2021-2022学年河南省新乡市封丘县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省新乡市封丘县八年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四个数中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 把分解因式，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图，在中，，，以，为边作正方形，这两个正方形的面积和为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图是近几年国庆假期国内旅游人均消费的折线统计图，相邻的两年中，人均消费相差最大的是(    )

A. 到 B. 到 C. 到 D. 到

5. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，为等边三角形，延长到点，使延长到点，使连接，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在的方格图中，每个小方格的边长都为，则与的关系是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 下列命题是真命题的是(    )
   两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
   有两个角为的三角形一定是等边三角形；
   全等三角形的对应边相等、对应角相等；
   等腰三角形的角平分线，高线，中线相互重合．

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线，交边于点若，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，为边上一点，于点，于点，的垂直平分线分别交，于点，若，则下列结论：平分；；；≌其中正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 计算：______．
12. 在一个不透明的盒子里装有红球、白球共个，这些球除颜色外完全相同．通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则盒子中白球的个数约为______．
13. 已知，，是的三边的长，且满足，则的形状为______三角形．
14. 如图，在中，，，点为内一点，延长至点，使，连接，若，则的度数是______．

15. 如图，在正方形中，点从点出发，沿运动到点，点是边的中点，连接，，当为直角三角形时，的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

16. 按要求完成下列各题：
    分解因式：；
    计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
    如图，数轴上点，关于点成中心对称，若点表示的数是，点表示的数是．
    
    填空：线段的长是______，点表示的数为______；
    点表示的数为，的小数部分为，求的值．
19. 本小题分
    随着双减政策的落实，同学们的家庭作业减少了．为了解同学们完成家庭作业需要的时间，某校数学兴趣小组随机调查了部分学生问卷调查的内容如图所示，并根据调查结果绘制了如图所示的尚不完整的统计图．
    
    本次接受调查的学生共有______人；
    请补全条形统计图；
    求被调查的学生中，完成家庭作业时间不超过分钟的学生人数占总调查人数的百分比．
20. 本小题分
    如图，在中，，点，分别在边，上，，，相交于点，求证：．

21. 本小题分
    如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，甲蚂蚁从点出发，沿，，三个面走最短路径到点；同时，乙蚂蚁以相同的速度从点出发，沿，两个面走最短路径到点请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？

22. 本小题分
    如图，在正方形中，动点，分别在边，上，点从点出发沿边以的速度向点运动，同时点从点出发沿边以的速度向点运动当点到达点时，点也随之停止运动，连接问：在边上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与全等？若存在，求出两三角形全等时的长；若不存在，请说明理由．

23. 本小题分
    性质探究
    某校八年级数学兴趣小组在一次活动中，对直角三角形斜边上的中线的性质做了探究，经过大量的作图、测量、比较，得到这样的猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．小明同学还利用学过的知识进行了如下证明．
    已知：如图，在中，，为斜边上的．
    求证：______．
    
    证明：过点作，交的延长线于点．
    ，
    ，．
    是边上的中线，
    ．
    ≌．
    ，．
    
    填空，并写出该证明的剩余部分；
    运用拓展
    如图，在中，，，为的中点．是外一动点，，连接当时，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．为整数，不是无理数，不合题意；
B.为分数，不是无理数，不合题意；
C.是无理数，符合题意；
D.为有限小数，不是无理数，不合题意；
故选：．
无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
本题主要考查了无理数，判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用平方差公式因式分解，第一个数为，第二个数为．
本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：为直角三角形，
阴影部分的面积和为．
故选：．
根据勾股定理得出这两个正方形的面积和等于的平方解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据这两个正方形的面积和等于的平方解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：由折线统计图中信息可知，到年人均消费相差最大．
故选：．
根据折线图可得到年人均消费相差最大．
此题主要考查了折线统计图，关键是掌握折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
 

5.【答案】 

【解析】解：，根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”知，符合题意；
，根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”知，不符合题意；
，根据“积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”知，不符合题意；
，根据完全平方公式知，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式可进行判断．
本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式，关键是依据法则计算，注意符号．
 

