专题13 不等式选讲-2022年高考真题和模拟题数学分类汇编(解析版)

专题13  不等式选讲

1．【2022年全国甲卷】已知a，b，c均为正数，且，证明：

(1)；

(2)若，则．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据，利用柯西不等式即可得证；

（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.

(1)

证明：由柯西不等式有，

所以，

当且仅当时，取等号，

所以；

(2)

证明：因为，，，，由（1）得，

即，所以，

由权方和不等式知，

当且仅当，即，时取等号，

所以.

2．【2022年全国乙卷】已知a，b，c都是正数，且，证明：

(1)；

(2)；

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）利用三元均值不等式即可证明；

（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．

(1)

证明：因为，，，则，，，

所以，

即，所以，当且仅当，即时取等号．

(2)

证明：因为，，，

所以，，，

所以，，

当且仅当时取等号．

1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））设函数．

(1)求不等式的解集；

(2)设a，b是两个正实数，若函数的最小值为m，且．证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）先去掉绝对值，变为分段函数，再求解不等式的解集；

（2）利用第一问的分段函数得到函数图象，求出函数的最小值，也就是的值，再用柯西不等式进行证明．

(1)

解：由已知得：，

又，所以或或，

解得或或

综上，不等式的解集为；

(2)

解：由（1）可知，所以的函数图象如下所示：

所以当时取值最小值，所以，

即，又、，

由柯西不等式：，

所以，当且仅当时取等号．

2．（2022·云南昆明·模拟预测（理））设a，b，c均为正数，且．

(1)求的最小值；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）依题意可得，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；

（2）利用柯西不等式证明即可；

(1)

解：，，都是正数，且，，

当且仅当即时等号，

即的最小值为；

(2)

证明：由柯西不等式得

即，

故不等式成立，

当且仅当时等号成立；

3．（2022·安徽淮南·二模（文））已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)设函数在上的最小值为m，正数a，b满足，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）讨论和分别求解；

（2）当时，易知函数的最小值为，可得，代入整理得

，再利用基本不等式．

(1)

原不等式可化为

①；②．

解①得；

解②得，

所以原不等式的解集为．

(2)

当时，在上单调递增

所以函数的最小值为，于是即

，

当且仅当时等号成立

即

4．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知

(1)证明：；

(2)已知，，求的最小值，以及取得最小值时的，的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)最小值为， 或

【解析】

【分析】

（1）利用作差法证明不等式；

（2）令代入（1）中不等式可得最小值及取得最小值是值．

(1)

因为

，

所以，当且仅当时取等号．

(2)

由（1）可得，

所以，即，

当且仅当时取等号．

由，解得或．

综上，的最小值为，此时，的值为或．

5．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知函数．

(1)解关于的不等式；

(2)设，的最小值为，若，，，求的最小值．

【答案】(1)

(2)4

【解析】

【分析】

（1）分段讨论去掉绝对值符号，解不等式组可得答案；

（2）根据绝对值三角不等式性质求得，可得，，利用，可得到，解得答案.

(1)

由已知得，可化为

或，即或，

∴解集为；

(2)

，

当时，取“=”，∴的最小值为

∵，，∴，，

∵，∴，

∵，∴，，

∴，

当时取“=”，∴a的最小值为4．

6．（2022·新疆·三模（文））已知.

(1)设的最小值为m，求m的值：

(2)若a，且，求证：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)化简函数解析式，结合函数的单调性求其最小值即可；(2)化简不等式的左边的代数式，利用基本不等式完成证明.

(1)

当时，，此时，

当时，，此时，

当时，，此时，

所以函数的最小值为2，故.

(2)

由(1) ，

（当且仅当时等号成立），

所以

7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））设函数

(1)当时，求不等式的解集；

(2)已知不等式的解集为，，，，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意，分，，三种情况讨论求解即可；

（2）由题知的解集为，进而得，再根据基本不等式求解即可.

(1)

解：当时，，

所以，当时，，解得该不等式无解；

当时，，解得；

当时，，解得.

综上，不等式的解集为

(2)

解：因为不等式的解集为，

所以，的解集为，即的解集为

如图，要使的解集为，则，解得或

因为，，即.

