2022-2023学年上海市虹口区迅行中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市虹口区迅行中学八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12分）

1. 下列运算一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值可以是(    )

A.  B.  C.  D. 以上都不是

3. 下列函数中，的值随值的增大而增大的函数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

5. 已知，那么可化简为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，反比例函数的图象与直线的交点为，，过点作轴的平行线与过点作轴的平行线相交于点，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共12小题，共24分）

7. 方程的解是______ ．
8. 如图，长为的梯子搭在墙上与地面成角，则梯子的顶端离地面的高度为______ 结果保留根号．

9. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果，那么______．

10. 函数自变量的取值范围是______．
11. 是关于的正比例函数，当时，则与的函数关系式是______．
12. 如图，已知：中，，，平分交于，：：，则点到的距离是______．
    
     
13. 已知点和都在反比例函数的图象上，如果，那么、和的大小关系是______用“”连接
14. 已知：与能使二次三项式的值为零，那么将分解因式的结果为：______．
15. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是______．

16. 已知三条不同的直线，，在同一平面内，下列四个命题：
    如果，，那么；    如果，，那么；
    如果，，那么；如果，，那么．
    其中正确的是______ 填写序号
17. 在中，，，，如果将这个三角形折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，那么______．
18. 如图，是等腰直角三角形，是斜边，为内一点，将绕点逆时针旋转后与重合，如果，那么线段的长等于______．

三、解答题（本大题共9小题，共64分）

19. 已知，的三边、、满足，试判断的形状，并说明理由．
20. 已知代数式．
    当时，求代数式的值；
    求当为何值时，代数式的值为．
21. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，与的图象交于点，求的值和、两点的距离．
22. 已知直线经过点和点
    求直线的表达式；
    设直线的解析式为，且与轴交于点，直线交于点，求的面积．
23. 已知一次函数．
    若函数图象在轴上的截距为，求的值；
    若函数图象平行于直线，求的值；
    该函数图象不经过第二象限，求的取值范围．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交反比例函数和在第一象限的图象于点，，过点作轴于点，交的图象于点，联结，若是等腰三角形，求的值．

25. 如图，和中，，是的中点，且于点，且求证：；若，求的长．

26. 已知：三角形纸片中，，，，是边上一点．将三角形纸片折叠，使点与点重合，折痕与、分别相交于、．
    设，，试建立关于的函数关系式，并直接写出的取值范围；
    当是直角三角形时，求出的值．

27. 小刘同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、图．
    图中，，，；图中，，，．
    图是小刘同学所做的一个实验：他将的直角边与的斜边重合在一起，并将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动．在移动过程中，、两点始终在边上移动开始时点与点重合．
    在沿方向移动的过程中，小刘同学发现：、两点间的距离逐渐______；填“不变”、“变大”或“变小”
    小刘同学经过进一步研究，编制了如下问题：
    问题：当移动至什么位置，即的长为多少时，、的连线与平行？
    问题：当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形？
    请你分别完成上述两个问题的解答过程．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、无法进行合并，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：．
本题需先根据实数运算的法则和方法分别进行计算化简，即可求出正确答案．
本题主要考查了实数的运算，在解题时要能够灵活运用实数的运算法则对要求的式子进行化简整理是本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
即．
故选：．
反比例函数的图象位于第二、四象限，比例系数，即，根据的取值范围进行选择．
本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，，反比例函数图象在一、三象限；，反比例函数图象在第二、四象限内．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是反比例函数，，在每个象限内，随的增大而减小，所以选项不合题意；
B、是一次函数，，随的增大而减小，所以选项不合题意；
C、是一次函数，，随的增大而增大，所以选项符合题意；
D、是一次函数，，随的增大而减小，所以选项不合题意．
故选：．
根据一次函数和反比例函数的性质分别进行判断即可．
本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和的意义得到且，然后解不等式即可得到的取值范围．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
原式，
故选：．
根据，，得出，然后化简二次根试．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由于点、在反比例函数图象上关于原点对称，
则的面积．
故选：．
双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，根据反比例函数的中心对称特点可知的是面积．
主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
 

7.【答案】， 

【解析】解：，
，
或，
解得，．
由于方程的左右两边都含有公因式，可先移项，然后用提取公因式法求解．
本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得：梯子、墙和梯子底端距离墙的距离构成如图所示的直角三角形，
且，，，
．
故答案为．
由题意得到墙与地面垂直，梯子、墙和梯子底端距离墙的距离构成直角三角形，解直角三角形即可．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中构造直角三角形并求解．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
求出，由直角三角形的性质求出，由勾股定理可得出答案．
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查函数自变量的取值范围的知识点，关键是利用二次根式的被开方数非负数解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：设，
当时，，
所以，
所以正比例函数解析式为．
答案为．
设，然后把对应值，代入求出即可．
本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数的解析式为，然后把一组对应值代入求出即可得到正比例函数解析式．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键先求出的长，再根据角平分线的性质即可得出结论．
【解答】
解：，：：，
．
平分交于，
点到的距离是．
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：，
在每个象限内，反比例函数的图象上随着的增大而增大，
，
，
故答案为：．
因为，利用反比例函数的图象的性质，在每个象限内，随的增大而增大，即可求出、和的大小关系．
本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是判断出的正负性．
 

