2021-2022学年河北省承德市平泉市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年河北省承德市平泉市八年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中具有稳定性的是有(    )
    

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，当时，的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则下列说法正确的是(    )

A. 另两条边长都为 B. 另两条边长分别为和
C. 另两条边长都为 D. 另两条边长分别为和

6. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列多项式能用完全平方公式分解因式的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，平分，，，垂足分别为，下列结论中不一定成立的是(    )

A.  B. 平分
C. 垂直平分 D.

9. 等于(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，，点是斜梁的中点，立柱，，垂直于横梁，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

11. 下列分式从左到右的变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知锐角，按如下步骤作图如图：
    在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接；
    分别以点、为圆心，长为半径作弧，交弧于点、；
    连接、根据以上作图过程及所作图形，小明同学得到下列结论：
    ；
    若，则；
    ；
    ；
    正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

13. 数学课上，老师让计算佳佳的解答如下：
    解：原式
    
    对佳佳的每一步运算，依据错误的是(    )

A. ：同分母分式的加减法法则 B. ：合并同类项法则
C. ：提公因式法 D. ：等式的基本性质

14. 如图，下列说法中错误的是(    )

A. 不是的外角
B. 是的外角
C.
D.

15. 某厂接到加工件衣服的订单，每天做件正好按时完成，后因客户要求提前天交货，设每天应多做件，则应满足的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

16. 如图，，点在上，且，按下列要求画图：以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）

17. 已知：．
    对上式进行化简，得______；
    若，则______．
18. 如图，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小相同的小长方形，然后拼成如图的一个大正方形．
    
    若图中大长方形的长为，宽为，则图中小正方形阴影部分的面积______；
    若图中大长方形的长为，宽为，则图中小正方形阴影部分的面积______用含、的式子表示．
19. 如图，在中，，、是内的两点，平分，．
    延长交于，的形状为______填“等腰三角形”、“等边三角形”或“直角三角形”；
    若，，则______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    如图，在图形内部求作一点，使点到两边、的距离相等，且点到点、的距离相等．保留作图痕迹，不写作法
    
    如图，为钝角三角形．
    作中边上的高；保留作图痕迹，不写作法
    若，，，求的面积．
21. 本小题分
    计算：；
    化简：；
    解方程：．
22. 本小题分
    如图，在长度为个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上．
    建立适当的平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，并写出点的坐标；
    在图中作出关于轴对称的；
    求的面积．

23. 本小题分
    发现任意两个连续奇数的平方差是的倍数．
    验证：
    的结果是的几倍？
    设为整数，写出两个连续奇数的平方差，并说明是的倍数．
    延伸任意两个连续偶数的平方差能否被整除，请说明理由．
24. 本小题分
    如图，，为线段上的两个动点，，且，，交于点．
    
    现有甲、乙、丙、丁四个结论：
    甲：点是的中点；
    乙：点是的中点；
    丙：点是的中点；
    丁：．
    正确的结论是______；
    请选择一个你认为正确的结论进行证明；
    当点，移动至如图所示的位置时，其余条件不变，中四个结论正确的是______．
25. 本小题分
    某公司计划购买，两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等．
    求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
    该公司计划采购，两种型号的机器人共台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型号机器人多少台？
26. 本小题分
    如图，如图在平面直角坐标中，点和点的坐标分别为和，点为轴上点右侧的任意一点，以为腰向右上方作等腰，使，，直线与轴交于点．
    求证：；
    求证：≌；
    直接写出当点运动时，点在轴上的位置是否发生改变？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据指数幂的定义直接解答即可．
本题考查了指数幂，要知道，任何非数的次幂为．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
显然两个图形具有稳定性，而中含有四边形，不具有稳定性．
故选：．
根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
本题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，正确，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
选项A与选项B根据幂的乘方运算法则判断；选项C根据同底数幂的乘法法则判断；选项D根据积的乘方运算法则判断．
本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，得且，
解得且．
所以符合题意．
故选：．
分式的值为零时，分子且分母，据此解答．
本题主要考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
 

5.【答案】 

【解析】解：当腰长是时，另外两边分别是，，因为，所以不符合三角形三边关系，舍去；
当底边是时，另外两边是，，因为符合三角形三边关系，故此时另两边长都为．
故选：．
题中没有指明长为的边长是腰还是底，则分两种情况进行分析，还应验证是否满足三角形的三边关系．
本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用，注意分情况进行讨论是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
    本题考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可完全重合．根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】

解：不是轴对称图形，故本选项错误；
B.不是轴对称图形，故本选项错误；
C.不是轴对称图形，故本选项错误；
D.是轴对称图形，故本选项正确．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用完全平方公式的结构特征：判断即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：平分，，，
，故A选项正确；
在和中，
，
≌，
，，故B，选项正确；
，
，故选项D正确；
由等腰三角形三线合一的性质，垂直平分，不一定垂直平分，故C选项错误；
即不一定成立的是选项C，
故选：．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，全等三角形对应边相等可得．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出两三角形全等是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：



