2021-2022学年广西北海市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年广西北海市九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程属于一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若反比例函数的图象经过点，则该函数的图象不经过的点是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 用配方法解一元二次方程，方程可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示：中，，，，则的值为(    )
    

A.  B.  C.  D.

6. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比：，则是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 某校九年级进行了三次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁四名同学成绩的方差分别为，，，，那么这四名同学数学成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

8. 定义运算：例如：，则方程的根的情况为(    )

A. 无实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根

9. 某地区为了估计该地区梅花鹿的数量，先捕捉了只梅花鹿给它们做上标记，然后放走，待有标记的梅花鹿完全混合于鹿群后，第二次捕捉只梅花鹿，发现其中只有标记，从而估计这个地区的梅花鹿约有只．(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平行四边形中，为的中点，的面积为，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 年是中国共产党建党周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”的主题教育学习活动，某市革命纪念馆成为重要的活动基地，据了解，今年月份该基地接待参观人数万人，月份接待参观人数增加到万人，设这两个月参观人数的月平均增长率为，则下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 如图，在中，两直角边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点逆时针旋转后得到若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 已知，，，是成比例线段，若，，，则______．
14. 计算：______．
15. 某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则这个函数的表达式为______．

16. 如图，路灯距离地面米，身高米的小明站在距离灯的底部点米的处，则小明的影子长为______米．

17. 若等腰三角形不是等边三角形的边长刚好是方程的解，则此三角形的周长是______．
18. 如图，四边形中，，，，，是上一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解下列方程：
    ；
    ．
20. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度，三个顶点坐标分别为，，．
    作出向下平移个单位长度得到的，并写出点的坐标；
    以点为位似中心，在网格内将放大为原图形的倍，得到，并写出点的坐标．

21. 本小题分
    如图所示，小明在家里楼顶上的点处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点处看电梯楼顶部点处的仰角为，在点处看这栋电梯楼底部点处的俯角为，两栋楼之间的距离为，求电梯楼的高．结果保留根号
     
22. 本小题分
    如图，已知∽，，，，，．
    求的度数；
    求的长．

23. 本小题分
    垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染，美化家园，甚至能够变废为宝，节约能源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织了“垃圾分类”知识竞赛，根据竞赛结果，抽取了名学生的成绩满分为分，大于等于分为优秀进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表：
    名学生知识竞赛成绩的频数表

请结合图表解决下列问题：
频数表中，______，______，请将频数分布直方图补充完整；
若该校共有名学生，请估计本次“垃圾分类”知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．

24. 本小题分
    如图，小华要为一个长分米，宽分米的长方形防疫科普电子小报四周添加一个边框，要求边框的上下左右宽度相等，且边框面积与电子小报内容所占面积相等．求小华添加的边框的宽度．

25. 本小题分
    如图，在中，，高，作矩形，使得，分别落在，边上，，落在边上，交于点．
    当时，求的长；
    当为何值时，矩形的面积为？

26. 本小题分
    如图，直线与双曲线交于，两点，已知点的横坐标为，点的纵坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，．
    求双曲线和直线的解析式；
    若点是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标；
    若点在轴的负半轴上，是否存在以点，，为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、方程含有两个未知数，故本选项不符合题意；
B、方程含有两个未知数，故本选项不符合题意；
C、不是整式方程，故本选项不符合题意；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：．
一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
 

2.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
只需把各点横纵坐标相乘，不是的，该函数的图象就不经过此点，
四个选项中只有不符合．
故选：．
先把代入反比例函数的解析式求出，再把所给点的横纵坐标相乘，结果不是的，该函数的图象就不经过此点．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，根据勾股定理得，，
．
故选C．

利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边解答即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，作出图形更形象直观．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可．
本题考查了运用配方法解一元二次方程的运用，配方法的解法的运用，解答时熟练配方法的步骤是关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
由，用平行线分线段成比例定理即可得到，又由，，，代入即可求得答案．
此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用．
【解答】
解：，
，
，，，
，
．
故选B．  

6.【答案】 

【解析】解：河堤横断面迎水坡的坡比：，
，
．
故选：．
直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
这四名同学跑步成绩最稳定的是丁，
故选：．
利用方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
方程化为一般式得到，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先根据新定义得到，再把方程化为一般式，接着计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

