利润的平均增长率为，则根据题意所列方程是______．
15. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值是______．
16. 函数的图象与直线没有交点，那么的取值范围是______．
17. 已知是关于的方程的一个根，并且等腰三角形的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则的周长为______．
18. 如图，、、、、都是等边三角形，顶点、、、、在反比例函数的图象上，则的坐标是______．

三、解答题（本大题共7小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解方程
    公式法；
    配方法．
20. 本小题分
    一艘渔船以每小时的速度向正东航行，在处测得灯塔在北偏东方向；继续航行到达处，测得灯塔在北偏东方向．已知灯塔的四周内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？

21. 本小题分
    如图，为的中线，为上一点，若，，求证：．

22. 本小题分
    以“光盘”为主题的公益活动越来越受到社会的关注．某校为培养学生勤俭节约的习惯，随机抽查了部分学生态度分为：赞成、无所谓、反对，并将抽查结果绘制成图和图统计图不完整请根据图中提供的信息，解答下列问题：
    此次抽样调查中，共抽查了多少名学生？
    将图补充完整；
    根据抽样调查结果，请你估计该校名学生中有多少名学生持反对态度？
     
23. 本小题分
    如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
    求一次函数的解析式；
    根据图象直接写出的的取值范围．

24. 本小题分
    在中，，，，点沿从向终点以的速度移动，同时点沿边从向终点以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，问点、出发几秒后与相似．

25. 本小题分
    某商场以每件元的价格购进一批商品，当商场按每件元出售时，可售出件，经调查，该商品每涨价元，其销售量就会减少件；问：
    这批商品商场为了能获利元，当要求售价不高于每件元时，售价应定为多少？
    总利润能否达到元，为什么？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程是二元二次方程，选项A不符合题意；
B.当时，方程是一元一次方程，选项B不符合题意；
C.将原方程转化为一般形式得，该方程是一元一次方程，选项C不符合题意；
D.方程是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义，逐一分析各选项中的方程，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记一元二次方程的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：∽，
，，，
，
．
故选：．
根据∽，从而推出对应角相等求解．
此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
由，可得，把换成即可求出的值．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握比例变形．
 

4.【答案】 

【解析】解：设反比例函数关系式为，
将，代入得，
，
故选A．
先设，再把已知点的坐标代入可求出值，即得到反比例函数的解析式．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，较为简单．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
该方程有两个不相等的实数根．
故选：．
代入数据求出根的判别式的值，根据的正负即可得出结论．
本题考查了根的判别式，解题的关键是求出根的判别式本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由于米，仰角，
则米，
故选：．
此题可由仰角的正切值求得旗杆的高度．
本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

7.【答案】 

【解析】解：点，，在反比例函数的图象上，
，，．
，
．
故选：．
先把点，，代入反比例函数，求出，，的值，再比较大小即可．
本题考查的是反比例函数函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．关键是明确相似三角形的面积比等于相似比的平方．由，容易得出∽，可求．
【解答】
解：在▱中，为中点，
，
又，
∽，
，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：抽检了包口罩的平均合格率为，则可估计该商店出售的这批口罩的合格率约为，
故选：．
在本题中，可用样本平均数来估计总体平均数，即求出抽检的包口罩中的合格率即可．
本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，，
∽，∽，
，故正确；
，即，故正确；
，故错误；
，即，故正确．
故选：．
由四边形是平行四边形，可得，，，，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案．
本题考查相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理，用到的知识点：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
将，，代入即可得出答案．
此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
 

12.【答案】此题答案不唯一，如或或：：或等 

【解析】解：是公共角，
当或时，∽有两角对应相等的三角形相似，
当：：或时，∽两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，
要使∽，还需添加一个条件：答案不唯一，如或或：：或等．
故答案为：此题答案不唯一，如或或：：或等．
由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得可以添加或；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得可以添加：：或，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
 