，
故选：．
将原式变形为，再运用平方差公式和完全平方公式进行求解．
此题考查了运用平方差公式和完全平方公式进行整式求值的能力，关键是能准确理解并变形运用该知识．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
点是斜梁的中点，
，
，
，
，
故选：．
先利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理可得，再利用线段中点的定义可得，然后根据垂直定义可得，从而在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，，
由作法得，
，所以正确；
，
当时，为等边三角形，
，
，所以正确；
，
，
，所以正确；
，
，所以错误．
故选：．
连接，，由作法得，则根据圆周角、弧、弦的关系可对进行判断；当时，为等边三角形，则，于是根据圆周角、弧、弦的关系可对进行判断；根据圆周角定理直接对进行判断；根据两点之间线段最短可对进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理．
 

13.【答案】 

【解析】解：的每个步骤的依据均正确，的依据应该是分式的基本性质，
故选：．
利用相关法则和性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了分式的加减法法则，明确分式约分的依据为分式的基本性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：、不是的外角，正确；
B、是的外角，正确；
C、，错误；
D、，正确；
故选：．
根据三角形的外角性质解答即可．
此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：因客户的要求每天的工作效率应该为：件，所用的时间为：，
根据“因客户要求提前天交货”，用原有完成时间减去提前完成时间，
可以列出方程：．
故选：．
本题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前天”找到等量关系，然后列出方程．
此题考查分式方程问题，这道题的等量关系比较明确，直接分析题目中的重点语句即可得知，再利用等量关系列出方程．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，，
则，，，
，
，，，，，
由题意，
解得，
由于为整数，故，可以画条线段，．
故选：．
根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得的度数，的度数，的度数，的度数，，依此得到规律，再根据即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等知识，根据规律列出不等式是解题的关键．
 

17.【答案】  

【解析】解：原式，
，
故答案为：．
当时，
，
故答案为：．
根据分式的加减运算法则即可求出答案．
将的值代入原式即可求出答案．
本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：图中小正方形阴影部分的面积，
故答案为：；
图中小正方形阴影部分的面积，
故答案为：．
由图可知图中阴影部分的边长等于小长方形的长与宽的差，据此即可求解．
本题考查了多项式的乘法与图形面积，理解题意是解题的关键．
 

19.【答案】等边三角形   

【解析】解：如图，

，
，
，
为等边三角形；
故答案为：等边三角形；
如图，延长交于，
为等边三角形，

，
，
，
，平分，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据三角形的内角和定理和等边三角形的判定可得结论；
作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出和的长，从而得出的长，进而求出答案．
此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定，掌握各自性质和判定是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：如图，点为所作；
如图，为所作；

为边上的高，
，
在中，，
，
的面积． 

【解析】作的平分线和的垂直平分线，它们的交点即为点；
过点作的垂线即可；
先根据含度角的直角三角形三边的关系计算出，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
 

21.【答案】解：原式
；


；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为． 

【解析】直接利用单项式乘多项式、合并同类项法则分别化简计算得出答案；
直接利用分式除法运算法则化简即可；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，解分式方程，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

22.【答案】解：如图所示：点坐标为：；
如图所示：，即为所求；
． 

【解析】根据，点坐标得出平面直角坐标系，进而得出点坐标；
直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
利用割补法即可求得三角形的面积．
此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
的结果是的倍；
设任意两个连续奇数为，，
则它们的平方差为：


，
，为整数，
两个连续奇数的平方差是的倍数．
设任意两个连续偶数为，，
则它们的平方差为：


，
，
任意两个连续偶数的平方差不一定被整除． 

【解析】根据平方差公式计算即可得到答案；
设任意两个连续奇数为，，根据平方差公式进行计算即可求解．
设任意两个连续偶数为，，根据平方差公式进行计算即可求解．
本题考查因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题关键．
 

24.【答案】甲、乙、丙、丁  甲、乙、丙、丁 

【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
，，
点是的中点，点是的中点，
，
，
点是的中点，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：甲、乙、丙、丁；
，
，
在和中，
，
≌，
，，
点是的中点，点是的中点，
，
，
点是的中点，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：甲、乙、丙、丁．
由“”可证≌，可得，，，由“”可证≌，可得，可证；
由“”可证≌，可得，，，由“”可证≌，可得，可证．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的解．
当时，．
答：型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料；

设购进型机器人台，则购进型机器人台，
根据题意，得，
解得．
是整数，
的最小值是．
答：至少购进型机器人台． 

【解析】设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料，根据型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同建立方程求出其解就可以得出结论．
设购进型机器人台，根据每小时搬运材料不得少于列出不等式并解答．
本题考查了分式方程的运用，一元一次不等式的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．
 

26.【答案】证明：如图，作于点，

，，
，，
，
在与中，
，
≌，
；
证明：，
，即，
在与中，
，
≌；
解：点在轴上的位置不发生改变．
理由：设，
由知≌，
，
，为定值，
又，
长度不变，
点在轴上的位置不发生改变． 

【解析】作于点，由定理得出≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；
先根据，得出，再由定理即可得出≌；
设，由全等三角形的性质可得出，故为定值，再由，可知的长度不变，故可得出结论．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．