第14章 勾股定理（基础卷）- 八年级数学上册拔尖题精选精练（华东师大版）

第14章 勾股定理（基础卷）

一、单选题

1．下列长度的线段能组成直角三角形的是（    ）

A．3，4，6 B．3，4，5 C．6，8，9 D．5，12，14

【答案】B

2．如图，分别以直角三角形的三条边向外部作了三个正方形A、B、C，已知正方形A的面积是67cm2，正方形C的面积是100cm2，那么，正方形B的面积是（    ）

A．33cm2 B．36cm2 C．43cm2 D．50cm2

【答案】A

3．下列各组数中，是勾股数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，AC为边向外作三个正方形，已知其中两个正方形面积分别为25，169，则正方形M的面积为（　　）

A．100 B．144 C．154 D．194

【答案】B

5．如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】B

6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，AB=6，则图中五个小直角三角形的周长之和为（    ）

A．14 B．16 C．18 D．24

【答案】D

7．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b（b>a），则（a+b）2的值为（ ）．

A．24 B．25 C．49 D．13

【答案】C

8．如图，RtABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DEAB交AC于点E，已知CE＝3，CD＝4，则AD长为（　　）

A．7 B．8 C． D．

【答案】D

9．如图，这是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果EF＝1，AH＝3，那么AB等于（    ）

A．4 B．5 C．9 D．10

【答案】B

10．如图，高速公路上有两点A，B相距25km，C，D为两个乡镇，已知DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现需要在AB上建一个高速收费站E，使得C，D两个乡镇到E站的距离相等，则BE的长为（    ）

A．10km B．15km C．20km D．25km

【答案】A

二、填空题

11．在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2等于__________．

【答案】32

12．在直角三角形中，两边长分别为3和4，则最长边的长度为______．

【答案】4或5

13．如图，A代表所在的正方形的面积，则A的值是______．

【答案】144

14．在直角三角形中，已知两条直角边长度分别为6和8，则斜边上的高为___．

【答案】4.8．

15．如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m，高为10m．从处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点正好在点的正上方，梯子最短需要______m．

【答案】26

16．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，点F是的中点，连接、，若，则的周长为_________．

【答案】8

17．一棵大树被风刮断后折倒在地面上，如图，如果量得，．则树在刮断之前有______高．

【答案】16m

18．下图是公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路”．已知米，米，只为少走______米的路．

【答案】20

19．如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______．

【答案】139

20．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，丈尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则芦苇的长度是________尺．

【答案】13

三、解答题

21．判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．

（1）＝7，＝24，＝25；

（2）＝，＝1，＝；

（3），，()；

【解】（1）∵  ，，

∴  ．

∴  由线段组成的三角形是直角三角形．

（2）∵，，，

∴  ．

∴  由线段组成的三角形不是直角三角形．

（3）∵，

∴  ，．

∵，

，

∴  ．

∴  由线段组成的三角形是直角三角形．

22．如图，在直角三角形中，，若，，求边的长．

解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，

∴AC==12．

23．如图，在中，，若，，则上的高是多少？

【解】Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，CB=8，

∴由勾股定理，得．

由面积公式，得，即，

∴．

24．如图，在△ABC中，AB＝100，BC＝125，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝60，点A在直线MN上．

（1）求AC的长；

（2）若∠MAC＝48°，求∠NAB的度数．

解：（1）∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

在Rt△ABD中，

，

∵BC＝125，

∴DC＝BC－BD＝125－80＝45，

在Rt△ADC中，

；

（2）∵

，

∴，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠BAC＝90°

∵∠MAC＝48°

∴．

25．如图，一块四边形的土地，其中，，，，．

（1）试说明；

（2）求这块土地的面积．

【解】（1）如图，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=4m，AD=3m，由勾股定理得：BD=5m，

∵BC=13m，CD=12m，BD=5m.

∴BD2+DC2=BC2，

∴∠BDC=90°，

即BD⊥DC；

（2）如图，四边形ABCD的面积是

S△ABD+S△BDC=×3×4+×5×12=36．

26．如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16．

(1)求证：BD⊥AC．

(2)若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．

解：(1)∵AC＝21，AD＝16，

∴CD＝AC﹣AD=5，

在△BCD中，BD2+CD2＝122+52＝169＝BC2，

∴∠BDC＝90°，

∴BD⊥AC．

(2)当DE⊥AB时，DE最短，

在Rt△ABD中，AB＝＝20，

∵•AD•DB＝•AB•DE，

∴DE＝＝9.6，

∴线段DE使得最小值为9.6．

27．如图，一艘轮船从小岛处出发，向正北方向以每小时20海里的速度行驶了1.5小时到达处执行任务，再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达处继续执行任务，然后以相同的速度直接从处返回处轮船返回时比出去时节省了多少时间？（不含执行任务时间）

【解】（海里），

（海里），

再Rt△ABC中，∠ABC=90°，

由勾股定理得：（海里），

∴返回所用时间为：小时，

出去所用时间为：小时，

∴则返回时比出去时节省的时间为：小时．

答：返回时比出去时节省了1小时．

28．阅读下列内容，并解决问题．

一道习题引发的思考

小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究；

习题再现：

古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么，，为勾股数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？

资料搜集：

定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么，，称为一组勾股数．

关于勾股数的研究：我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数是世界上最早发现的一组勾股数，毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究．习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数，世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九幸算术），其勾股数公式为：，，，其中，，是互质的奇数．（注：，，的相同倍数组成的一组数也是勾股数）

问题解答：

（1）根据柏拉图的研究，当时，请直接写出一组勾股数；

（2）若表示大于1的整数，试证明是一组勾股数；

（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．

【解】(1)把直接代入，，得

，，，

故答案为：(12，35，37)；

(2)∵表示大于1的整数，
∴，，都是正整数，且是最大边，

∵

，

∴，

即，，为勾股数；

(3)当时，勾股数为(3，4，5)；

当时，勾股数为(8，6，10)；

当时，勾股数为(15，8，17)；

(5，12，13)是勾股数，而柏拉图给出的勾股数公式不能构造出．