2021-2022学年广东省惠州市惠城区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省惠州市惠城区九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 对于二次函数，下列说法中正确的是(    )

A. 图象的开口向下 B. 函数的最小值为
C. 图象的对称轴为直线 D. 图象的顶点坐标是

4. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有个．(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是(    )
    

A.  B.  C.  D.

6. 若正三角形的周长为，则这个正三角形的边心距为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图所示，的内切圆与、、分别相切于点、、，若，则的度数是(    )
    

A.
B.
C.
D.

9. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，二次函数的图象经过点，其对称轴是直线，直线恰好经过顶点．有下列判断：当时，随增大而减小； ； ； 方程的两个根是，；当时，方程有实数根．其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 已知点与点关于原点对称，则______．
12. 二次函数的图象向右平移个单位长度后，再向上平移个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为______．
13. 若关于的一元二次方程为的解是，则的值______．
14. 点在第三象限，则反比例函数的图象在第______象限．
15. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率与加工时间单位：满足函数表达式，则最佳加工时间为______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，点是反比例函数的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是______ ．

17. 如图，在扇形中，，平分交弧于点点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    解方程：．
19. 本小题分
    有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有张卡片，卡片上分别写着、、；乙盒子中装有张卡片，卡片上分别写着、、、；盒子外有一张写着的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度．
    请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；
    求这三条线段能组成直角三角形的概率．
20. 本小题分
    如图，方格纸的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上．
    画出关于原点对称的；
    画出向上平移个单位后的，并求出平移过程中扫过的面积．

21. 本小题分
    某汽车销售公司月份销售新上市一种新型低能耗汽车辆，由于该型汽车的优越的经济适用性，销量快速上升，月份该公司销售该型汽车达辆．
    求该公司销售该型汽车月份和月份的平均增长率；
    该型汽车每辆的进价为万元；且销售辆汽车，汽车厂返利销售公司万元辆，该公司的该型车售价为万元辆，若使月份每辆车盈利不低于万元，那么该公司月份至少需要销售该型汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？盈利销售利润返利
22. 本小题分
    如图，在正方形内有一点，且，，若将绕点逆时针旋转后，得到．
    求求的长；
    度数．

23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．
    
    求一次函数和反比例函数的表达式；
    求面积的最大值．
24. 本小题分
    如图，内接于，是直径，过点作直线，且．
    求证：是的切线．
    设是弧的中点，连结交于点，过点作于点，交于点．
    求证：．
    若，，试求的长．

25. 本小题分
    如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，与轴交于、两点点在点的右侧，点是该抛物线上一动点，从点沿抛物线向点运动点与不重合，过点作轴，交于点．
    求该抛物线的函数关系式；
    当是直角三角形时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
解得．
故选：．
根据根的判别式，令即可求出根的判别式．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

3.【答案】 

【解析】解：二次函数，，
该函数的图象开口向上，故选项A错误，
函数的最小值是，故选项B正确，
图象的对称轴是直线，故选项C错误，
顶点坐标为，故选项D错误．
故选：．
根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：设袋子中有黑球个，
通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，
，
解得：个，
经检验是原方程的解，
故选：．
设袋子中有黑球个，根据摸到白球的频率列式计算即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了旋转的性质和含角的直角三角形，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段与已知线段的长度联系起来求解的．由直角三角形的性质得到，然后根据旋转的性质和等腰三角形的判定得到．
【解答】
解：在中，，，，
，则．
又由旋转的性质知，，，
是的中垂线，
．
根据旋转的性质知．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：如图，
连接，作．
，平分，
，
在中，，
设，则．
又正三角形的周长为，
，
．
根据勾股定理，，
解得．
本题选B．
先求出三角形的边长，作出正三角形，再根据勾股定理求出正三角形的边心距．
解答此题要注意以下几点：
弄清题意并根据题意画出正三角形，作出其半径和边心距，构造直角三角形；
设出未知数，利用勾股定理列出方程解答．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论．
【解答】
解：点、、在反比例函数的图象上，
，，，
又，

故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：连接，，则．
由圆周角定理知，，
．
故选B．
连接、；由圆周角定理可求得的度数；在四边形中，，因此和互补，由此可求出的度数．
本题考查了切线的性质、圆周角定理、四边形的内角和等知识．
 

9.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
又，即，
代入得，
即，
．
故选：．
因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式，又，即，代入得，化简即可得到与的关系．
一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象知，当时，随增大而增大，故错误；
抛物线开口方向向下，则，
抛物线与轴交于正半轴，则，
所以，故正确；
由题意知，当时，，
所以，故错误；
由题意知，抛物线与轴的另一交点与点关于直线对称，则该抛物线与轴的另一交点坐标是，所以方程的两个根是，，故正确；
由题意知，当时，直线与抛物线有交点，所以，方程有实数根，故正确．
综上所述，正确的结论是：．
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求抛物线与轴的两个交点坐标，以及二次函数与方程之间的转换．
 

11.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
，．
，
故答案为：．
两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，据此可得，的值，进而得到的值．
本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，正确记忆两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数是本题解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：将二次函数的图象向右平移个单位长度后，再向上平移个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为，即．
故答案为：．
直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

