专题四 已知函数的零点求参数的取值范围（二）-最新高考数学之函数的零点问题专项突破（全国通用）

这是一份专题四 已知函数的零点求参数的取值范围（二）-最新高考数学之函数的零点问题专项突破（全国通用）

专题四　已知函数的零点求参数的取值范围（二）一、已知y＝f(x)±(kx＋b)型函数零点的情况，求参数b或k的取值范围【例题选讲】[例1]　(1)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,ln x，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a．若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)A．[－1，0) 　　　　　B．[0，＋∞)　　　　　C．[－1，＋∞)　　　　　D．[1，＋∞)答案　C　解析　函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点．作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C．(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2．令g(x)＝f(x)－kx－k，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝0有4个不相等实根，则实数k的取值范围是(　　)A．(0，＋∞) 　　　　　　B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))　　　　　　C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))　　　　　　D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))答案　C　解析　令g(x)＝0，得f(x)＝k(x＋1)，由f(x)的周期性，作出y＝f(x)在[－1，3]上的图象如图所示．设直线y＝k1(x＋1)经过点(3，1)，则k1＝eq \f(1,4)．∵直线y＝k(x＋1)经过定点(－1，0)，且由题意知直线y＝k(x＋1)与y＝f(x)的图象有4个交点，∴00．当－20)的图象，使得它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可，当直线y＝kx－1与y＝lnx的图象相切时，设切点为(m，lnm)，又y＝lnx的导数为y′＝eq \f(1,x)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(km－1＝lnm，,k＝\f(1,m)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝1，,k＝1，))可得切线的斜率为1，结合图象可知k∈(0,1)时，函数y＝lnx的图象与直线y＝kx－1有2个交点，即函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对，故选D．[题后悟通]　已知y＝f(x)±(kx＋b)型函数零点的情况，如果是求参数b的取值范围，则平移直线y＝kx＋b使得满足条件，然后构建b的不等式，求出b的取值范围．如果是求参数k的取值范围，则旋转直线y＝kx＋b使得满足条件，然后构建k的不等式，求出k的取值范围．此时常常伴随有曲线的切线问题，所以导数是解决此类问题的重要工具．【对点训练】1．函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1　（x≥0），,f(x＋1)（x＜0），))若方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________．1．答案　(－∞，1)　解析　函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1　（x≥0），,f(x＋1)（x＜0），))的图象如图所示，作出直线l：y＝a－x，向左平移直线l，观察可得函数y＝f(x)的图象与直线l：y＝－x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根，即有a＜1．2．已知f(x)是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2．如果函数g(x)＝f(x)－(x＋m)有两个零点，则实数m的值为________．2．答案　2k或2k－eq \f(1,4)(k∈Z)　解析　令g(x)＝0得f(x)＝x＋m．①考虑函数f(x)在[0，1]上的图象，因为两个端点分别为(0，0)，(1，1)，所以过这两点的直线方程为y＝x，此时m＝0；②考虑直线y＝x＋m与f(x)＝x2(x∈[0，1])的图象相切，与区间(1，2]上的函数图象相交，则此时直线与函数f(x)也是两个交点，即g(x)仍然有两个零点，可求得此时m＝－eq \f(1,4)，切线方程为y＝x－eq \f(1,4)．综上，由f(x)是定义在R上且以2为周期的偶函数，得m＝2k或m＝2k－eq \f(1,4)(k∈Z)．3．偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则＝________，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是________．3．答案　eq \f(2,3)　eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))　解析　因为偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x)＝f(x＋2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，则＝＝＝＝eq \f(2,3)，若－1≤x≤0，则0≤－x≤1，则f(－x)＝－x＝f(x)，即f(x)＝－x，－1≤x≤0，由g(x)＝f(x)－kx－k＝0，得f(x)＝k(x＋1)，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，等价为函数f(x)与h(x)＝k(x＋1)有4个不同的交点，作出两个函数的图象如图所示，h(x)过定点A(－1，0)，f(3)＝1，则k满足0eq \f(1,2)，当动直线与直线y＝x＋2平行时有2个交点，故m<1，综上：eq \f(1,2)0,|2x＋x2|，x≤0))，若函数g(x)＝f(x)－mx有三个不同零点，则实数m的取值范围为(　　)A．－2e　　C．－2e9．答案　D　解析　由函数g(x)＝f(x)－mx有三个不同零点得y＝f(x)与h(x)＝mx有三个不同交点，如图所示为f(x)的大致图象，当x>0时，f(x)＝ex，设y＝f(x)与h(x)＝mx相切的切点坐标为(x0，mx0)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(mx0＝ex0,f′x0＝m))，即eq \f(ex0,x0)＝ex0，解得x0＝1，此时m＝e；由y＝－x2－2x，得y′＝－2x－2，x＝0时，y′＝－2，因此当m>e或－21符合题意；若0eq \f(1,a2)⇒eq \f(\r(5),5)1)在区间[－2，6]内恰有三个零点，则实数a的取值范围是_____．1．答案　eq \r(3,4)1)在区间[－2，6]内恰有三个不同的实根，则函数y＝f(x)和y＝loga(x＋2)的图象在区间[－2，6]内恰有三个不同的交点，根据图象可知，loga(6＋2)>3且loga(2＋2)<3，解得eq \r(3,4)f(2)＝－2，且00且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(　　)A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))　　　　　　B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,4)))　　　　　　C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))　　　　　　D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))5．答案　C　解析　由y＝loga(x＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，则02，即a>eq \f(2,3)时，联立eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2＋4a－3x＋3a))＝2－x，则Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，解得：a＝eq \f(3,4)或1(舍)，当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件．综上：a∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))．