2021-2022学年安徽省十五校联考九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省十五校联考九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列关于二次函数的说法正确的是(    )

A. 当时，随着的增大而增大
B. 当时，有最小值为
C. 该函数图象与轴有两个交点
D. 该函数图象可由抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到

2. 如图所示，点，分别在的，边上，且如果：：，那么：等于(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

3. 下面四个立体图形中，从正面看是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列事件中，是必然事件的是(    )

A. 掷两次般子，点数和为
B. 一元二次方程有两个相等的实数根
C. 相似三角形对应高的比等于相似比
D. 汽车经过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯

5. 下列各组条件中，一定能够判定与相似的是(    )

A. ，
B. ，，，：：
C. 三边长分别为，，，三边之比为：：
D. ，，：：

6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴，轴上，点，，若反比例函数的图象经过的中点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，为的直径，，，劣弧的长是劣弧长的倍，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在矩形中，，点是上一点，将沿直线折叠，点落在矩形的内部点处，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，的直径，弦，点是劣弧上的动点，交于点，则的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在边长为的正方形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，过点作，分别交正方形的两条边于点，，连接，，设，的面积为，则能大致反映与之间的函数关系的图象为(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 已知，那么：______．
12. 如图，在中，，，，，的平分线交于点，______．

13. 如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行．反比例函数的图象，与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点求图中阴影部分的面积为______．

14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线顶点．
    求 ______ ；
    若点是线段上的一个动点，，，当点在线段上运动时，点不变，点随之运动求当点从点运动到点时，点运动的路径长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    计算：．
16. 本小题分
    如图，在中，点、、分别在、、边上，，求证：∽．

17. 本小题分
    在正方形网格中，每个小正方形的边长为，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
    以点为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为：，并写出点的坐标；
    作出绕点逆时针旋转后的图形C.

18. 本小题分
    如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与两坐标轴分别相交于点，，过点作于点，连接．
    求一次函数和反比例函数的解析式；
    求四边形的面积．

19. 本小题分
    如图是一间安装有壁挂式空调的卧室的一部分，如图是该空调挂机的侧面示意图．已知空调挂机底部垂直于墙面，且当导风板所在的直线与竖直直线的夹角为时，空调风刚好吹到床的外边沿处，于点，于点若，，床铺，求空调机的底部位置距离床的高度结果精确到，参考数据：，，
     
20. 本小题分
    如图，是的直径，是弧的中点，于点，交于点．
    求证：；
    若，，求的半径及的长．

21. 本小题分
    在中国共产党成立周年之际，某中学开展党史学习教育活动，为了了解学生学习情况，随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩百分制绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：
    
    本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示等级的扇形圆心角度数为______．
    若该校有名学生，估计得分超过的有多少人？
    等级中有名男生，名女生，从中随机抽取人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
22. 本小题分
    星光公司投资万元引进一台新设备，若不计维修保养费用，投入生产后每月可创收万元，投入生产后从第一个月到第月的维修保养费用累计为万元，且若将创收扣除投资和维修保养费用，成为该新设备的纯收益万元，也是关于的二次函数．
    若维修保养费用第个月为万元，第个月为万元，求与的解析式；
    求纯收益关于的解析式；
    问新设备投入生产第几个月后，纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？
23. 本小题分
    如图，中，，，点为射线上一动点，连结，作且．
    如图，过点作交于点，求证：；
    如图，连结交于点，若，，求证：点为中点；
    当点在射线上，连结与直线交于点，若，，则______直接写出结果
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：二次函数的顶点式为，
该抛物线的顶点为，对称轴为直线，开口向上，
当时，随着的增大而减小，
选项不合题意，
当时，取最小值为，
选项符合题意，
该抛物线的顶点在轴上方，且开口向上，
图象与轴无交点，
选项不合题意，
函数图象可由抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，
选项不合题意，
故选：．
根据二次函数的图象与性质即可得出答案．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记顶点式和图象之间的关系．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
：：，
，
，
：，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得出，求出，再代入：求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、主视图为长方形，不符合题意；
B、主视图为圆，不符合题意；
C、主视图为三角形，符合题意；
D、主视图为长方形，不符合题意．
故选：．
找到从正面看所得到的图形为三角形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：掷两次般子，点数和为，是随机事件，故A不符合题意；
B.一元二次方程有两个相等的实数根，是随机事件，故B不符合题意；
C.相似三角形对应高的比等于相似比，是必然事件，故C符合题意；
D.汽车经过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
本题考查了随机事件，根的判别式，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、和，和不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意；
B、根据，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项不符合题意；
C、三边长分别为，，，则三边之比为：：，由三边之比为：：可知与相似，故此选项符合题意；
D、：：不是直角三角形的对应边成比例，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意．
故选：．
本题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法．
根据相似三角形的判定方法可得出答案．
 

6.【答案】 

【解析】解：设，
点，，
，解得，
，
设，
点向左平移个单位，向下平移个单位得到点，
点向左平移个单位，向下平移个单位得到点，
，
，
，解得，
，
，
反比例函数的图象经过的中点，
．
故选：．
设，利用两点间的距离公式得到，解方程得到，设，根据矩形的性质通过点的平移得到，则利用得到，解方程得点坐标，利用中点公式得到点的坐标，然后把点坐标代入中可得到的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即也考查了矩形的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接、、．
为的直径，，
，，
，
，
是直角三角形，，
劣弧的长是劣弧长的倍，
，
，
．
在中，
．
故选：．
连接、、根据圆周角定理得出，利用勾股定理的逆定理判断，根据圆心角、弧、弦的关系定理以及圆周角定理求出然后解，利用余弦的定义得到．
本题考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，圆心角、弧、弦的关系定理以及余弦的定义，难度适中．准确作出辅助线求出是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过作交于，交于，如图：