13.【答案】 

【解析】解：是反比例函数图象上一点，轴于点，
，
故答案为：．
因为过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积是个定值，即而．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的三角形的面积是定值．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
故答案为：．
利用金滩商场月份的利润金滩商场月份的利润每月利润的平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，解得，，
而，
所以．
故答案为．
先把代入方程得到，然后解关于的方程，再利用一元二次方程的定义确定满足条件的的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线中，，
过一、三象限，
要使两个函数没交点，
那么函数的图象必须位于二、四象限，
那么，
．
故答案为：．
函数的图象与直线没有交点，根据正比例函数及反比例函数的性质作答即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，难度不大，关键是结合函数图象解答较为简单．
 

17.【答案】 

【解析】解：是关于的方程的一个根，
把代入方程整理得，
解得，
原方程为，
解得，，
又等腰三角形的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，
若是等腰三角形的腰长，则构不成三角形，
等腰三角形的腰长为，底边长为，
三角形的周长为．
故答案为．
本题考查一元二次方程的解，三角形三边关系及等腰三角形的性质．
先根据一元二次方程的解的定义把代入方程求出的值，得到原方程为，再解此方程得到，，然后根据三角形三边的关系得到的腰为，底边为，再计算三角形的周长．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
为等边三角形，
，，
，
设的长度为，则的坐标为，
把代入得，解得或舍去，
，
，
设的长度为，同理得到，则的坐标表示为，
把代入得，解得或舍去，
，，，

设的长度为，同理，为，的坐标表示为，
把代入得，
，，，
，
综上可得：，
故答案为：．
过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先在中，表示出和的长度，表示出的坐标，代入反比例函数解析式，求出的长度和的长度，表示出的坐标，同理可求得、的坐标，即可发现一般规律．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．灵活运用各类知识求出、、的坐标是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，，，
，
，
，；
，
，
，即，
，
，． 

【解析】利用公式法求解即可；
利用配方法解方程．
本题考查了解一元二次方程配方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：过点作，垂足为．
如图所示：
根据题意可知，，
，
，
，
在中，，，，
，
这艘船继续向东航行安全． 

【解析】过作于点，根据方向角的定义及余角的性质求出，，证，根据等角对等边得出海里，然后解，求出即可．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的判定和锐角三角函数定义是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
，
又，
∽，
，
又为的中线，
，
，
． 

【解析】由已知可以证得∽，然后根据相似三角形的性质可以得到所证结论．
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
 

22.【答案】解：名；
名；
补全条形统计图如图．

名．
答：估计该校名学生中有名学生持反对态度． 

【解析】根据赞成是人，占即可求得总人数；
利用总人数减去另外两项的人数，求得反对的人数，从而作出统计图；
利用乘以持反对态度的比例即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】解：将，两点分别代入，
解得，，
则点坐标为，点坐标为，
将点、坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为；

由图象可知当或时，，
即的解集为或． 

【解析】将、坐标代入反比例函数解析式求得、的值，即可知、坐标，再根据待定系数法求解即可．
该不等式的解集即为直线在反比例函数图象下方时的范围．
本题主要考查一次函数与反比例函数综合．
 

24.【答案】解：设点、出发秒后与相似，则：
，，
要使与相似，则有：
，
，
解之可得：，
，
，
解之可得：，
点、出发秒或秒后与相似． 

【解析】设点、出发秒后与相似，可以把、用含的代数式表示出来，然后根据相似三角形的判定得到关于的方程，解方程即可得到答案，注意此题有两种情况，所以必须分类讨论．
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定及分类讨论的方法是解题关键．
 

25.【答案】解：设每件应涨价元，由题意得
，
解得，不符题意，舍去，
元．
答：每件售价元．
即，
，
方程没有实数根，
总利润不能达到元． 

【解析】可以设每件应涨价元，题中等量关系为销售数量每件利润，根据等量关系列出方程再解答；
题中等量关系为销售数量每件利润，根据等量关系列出方程，再根据判别式即可解答．
考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．