因为，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

8．（2022·河南·模拟预测（文））设不等式的解集为．

(1)求；

(2)若、，且，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出集合；

（2）计算可得，利用基本不等式可求得的最小值.

(1)

解：当时，则有，无解；

当时，则有，解得，此时；

当时，则有，该不等式恒成立，此时.

综上所述，.

(2)

解：由已知可得，，

，

当且仅当时，上述不等式中的等号同时成立，

故的最小值为.

9．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）当时，求得函数的解析式，分段讨论，即可求解；（2）当时，化简函数的解析式，利用单调性，可得，结合题意列出不等式，即可求解.

(1)

当时，函数，

当时，由，可得，解得；

当时，由，可得，解得；

当时，由，可得，此时解集为空集.

综上所述：不等式的解集为：.

(2)

因为，所以函数，根据一次函数单调性可知，

函数在上单调递减，在上单调递增，所以，

由恒成立，得，即，

解得，所以实数的取值范围为：.

10．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若的最小值为k，且实数a，b，c满足.求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）利用零点分段讨论法即可求解；

（2）由绝对值三角不等式可得的最小值，进而有，又，从而利用柯西不等式即可证明.

(1)

解：当时，，所以原不等式即为，解得；

当时，，原不等式即为，解得；

当时，，原不等式即为，解得.

综上，原不等式的解集为.

(2)

解：因为，当且仅当时取等号，

所以，

由柯西不等式可知，

所以（当，，时等号）.

11．（2022·江西赣州·二模（理））不等式对于恒成立．

(1)求证：；

(2)求证：

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）利用绝对值三角不等式可得出，再利用基本不等式可证得结论成立；

（2）利用基本不等式可得出，，，再结合不等式的基本性质可证得结论成立.

(1)

证明：因为对于恒成立，

又因为，所以，

由基本不等式可得，，，

所以，，

所以，所以.

(2)

证明：因为，所以，所以，

同理可得：，，

所以，

所以.

12．（2022·甘肃兰州·一模（理））已知函数．

(1)当时，解关于的不等式；

(2)当时，的最小值为，且正数满足．求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）分别在、和的情况下，去掉绝对值符号，解不等式可得结果；

（2）利用绝对值三角不等式可求得，化简所求式子，利用基本不等式可得结果.

(1)

当时，；

当时，，解得：；

当时，，解集为；

当时，，解得：；

综上所述：不等式的解集为.

(2)

当时，（当且仅当时取等号），，即；

（当且仅当时取等号），

即的最小值为.

13．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数的最小值为2.

(1)求a的取值范围；

(2)若，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据绝对值的三角不等式求解即可；

（2）根据公式法解绝对值不等式即可.

(1)

因为，所以，

又因为，当且仅当时等号成立，

所以a的取值范围是.

(2)

，，

由及得，

即，即或，

解得，又因为，所以a的取值范围是.

14．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））已知函数

(1)求不等式的解集；

(2)若.不等式恒成立，求实数k的取值范围

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用零点分段讨论去掉绝对值符号即可解不等式；

（2）作出函数的大致图象，不等式恒成立转化为函数的图象要在直线的上方，即需直线的斜率大于等于直线的斜率，且小于等于直线的斜率，即可求出答案.

(1)

，

当时，由得；

当时，由得；

当时，恒成立.

因此不等式的解集为

(2)

作出函数的大致图象，如图所示.

根据题意，函数的图象要在直线的上方，即需直线的斜率大于等于直线的斜率，且小于等于直线的斜率

又，

所以k的取值范围是.

15．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知，．

(1)当a＝2时，求不等式的解集；

(2)若函数的最小值为4，求实数a的值．

【答案】(1)

(2)或

【解析】

【分析】

(1)分别在，，条件下化简不等式，求其解集；(2)利用绝对值三角不等式求出函数的最小值的表达式，列方程求a的值．

(1)

当a＝2时，，

当时，，此时解，得；

当时，，此时解，得；

当时，，此时解，得．

综上，不等式的解集为．

(2)

，

当且仅当时等号成立．

由，得或．