6.【答案】 

【解析】解为等边三角形，
，．
，
．
．
同理，．
．
故选：．
由等边三角形的性质可得，，结合已知条件可求得，进而可求解的度数．
本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，求解，的度数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，
在与中，
，
≌，
．
，
．
故选：．
根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题；
有两个角为的三角形一定是等边三角形，是真命题；
全等三角形的对应边相等对应角相等，是真命题；
等腰三角形的顶角的角平分线，底边上的高线、中线相互重合，原命题是假命题．
故选：．
根据平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的性质求解判断即可．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作法得，于，
，
如图，连接，
在中，，
，
，
．
故选：．
利用基本作图得到，于，则根据等腰三角形的性质得到，如图，连接，接着利用勾股定理计算出，则可计算出，从而得到的长，然后计算即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，
平分所以正确；
垂直平分，
所以正确；
平分，
．
，，
，
所以正确；
，
而与的大小关系不能确定，
与的大小关系不能确定，所以不能判断≌，所以错误．
故选：．
根据角平分线的性质定理可对进行判断；根据线段的垂直平分线的性质可对进行判断；通过证明可对进行判断；由于，则，由于与的大小关系不能确定，所以与的大小关系不能确定，则根据全等三角形的判定方法可对进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：
故答案为：．
首先计算开方，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意，得．
故答案为．
用球的总个数乘以摸出白球频率的稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

13.【答案】等边 

【解析】解：，
，
，
且，
，
的形状为等边三角形．
故答案为：等边．
运用完全平方公式将等式化简，可求，则是等边三角形．
本题考查了因式分解的应用，整式的混合运算，熟练运用完全平方公式解决问题是本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
利用判定≌，根据全等三角形的性质得到，再根据等腰三角形的性质、三角形外角性质及三角形内角和求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用判定≌是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：根据题意，可知，，．
当时，
如图：

设，则有．
，，，
．
解得．
如图，

当时，
可知，所以．
故答案为或．
根据正方形的性质，分两种情况解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和勾股定理解答．
 

16.【答案】解：原式．
原式． 

【解析】利用提公因式法和公式法进行分解即可．
根据积的乘方、单项式乘单项式，单项式除单项式法则计算即可．
本题考查因式分解和整式的混合运算，解题关键是熟知因式分解的常用方法，以及积的乘方、单项式乘单项式，单项式除单项式法则．
 

17.【答案】解：原式
，
当时，
原式


． 

【解析】直接利用乘法公式、单项式乘多项式运算法则分别化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
 

18.【答案】  

【解析】解：点表示的数是，点表示的数是，
．
点，关于点成中心对称，
，
点表示的数是．
故答案为：，；
由得，点表示的数是，
，，
．
根据两点间的距离公式可得的长，根据对称可得，可知点表示的数；
由题意可得，，再代入可得的值．
本题考查了实数与数轴，两点间的距离，根据题意得到是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：本次接受调查的学生共有：人，
故答案为：．
组人数为：人，
补全条形统计图如下：

．
答：完成家庭作业时间不超过分钟的学生人数占总调查人数的百分比为．
用组的人数除以组所占比例即可求出调查人数；
用总人数分别减去其它四组人数，可得出组人数，即可补全条形统计图；
用分别减去、两组的比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即，
． 

【解析】根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，即可利用证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据角的和差得到，即可判定．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明≌是解题的关键．
 

21.【答案】解析展开，，与在同一平面内，如图所示．
由题意可知，甲蚂蚁走的路径为，．
乙蚂蚁走的路径为，．
因为，
所以，故乙蚂蚁先到达目的地． 

【解析】将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长．
此题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，熟练求出的长是解本题的关键．
 

22.【答案】解：存在．设运动时间为．
则，，．
四边形是正方形，
．
当≌时，．
．
．
．
当≌时，．
．
．
．
综上所述，在边上存在一点，使得以，，为顶点的三角形与全等，此时的长为或． 

【解析】分两种情况讨论，由全等三角形的性质列出等式，可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】证明：，
．
，
．
，，
≌．
．
．
故答案为：；

解：如图，当点位于边上方时，过点作于点．

．
．
，，
．
，
．
．
，
取正值．
．
．

如图，当点位于边下方时，过点作于点．

同法可得，
．
综上所述，的值为或．
写出已知，求证，倍长中线，利用全等三角形的判定和性质解决问题即可；
分两种情形：如图，当点位于边上方时，过点作于点如图，当点位于边下方时，过点作于点分别求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．