专题一　函数零点所在区间的判定问题-最新高考数学之函数的零点问题专项突破（全国通用）

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这是一份专题一　函数零点所在区间的判定问题-最新高考数学之函数的零点问题专项突破（全国通用）

专题一　函数零点所在区间的判定问题 1．函数零点的定义一般地，对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把方程f(x)＝0的实数根x称为函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．2．函数零点存在性定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a) f(b)＜0，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．注：(1)f(x)在[a，b]上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提．(2)零点存在性定理中的几个“不一定”与“一定”(假设f(x)连续)．①若f(a) f(b)＜0，则f(x)“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点，可以有多个．要分析f(x)的性质与图像，如果f(x)单调，则“一定”只有一个零点．因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调．②若f(a) f(b)＞0，则f(x)在[a，b]“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点．如果f(x)单调，那么“一定”没有零点．③若f(x)在(a，b)有零点，则f(a) f(b)的符号是不确定的，“不一定”必须异号．受函数性质与图像影响．如果f(x)单调，则f(a) f(b)一定小于0．3．函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为y＝f(x)，则f(x)的零点即为满足方程f(x)＝0的根，若f(x)＝g(x)－h(x)，则方程可转变为g(x)＝h(x)，即方程的根在坐标系中为g(x)，h(x)交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到．由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化．注：函数零点，方程的根，两图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：(1)函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点．(2)方程的根：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫． (3)两图像的交点：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现．通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围．数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含x的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡．【例题选讲】[例1]　(1)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)A．(1，2) 　　　　　　B．(2，3) 　　　　　　C．(3，4) 　　　　　　D．(4，5)答案　B　解析　由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点．(2)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是(　　)A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点　　　　　　B．函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点C．函数f(x)在区间[2，16)上无零点　　　　　 D．函数f(x)在区间(1，16)内无零点答案　C　解析　由题意可确定f(x)唯一的零点在区间(0，2)内，故在区间[2，16)内无零点．(3)函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间为(　　)A．(－1，0)　　　　　B．(0，eq \f(1,2))　　　　　C．(eq \f(1,2)，1)　　　　　D．(1，eq \f(3,2))答案　C　解析　∵＝－2<0，f(1)＝e－1>0，∴零点在(eq \f(1,2)，1)上，故选C．(4)已知实数a，b满足2a＝3，3b＝2，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　)A．(－2，－1)　　　　　B．(－1，0)　　　　　C．(0，1)　　　　　D．(1，2)答案　B　解析　∵实数a，b满足2a＝3，3b＝2，∴a＝log23>1，00，f(－1)＝log32－1－log32＝－1<0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间为(－1，0)．故选B．(5)设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是____．答案　(1，2)　解析　设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝的图象如图所示．因为f(1)＝1－＝－1<0，f(2)＝8－＝7>0，所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2)．(6)函数f(x)＝eq \f(2,x)＋lneq \f(1,x－1)的零点所在的大致区间是(　　)A．(1，2)　　　　　　B．(2，3)　　　　　　C．(3，4)　　　　　　D．(1，2)与(2，3)答案　B　解析　f(x)＝eq \f(2,x)＋lneq \f(1,x－1)＝eq \f(2,x)－ln(x－1)，当1＜x＜2时，ln(x－1)＜0，eq \f(2,x)＞0，所以f(x)＞0，故函数f(x)在(1，2)上没有零点．f(2)＝1－ln1＝1，f(3)＝eq \f(2,3)－ln2＝eq \f(2－3ln2,3)＝eq \f(2－ln8,3)．因为eq \r(8)＝2eq \r(2)≈2.828＞e，所以8＞e2，即ln8＞2，即f(3)＜0.又f(4)＝eq \f(1,2)－ln3＜0，所以f(x)在(2，3)内存在一个零点．(7)设函数f(x)＝eq \f(1,3)x－ln x(x>0)，则y＝f(x)(　　)A．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均有零点B．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均无零点C．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内无零点，在区间(1，e)内有零点答案　D　解析　由f(x)＝eq \f(1,3)x－ln x(x>0)得f′(x)＝eq \f(x－3,3x)，令f′(x)>0得x>3，令f′(x)<0得00，f(e)＝eq \f(e,3)－1<0，＝eq \f(1,3e)＋1>0，所以f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内无零点，在区间(1，e)内有零点．故选D．(8)如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在△ABC中用余弦定理解得AC＝eq \r(8－8cos 108°)，乙同学在Rt△ACH中解得AC＝eq \f(1,cos 72°)，据此可得cos72°的值所在区间为(　　)A．(0.1，0.2)　　　　　B．(0.2，0.3)　　　　　C．(0.3，0.4)　　　　　D．(0.4，0.5)答案　C　解析　∵eq \r(8－8cos 108°)＝eq \f(1,cos 72°)，令cos 72°＝t，则eq \r(8＋8t)＝eq \f(1,t)，∴8t3＋8t2－1＝0．令f(t)＝8t3＋8t2－1，则当t>0时，f′(t)＝24t2＋16t>0．∴f(t)＝8t3＋8t2－1在(0，＋∞)上单调递增．又f(0.3)f(0.4)<0，∴f(t)＝8t3＋8t2－1在(0.3，0.4)内有唯一零点，∴cos 72°的值所在区间为(0.3，0.4)．故选C．[题后悟通]　确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)直接法：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内．例如：对于方程lnx＋x＝0，无法直接求出根，构造函数f(x)＝lnx＋x，由f(1)>0，<0即可判定其零点必在(eq \f(1,2)，1)中．(3)数形结合法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．【对点训练】1．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为________．2．已知自变量和函数值的对应值如下表：则方程2x＝x2的一个根位于区间(　　)A．(0.6，1.0)　　　　B．(1.4，1.8)　　　　C．(1.8，2.2)　　　　D．(2.6，3.0)3．若a1，00且a≠1)．当2

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