13.【答案】 

【解析】解：把代入得，
所以，
所以．
故答案为：．
先利用一元二次方程的解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的含义是解题关键．
 

14.【答案】二、四 

【解析】解：点在第三象限，
，
解得，
，
反比例函数的图象在第二、四象限．
故答案为：二、四．
根据第三象限点的坐标特征求得的取值范围，进一步得到的取值范围，再根据反比例函数的性质即可求解．
考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象，关键是得到的取值范围．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意：，
当时，取得最大值，
则最佳加工时间为．
故答案为：．
根据二次函数的性质可得．
本题主要考查二次函数的应用，会利用二次函数的性质求最值问题是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：把代入得，解得或，
点在第一象限，
，
点坐标为，
正方形的面积，
图中阴影部分的面积．
故答案为．
先利用反比例函数解析式确定点坐标为，由于正方形的中心在原点，则正方形的面积为，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的．
本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：二、四象限的角平分线；一、三象限的角平分线；对称中心是：坐标原点．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、，
此时最小，即：，
由题意得，，
，
，
的长，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：．
利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧的长与的长度和，分别进行计算即可．
本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
 

18.【答案】解：，
因式分解得，
可得或，
解得，． 

【解析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
本题考查因式分解法解一元二次方程．
 

19.【答案】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，这三条线段能组成三角形的有种情况，
这三条线段能组成三角形的概率为：；

这三条线段能组成直角三角形的只有：，，；
这三条线段能组成直角三角形的概率为：． 

【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这三条线段能组成三角形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；
首先由树状图求得这三条线段能组成直角三角形的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作，扫过的面积．
 

【解析】根据关于原点对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和平移的性质画出、、的对应点、、，然后计算一个矩形的面积加上的面积得到扫过的面积．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

21.【答案】解：设该公司销售该型汽车月份和月份的平均增长率为，
根据题意列方程：，
解得不合题意，舍去，．
答：该公司销售该型汽车月份和月份的平均增长率为．
由题意得：，
解得：，
为整数，
该公司月份至少需要销售该型汽车辆，
万元．
答：该公司月份至少需要销售该型汽车辆，此时总盈利至少是万元． 

【解析】本题主要考查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确列出方程是解决问题的关键．
设该公司销售该型汽车月份和月份的平均增长率为等量关系为：月份的销售量增长率月份的销售量，把相关数值代入求解即可．
根据月份每辆车盈利不低于万元，得到销售汽车辆数的范围，根据整数的性质得到该公司月份至少需要销售该型汽车多少辆，再根据盈利销售利润返利，列出算式即可得到答案．
 

22.【答案】解：如图，将绕点逆时针旋转，得，连结，
则≌．

，，
在中，
，，
，
，；
在中，，，，
，
即．
是直角三角形，
即 ，
．
． 

【解析】将绕点逆时针旋转，得，则≌连结，在中利用勾股定理即可求出的长；
根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可推出结果．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：把、代入一次函数得，
，解得，，
一次函数的关系式为，
当时，，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
即一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为；
点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，
点，点，
，
，
当时，最大，
即面积的最大值是． 

【解析】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是求函数关系式的常用方法，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解，是解决问题的基本思路．
由、的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点的坐标，确定反比例函数的关系式；
根据题意，要使三角形的面积最大，可用点的横坐标，表示三角形的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可．
 

24.【答案】证明：是直径，
，
；
，
，即，
是的切线；

证明：是弧的中点，
，
是直径，
，
，
，
，
，
；

解：连接、，作，交的延长线于点．

，，，
，
在与中，
，
≌，
，
是弧的中点，
，
在与中，
，
≌．
．
，即，
． 

【解析】由为直径知，由可证得，则结论得证；
证明即可．；因为是弧的中点，所以则问题得证；
连接、，作，交的延长线于点．证明≌，可得根据可求出答案．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线来构造全等三角形是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线的顶点为，
可设顶点式，
将代入顶点式，得，
解得：，
，即．
分两种情况：
当点为直角顶点时，点与点重合如下图，
令，得，
解得，，
点在点的右边，
，，
．
解：当点为的直角顶点时如下图，
，，
，
当时，，
平分，

又轴，
，
、关于轴对称，
设直线的函数关系式为，
将，代入上式得，
解得，
直线的函数关系式为，
在上，在上，
设，，
，
即，
解得，舍，
当时，，
的坐标为抛物线顶点，
综上所述，点坐标为，． 

【解析】根据顶点坐标设出顶点式，再将点坐标代入即可．
由于轴，所以，若是直角三角形，可考虑两种情况：
以点为直角顶点，此时，此时点位于轴上即与点重合，由此可求出点的坐标；
以点为直角顶点，易知，则，所以平分，那么此时、关于轴对称，可求出直线的解析式，然后设、的横坐标，根据抛物线和直线的解析式表示出、的纵坐标，由于两点关于轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出点的坐标．
此题主要考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定等重要知识点，会用分类讨论的数学思想分析问题是解题的关键．