重庆市七校2021-2022学年高二数学上学期期末试题（Word版附答案）
展开2021-2022学年度第一学期期末七校联考
高二数学试题
命题学校：重庆市合川中学
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
- 答卷前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.
- 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.
- 答非选择题时，必须使用毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上．
- 考试结束后，将答题卷交回．
第I卷（选择题 共60分）
一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案请涂写在机读卡上.
- （原创）若直线与直线互相平行，则（ ）
- B. C. D.
- （原创）双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B. C. D.
- （原创）已知等比数列的前项和为，若，，则的
值为（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
- （原创）已知直线与圆相交于两点，则
弦长的值为（ ）
A. B. C. D.
- （原创）已知圆，圆，则圆与圆
的位置关系是（ ）
Ａ．相离 B．相交 C．内切 D．外切
- （改编）已知数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
- （改编）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家
和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基
米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿
基米德三角形”．若抛物线上任意两点处的切线交于点，则为“阿基
米德三角形”，且当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：
（1）点必在抛物线的准线上；（2）；（3）．若经过抛物线
的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点在直线上，则直线的方程为（ ）
- B. C. D.
- （改编）已知圆与轴的交点分别为点是直线上的任意
一点，椭圆以为焦点且过点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
- B. C. D.
二、多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
- （原创）下列说法中，正确的是（ ）
- 直线在轴上的截距是3
- 直线的倾斜角为
- 三点共线
- 直线与垂直
- （改编）已知递减的等差数列的前项和为，，则（ ）
- B. C. D. 最大
- （改编）已知两点，若直线上存在点，使得，则
称该直线为“点定差直线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（ ）
A． B． C． D．
12.（改编）在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的有（ ）
A．直线平面
B．三棱锥体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最小值为
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中的横线上.
- （原创）若，则的值为 .
- （改编）中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，
月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入
25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第10月营收贯数为 .
- （原创）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为
平面内一定点，则的最小值为 .
- （改编）已知抛物线的焦点与双曲线的左焦点
相同，为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，
的中点为，若，且直线的斜率为，则 ，双曲线的离心率为 .（本题第一空为2分，第二空为3分）
四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.）
- （原创）（本小题满分10分）已知公差不为零的等差数列中，为其前项和，
，成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.
- （原创）（本小题满分12分）已知圆以直线和的交点为
圆心，且过点.
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）若过点的直线与圆相切，求直线的方程.
- （改编）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，
， ，底面，，，
为中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
- （改编）（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点到准线的距离与双曲线的离心率相等.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点在抛物线上，过作抛物线的两弦与，若两弦所在直线的斜率之积为，求证：直线过定点.
- （改编）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面
是直角梯形，，点在上，
且，点在上，且.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值；
（III）在第（Ⅱ）问条件下，线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
22.（改编）（本小题满分12分）设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们斜率之积为.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）若斜率为(其中)的直线过点，且与曲线交于点，弦的中点为，为坐标原点，直线与曲线交于点，求四边形的面积的取值范围.
2021-2022学年度第一学期期末七校联考高二数学试题参考答案
一、选择题
题号 | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ | ８ | ９ | １０ | １１ | １２ |
答案 | Ｂ | Ｄ | Ｃ | Ａ | Ｄ | Ｃ | Ａ | Ａ | ＢＣ | ＡＣＤ | ＡＤ | ＡＢＤ |
二、填空题
13、 4 14、 60 15、 3 16、 4 ；
三、解答题
- 解（Ⅰ）由，有 ① .......................................1分
又，有 ② .......................................2分
又因为公差不为零，由①②解得 ， .......................................4分
从而. .......................................5分
（Ⅱ）由已知， .......................................7分
.......................................8分
.......................................10分
- 解（Ⅰ）由 ， 得圆心. .......................................2分
又圆过点，则，. .....................................4分
从而圆的标准方程为 .....................................5分
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，此时与圆相切，则直线的方程为.
.......................................7分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
由已知，圆心到直线的距离，解得
.......................................10分
则直线的方程为. .......................................11分
综上所述，直线的方程为或 .......................................12分
19.（Ⅰ）证明：取线段的中点，连接､.
因为在中，，且，
.......................................2分
所以，所以四边形是平行四边形，
.......................................4分
所以，又平面平面，
所以平面. .......................................5分
（Ⅱ）因为，所以.
因为平面平面，
所以.
所以､､两两垂直，
所以以为原点，､､所在直线
分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系 ........................................6分
设平面的法向量为，，，，，
则，从而有
令，得，所以. ......................................9分
又，则 ...............................11分
所以点到平面的距离为. ......................................12分
（注：本小问用等体积法求解也可.）
20.（Ⅰ）由已知，双曲线的离心率 ......................................1分
则 .....................................2分
所以抛物线的方程为 . .....................................3分
（Ⅱ）因为点在上，则，从而. .....................................4分
设点，显然直线的斜率不为0. .....................................5分
设直线，由， 有
所以，， .....................................6分
因为，则. .....................................7分
又因为在抛物线上，所以则，
所以，即 .....................................10分
从而，即. .....................................11分
即直线，即，所以直线过定点.
.....................................12分
- （Ⅰ）由，即△为等腰直角三角形，
又是直角梯形且，且，
所以，因为，故为等腰直角三角形，
所以，，，
又，，∴，，
又，即，∴四边形为平行四边形，则.
又，故， .....................................2分
由底面，面，则. .....................................3分
又，∴面，
而面，∴平面平面. ....................................4分
（Ⅱ）直线与平面所成角的平面角为，
则，. ....................................5分
如下图，以为原点，､､所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐
标系.
∴，，
∴，
若是面的一个法向量，
则，
令有， ....................................7分
易知，是面的一个法向量，
∴. 又二面角为锐二面角，
∴当直线与平面所成的角为时，二面角的余弦值为.
....................................9分
（III）在第（Ⅱ）问条件下，线段上不存在点，使得平面，理由如下：
，是面的一个法向量.
....................................10分
设，则，
从而.
若平面，则，解得，不合题意，
所以线段上不存在点，使得平面. ....................................12分
- （Ⅰ）设，则，从而有. ...................1分
化简得， ....................................2分
又因为，所以点的轨迹方程为
....................................3分
（Ⅱ）由消，得
设，则，恒成立.
....................................5分
则， ....................................6分
由 得
所以，则.
由得，即为两点的坐标. ...................................8分
所以点到直线的距离之和为
=2，
...................................10分
则=××
=
又因为，故的取值范围为. ...................................12分
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