9.【答案】 

【解析】解：设这个地区的梅花鹿约有只，则：：
解之得，
故选：．
第二次捕捉只梅花鹿，发现其中只有标记，即有标记的占到总数的，再根据总共有只有标记，求出总数．
本题考查的是通过样本去估计总体．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
为的中点，
，
：：，
：：，
的面积为，
的面积为．
故选：．
由四边形是平行四边形，可得，，即可证得∽，又由为的中点，的面积为，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得的面积．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
利用今年月份该基地接待参观人数今年月份该基地接待参观人数这两个月参观人数的月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
设，则，
则，
，
，，
点为斜边的中点，
，

故选：．
先根据三角函数设未知数，根据面积求和的坐标，根据中点坐标公式可得的坐标，从而计算的值；
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，求出点的坐标，然后根据点的横纵坐标之积等于值求解即可．
 

13.【答案】 

【解析】解：线段、、、是成比例线段，
，
，，，
，
．
故答案为：．
根据四条线段成比例，列出比例式，再把，，，代入计算即可．
此题考查了比例线段，掌握比例线段的性质是本题的关键，此题较简单．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设反比例函数解析式为，
将代入得，，
解得，
反比例函数解析式为，
故答案为：．
设气球内气体的气压与气体体积的函数解析式为，再用待定系数法求函数解析式即可．
本题考查了反比例函数的实际应用，关键是求函数关系式．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．易得：∽，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
【解答】
解：根据题意，易得∽，

根据相似三角形的性质可知，即，
解得则小明的影长为米．  

17.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
，，
因为，
所以这个三角形的底边长为，腰长为，
所以这个三角形的周长为．
故答案为：．
利用因式分解法解方程，，根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系得到这个三角形的底边长为，腰长为，从而得到它的周长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
 

18.【答案】或 

【解析】解：设则
以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似，
当：：时，
，
解得或．
当：时，，解得，
当，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似，的值为或．
故答案为或．
根据相似三角形的判定与性质，当若点，，分别与点，，对应，与若点，，分别与点，，对应，分别分析得出的长度即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：，
，
，；
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，，即为所求作，．
如图，，即为所求作，． 

【解析】分别作出，，的对应点，，即可．
分别作出，的对应点，即可．
本题考查作图轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：如图：

，，
，
，
，
在中，
，
． 

【解析】先根据得出，由可知是等腰直角三角形，故可求出的长，由，在中利用锐角三角函数的定义即可求出的长，进而可得出答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，涉及到特殊角的三角函数值及等腰三角形的判定，熟知以上知识是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：∽，
，，
，
；

∽，
，
，，，
，
，
故AD． 

【解析】直接利用相似三角形对应角相等，进而得出答案；
直接利用相似三角形的对应边成比例，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出掌握相似三角形的性质是解题关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：，，
补全图形如下：

故答案为：、；
人，
答：估计本次“垃圾分类”知识竞赛成绩为“优秀”的学生由人．
根据频率频数总人数可得答案；
总人数乘以样本中“优秀”人数所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解：设小华添加的边框的宽度应是分米，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：小华添加的边框的宽度应是分米． 

【解析】设小华添加的边框的宽度应是分米，根据边框面积与电子小报内容所占面积相等，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

25.【答案】解：设，则，
在矩形中，，
∽，
，
，，
四边形是矩形，
，
，
由∽可得，
，
，
解得：，
；
设，
由知，，
，
矩形的面积为，
，即，
解得：，，
当为或时，矩形的面积为． 

【解析】设，则，根据矩形的边的性质，可得∽，再由相似三角形的性质即可求解；
设，由可得，再根据矩形的面积为列出方程，解出方程即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用，熟练应用相似三角形的性质，根据矩形面积列出方程是解题关键．
 

26.【答案】解：，
，即点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得：，
即反比例函数表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，解得，
即点的坐标为，
设直线的表达式为，
则，解得，
即直线的表达式为：；

对于，令，解得：，即点，即，
，，的面积是的面积的倍，
，
当时，，解得，
即点；

由点、的坐标得：，同理可得：，
由知，，则，

当在线段不与重合上时，两个三角形一定不能相似；
当在线段的延长线上时，设的坐标是，则，
此时，，
当∽时，
则，即，解得，
即点；
当∽时，
则，即，解得，
即点，
综上，点的坐标为或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
，，的面积是的面积的倍，即，即可求解；
当在线段不与重合上时，两个三角形一定不能相似；当在线段的延长线上时，分∽、∽两种情况，分别求解即可．
本题是一次函数、反比例函数与相似三角形的判定与性质的综合应用，注意到是本题的关键．