四边形是矩形，，
四边形是矩形，
，，
沿直线折叠，点落在矩形的内部点处，
，，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得或舍去，
，，
，
，
，，
∽，
，即，
，
，
故选：．
过作交于，交于，根据四边形是矩形，，得四边形是矩形，即知，，而沿直线折叠，点落在矩形的内部点处，有，，，由，得，设，则，在中，可得，解得，从而，，可得，证明∽，得，即，故EF，．
本题考查矩形中的折叠问题，涉及解直角三角形和三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理、相似三角形对应边成比例等列方程解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，作的外接圆，延长交于点，连接，则是直径，连接，．
，
，
是直径，
，
，
，，，
定值，
是定值，
点的运动轨迹是，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为．
故选：．
如图，作的外接圆，延长交于点，连接，则是直径，连接，证明是定值，推出点的运动轨迹是，证明，求出，可得答案．
本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是确定点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
 

10.【答案】 

【解析】解：当点在上时，
四边形是正方形，边长为，
，，，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
当点在上时，同理可得：，，
故选：．
分两种情况讨论，由面积公式可求与的函数关系，即可求解．
本题主要考查了函数的图象，解答本题的关键是利用三角形的面积公式列出二次函数解析式解决问题．
 

11.【答案】： 

【解析】解：，
，
：：：：．
故答案为：：．
根据已知条件得出，再代入要求的式子进行求解，即可得出答案．
此题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知条件得出．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
利用勾股定理求出，再利用角平分线与平行证明是等腰三角形，从而可得，然后再证明三角形∽，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为，
小正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，
设点的坐标为，
反比例函数的图象经过点，
，
，
小正方形的面积为，
大正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，且，
大正方形在第一象限的顶点坐标为，
大正方形的面积为，
图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积．
故答案为：．
根据待定系数法求出即可得到反比例函数的解析式，根据反比例函数系数的几何意义求出小正方形的面积为，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为，根据图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积即可求出结果．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．
 

14.【答案】  

【解析】
解：如上图，过作轴于，
抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线顶点，
，，，
令得，解得，，
，，
令得，
，，
，
，，
和是等腰直角三角形，，，
，
，
，
故答案为：；
，，且，
∽，
，
点在线段上运动时，点不变，点随之运动，
为主动点，为从动点，为定点，根据“瓜豆原理”有等于的路径与的路径之比，
，
的路径为，
故答案为：．
根据函数解析式可求、、、坐标，从而得到，即为所求；
点随运动而运动，为主动点，为从动点，为定点，故等于的路径与的路径之比，算出和即可得到的路径．
本题考查二次函数、三角函数、相似三角形等知识，题目较综合，解决本题的关键是需要掌握“瓜豆原理”．
 

15.【答案】解：
   
   
   ． 

【解析】先代入特殊角三角函数值，计算零指数幂，化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，熟记特殊角三角函数值，零指数幂法则，二次根式的化简是解题关键．
 

16.【答案】证明：，
，，，
，
，
∽． 

【解析】本题考查了相似三角形的判定．
由平行线的性质可得，，，可证，可得结论．
 

17.【答案】解：如图，即为所作，点的坐标为；
如图，即为所作； 

【解析】利用位似变换的性质分别作出，的对应点，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可．
本题考查作图位似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握位似变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：反比例函数的图象过，
，
反比例函数的解析式为，
把点代入得，，
，
把，代入得，解得，
一次函数的解析式为；
作轴于，则，
，
． 

【解析】把的坐标代入即可求得反比例函数的解析式，进而即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
利用三角形的面积以及梯形的面积即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，正确求出函数的解析式是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题知，四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，
答：空调机的底部位置距离床的高度长约为． 

【解析】根据题意求出，再利用三角函数求出，根据求出即可．
本题主要考查解直角三角形的知识，熟练运用三角函数的知识是解题的关键．
 

20.【答案】证明：是的直径，
，
．
，
，
，
．
又是的中点，
，
，
，
；

解：，
，
，
，
的半径为，
，
． 

【解析】要证明，可以证明；是的直径，则，又知，则，则，，则；
在直角三角形中，，又知，，所以可以求得的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用．
 

21.【答案】   

【解析】解：本次抽取调查的学生共有的人数为：人，
扇形统计图中表示等级的扇形圆心角度数为：，
故答案为：，；
人，
该校有名学生，估计得分超过的有人．
画树状图如图：

共有种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有种，
恰好抽到一男一女的概率为．
由等级的人数和所占百分比求出本次抽取调查的学生人数，即可解决问题；
得分超过的是、两个等级，根据样本中超过的人数占的百分比估计全校超过的人数所占总人数的百分比，进而求出结果．
画树状图，共有种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图．解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．掌握概率公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意得：时，；时，，代入得：
，
解之得，，
；
由题意得：
；
，
当时，值，
即设施开放个月后，游乐场的纯收益达到最大，
又当时，随的增大而增大；
当时，；而当时，，
个月后能收回投资． 

【解析】根据题意确定，的两组对应值求的函数关系式；
根据纯收益开放后每月可创收万元月数游乐场投资万元从第个月到第个月的维修保养费用累计，列出函数关系式；
求函数最大值，及时，的值，可确定回收投资的月份．
本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
 

23.【答案】或 

【解析】证明：，
，
，
同理，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
作于，
由得，，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
点为中点；
当点在的延长线上时，过作的延长线交于点，
，，
由知：≌，≌，
，，
，
，
同理，当点在线段上时，，
故答案为：或．
证明≌，根据全等三角形的性质得到，等量代换证明结论；
作于，证明≌，得到，求出，的长，得到答案；
过作的延长线交于点，根据全等三角形的性质得到，，代入计算即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．