14.【答案】 

【解析】解：与能使二次三项式的值为零，


故答案为：
直接利用能使二次三项式的值为零，即为方程的根，进而分解因式得出即可．
此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确理解题意是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，
点在双曲线上，点在双曲线上，
矩形的面积为：，矩形的面积是，
矩形的面积为：，
故答案为．
根据反比例函数系数的几何意义得出矩形的面积为：，矩形的面积是，则矩形的面积为：．
此题主要考查了反比例函数关系的几何意义，得出矩形和矩形的面积是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】

解：在同一个平面内如果，，那么；真命题；
如果，，那么；真命题；
如果，，那么；则不正确；
如果，，那么；真命题；
故答案为．

17.【答案】 

【解析】解：如图，

三角形折叠，得点与点重合，折痕交于点，交于点，
，，
，
而，，
，
．
故答案为：．
根据折叠的性质得到，，再利用三角形的外角定理得，然后根据含度的直角三角形三边的关系求出，即可得到．
本题考查了翻折变换，线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查旋转的性质和等腰直角三角形的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．根据旋转的性质知：旋转角度是，根据旋转的性质得出，即是等腰直角三角形，腰长，则可用勾股定理求出斜边的长．
【解答】
解：绕点逆时针旋转后与重合，
≌，
，
即线段旋转后到，
旋转了，
，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．  

19.【答案】解：是等腰直角三角形，
，
，，，
，，，
，，
，
是等腰直角三角形． 

【解析】根据非负数的性质可得，，，再根据勾股定理的逆定理可得结论．
本题主要考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理等知识，求出、、的值是解题的关键．
 

20.【答案】解：


．
当时，


．
由题意，得，
解得

．
即当时，代数式的值为． 

【解析】先分母有理数，化简，再代入代数式求值；
根据题意先列方程，再求解一元二次方程即可．
本题考查了二次根式、一元二次方程，掌握二次根式的运算法则、一元二次方程的解法是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：反比例函数的图象过，
，
，
正比例函数的图象过点，
，
，
正比例函数为，
把点代入得，，
，
，
函数的图象过点，
，
，
、两点的距离为． 

【解析】由反比例函数求得点的坐标，进而利用待定系数法求得正比例函数的解析式，进一步求得点的坐标，代入即可求得的值，利用勾股定理求得、两点的距离．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，熟知图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

22.【答案】解：设直线的表达式为，
把、的坐标代入得：，
解得：，，
即直线的表达式是；

，
当时，，
即点的坐标为，
解方程组得：，
即点的坐标为，
，
当时，，即，
，
，
，
的面积是． 

【解析】把、的坐标代入函数解析式，即可求出答案；
分别求出、的坐标，根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了两函数的相交问题、一次函数的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，能求出函数的解析式是解此题的关键．
 

23.【答案】解：函数的图象在轴上的截距为，
，
解得；

函数的图象平行于直线，
，
解得；

函数的图象不过第二象限，
，，，
由得，，
由得，，
所以，． 

【解析】截距等于，解方程即可；
根据平行直线的解析式的值相等列式计算即可得解；
根据图象不在第二象限，，列出不等式组求解即可．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系；时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
 

24.【答案】解：点是和的交点，则，
点坐标为，
同理可求出点的坐标为，
轴，
点，
，，，
，
，
若是等腰三角形，
，则，
解得；
，则，
解得；
故的值为或． 

【解析】根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点、、的坐标用表示，再讨论，，即可解题．
本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用表示点、、坐标是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，，
，
，
，
又，
≌，
，
是的中点，
，
；
解：由知，≌，
，
，
即，
，
． 

【解析】根据证明≌得，再根据是的中点，即可得出结论；
根据的结论，结合，即可求出的长．
本题考查了全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

26.【答案】解：三角形纸片折叠，使点与点重合，
，
，，
在中，，即，
；

，，，
，
，
当时，则，
，
，
，即，
，解得，
，
；
当时，则，
，即，解得，
所以或时，是直角三角形． 

【解析】根据折叠的性质得，在中利用勾股定理得，整理后即可得到关于的函数关系式；
根据含度的直角三角形三边的关系得，由折叠的性质得到，然后讨论：当时，则，易得，
则，即，把代入得到关于的方程，解方程求出满足条件的的值；当时，则，即有，即，解方程即可．
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了含度的直角三角形三边的关系以及勾股定理．
 

27.【答案】变小 

【解析】解：在沿方向移动的过程中，观察图象可知，、两点间的距离逐渐变小．
故答案为：变小；

如图中，

，，，
，
，，，
，
当时，，
在中，，，
，
时，；

设，在中，，
当为斜边时，由得，，；
当为斜边时，由得，，；
Ⅲ当为斜边时，由得，，整理得：，方程无解，
由、、Ⅲ得，当或时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形．
通过观察可得结论；
因为，，，所以，又因为，，，所以，连接，设，则可求证，故AD的长可求；
设，则，再分情况讨论：为斜边；为斜边；为斜边．综合分析即可求得的长．
本题属于三角形综合题，考查了平移的性质、勾股定理的应用、锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用的所学知识解决问题，属于中考常考题型．