专题07 平面向量-2022年高考真题和模拟题数学分类汇编(解析版)

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专题07  平面向量 1．【2022年全国乙卷】已知向量，则（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D2．【2022年全国乙卷】已知向量满足，则（       ）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵，又∵∴9，∴故选：C.3．【2022年新高考1卷】在中，点D在边AB上，．记，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以 ．故选：B．4．【2022年新高考2卷】已知向量，若，则（       ）A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,,即,解得,故选：C5．【2022年北京】在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D6．【2022年全国甲卷】已知向量．若，则______________．【答案】##【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，解得.故答案为：.7．【2022年全国甲卷】设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．【答案】【解析】【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．8．【2022年浙江】设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：则,，设,于是，因为，所以，故的取值范围是.故答案为：．1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy中的三点，，，若向量与在向量方向上的投影相等，则m与n的关系为（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据向量在向量上的投影的定义列式可求出结果.【详解】,,,向量在向量方向上的投影为，向量在向量方向上的投影为，由题意可得，即.故选：A.2．（2022·山东潍坊·三模）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，，则，，三点共线的充要条件是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用向量共线的充要条件有且，即可得答案.【详解】由，，三点共线的充要条件是且，所以，故.故选：C3．（2022·江苏苏州·模拟预测）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据平面共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平面向量的加法的几何意义进行求解即可.【详解】设，，因为所以有，因此，因为，，，所以，故选：B4．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若，，下列正确的是（       ）A． B．C．方向上的投影是 D．【答案】C【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示判断A，根据向量垂直的坐标表示判断BC，根据向量的投影的定义判断C.【详解】由已知，，所以，，因为，所以不平行，A错，因为，所以不垂直，B错，因为方向上的投影为，C对，因为，所以不垂直，D错，故选：C.5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量，满足，，，则与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据数量积的运算律得到，再根据计算可得；【详解】解：因为，，，所以，即，所以，设与的夹角为，则，因为，所以；故选：B6．（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形的边长为，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：，则.故选：A.7．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量，，若与反向共线，则的值为（       ）A．0 B．48 C． D．【答案】C【解析】【分析】由向量反向共线求得，再应用向量线性运算及模长的表示求.【详解】由题意，得，又与反向共线，故，此时，故.故选：C.8．（2022·山东淄博·三模）如图在中，，为中点，，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积；【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，又，，，则，即，即，则，则，，则；故选：C．9．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出，知CD正误.【详解】依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；，C错误；，D正确.故选：D.10．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知均为单位向量，且满足，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】通过向量的线性运算进行化简求值即可.【详解】，同理．故选：B.11．（2022·辽宁沈阳·三模）已知椭圆的两个焦点分别为，点P是椭圆上一点，若的最小值为，则的最大值为（       ）A．4 B．2 C． D．【答案】D【解析】【分析】设，求出焦点坐标，利用向量的坐标运算得出，再根据椭圆的范围利用二次函数求最值即可得解.【详解】设，由可知，，，，，，时，的最小值为，解得.当时，的最大值为.故选：D12．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量满足，则与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出，再利用向量夹角公式计算作答.【详解】由得：，即，解得，因此，，而，解得，所以与的夹角为.故选：B13．（2022·浙江省江山中学模拟预测）在中，E，F分别为的中点，点D是线段（不含端点）内的任意一点，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据向量的线性运算的定义和平面向量基本定理确定的关系和范围.【详解】因为点D是线段（不含端点）内的任意一点，所以可设，因为E，F分别为的中点，所以，所以，又，所以，，，，所以A，B，D错误，C正确，故选：C.14．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知向量，，向量与垂直，则实数的值为（       ）A． B．2 C． D．1【答案】C【解析】【分析】由题得化简即得解.【详解】因为与垂直，所以，所以.故选：C.15．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知不共线的平面向量两两所成的角相等，且，则（       ）A． B．2 C．3 D．2或3【答案】D【解析】【分析】先求出，转化，列方程即可求出.【详解】由不共线的平面向量，，两两所成的角相等，可设为θ，则.设||=m.因为，所以，即，所以即，解得：或3.所以||=2或3故选：D16．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知，，，且，则______．【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示计算可得．【详解】由题意，又，则，故．故答案为：．17．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知向量的夹角为，，，则___________．【答案】【解析】【分析】根据求解即可.【详解】，则，则．故答案为：18．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量，向量，且，则向量的夹角为___________.【答案】##【解析】【分析】由两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量的夹角【详解】因为，所以因为，所以，又，所以，所以，向量的夹角为,则所以，则.故答案为：.19．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形中，，则值为__________．【答案】##2.25【解析】【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有，再由结合数量积运算律，即可得结果.【详解】由题设可得如下图：，而，所以，又，所以，则，故，可得，即.故答案为：20．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设为不共线的向量，满足，且，若，则的最大值为________．【答案】324【解析】【分析】采用建系法，令，将各个点用坐标表示，然后表达出面积的最大值，进而求得的最大值；【详解】令，又因为，即，则点C为的外心，因为，设，不妨取则点在圆上，由，代入坐标，，解得，联立和，解得，故，当且仅当即时取“=”.故，于是.故答案为：324【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．