专题六与零点相关的不等式问题-最新高考数学之函数的零点问题专项突破（全国通用）

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这是一份专题六与零点相关的不等式问题-最新高考数学之函数的零点问题专项突破（全国通用）

专题六与零点相关的不等式问题【例题选讲】[例1](1)设方程10x＝|lg(－x)|的两根分别为x1，x2，则(　　)A．x1x2<0　　　　　B．x1x2＝1　　　　　C．x1x2>1　　　　　D．0x2)，则下列结论正确的是(　　)A．1＜x1＜2，x1＋x2＜2　　　　　　　　　B．1＜x1＜2，x1＋x2＜1C．x1＞1，x1＋x2＜2　　　　　　　　　　D．x1＞1，x1＋x2＜1答案　A　解析　函数f(x)＝|2x－2|＋b有两个零点，即y＝|2x－2|的图象与直线y＝－b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x1>x2)，在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝－b的图象如图所示，可知12eq \r(2x1×2x2)＝2eq \r(2x1＋x2)，所以2x1＋x2<4，所以x1＋x2<2．(3)设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则(　　)A．g(a)＜0＜f(b)　　　B．f(b)＜0＜g(a)　　　C．0＜g(a)＜f(b)　　　D．f(b)＜g(a)＜0答案　A　解析　依题意，f(0)＝－3＜0，f(1)＝e－2＞0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点a∈(0，1)，g(1)＝－3＜0，g(2)＝ln 2＋3＞0，且函数g(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此函数g(x)的零点b∈(1，2)，于是有f(b)＞f(1)＞0，g(a)＜g(1)＜0，g(a)＜0＜f(b)．故选A．(4)已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则(　　)A．a0，即|lna|＝|lnb|＝t>0，由a，b范围可得，lna<0，lnb>0，从而a＝e－t，b＝et，所以a＋2b＝e－t＋2 et，而et>0，所以e－t＋2 et∈(3，＋∞)．注：此类问题如果f(x)图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点．本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t，从而用t表示出a，b达到消元效果，但是要注意t是有范围的（通过数形结合y＝t需与y＝f(x)有两交点）；一个是通过图像判断出a，b的范围，从而去掉绝对值．(7)设x1，x2分别是函数f(x)＝x－a－x和g(x)＝xlogax－1的零点(其中a>1)，则x1＋4x2的取值范围是________．答案　(5，＋∞)　解析　f(x)＝x－a－x的零点x1是方程x＝a－x，即eq \f(1,x)＝ax的解，g(x)＝xlogax－1的零点x2是方程xlogax－1＝0，即eq \f(1,x)＝logax的解，即x1，x2是y＝ax与y＝logax与y＝eq \f(1,x)交点A，B的横坐标，可得01，∵y＝ax的图象与y＝logax关于y＝x对称，y＝eq \f(1,x)的图象也关于y＝x对称，∴A，B关于y＝x对称，设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(1,x1)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(1,x2)))，∴A关于y＝x的对称点A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)，x1))与B重合，eq \f(1,x2)＝x1，即x2x1＝1，x1＋4x2＝x1＋x2＋3x2>2eq \r(x1x2)＋3x2>2＋3＝5，x1＋4x2的取值范围是(5，＋∞)．(8)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋eq \f(1,2)，0≤x＜eq \f(1,2)，,2x－1，eq \f(1,2)π，))若有三个不同的实数a，b，ｃ，使得f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________．答案　(2π，2021π)　解析　f(x)的图像可作，所以考虑作出f(x)的图像，不妨设aπ，且f(c)＝log2020eq \f(c,π)＝f(a)∈(0，1)，所以02，))若f(x)＝m有四个零点a，b，c，d，则abcd的取值范围是________．答案　(10，12)　解析　作出函数f(x)的图象，不妨设a0))，直线y＝m与函数f(x)的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为a，b，c，d，有以下四个结论①m∈[3，4)；②abcd∈[0，e4)；③a＋b＋c＋d∈[e5＋eq \f(1,e)－2，e6＋eq \f(1,e2)－2)；④若关于x的方程f(x)＋x＝m恰有三个不同实根，则m的取值唯一．则其中正确的结论是(　　)A．①②③　　　　　　B．①②④　　　　　　C．①③④　　　　　　D．②③④答案　A　解析　本题涉及到m的取值，及4个交点的性质，所以先作出f(x)的图像，从而从图上确定存在4个交点时，m的范围是[3，4)，所以①正确．从图像上可看出a，b在同一曲线，c，d在同一曲线上，所以②③在处理时将a，b放在一组，c，d放在一组．②涉及到根的乘积，一方面a，b为方程－x2－2x＋3＝m的两根，所以由韦达定理，可得ab＝m－3，而c，d为方程|2－lnx|＝m的两根，且00且a≠1)的两个零点是m，n，则(　　)A．mn＝1　　　　　B．mn>1　　　　　C．0x1＋x2　　　　D．x1x20，a≠1)，若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2的值(　　)A．恒小于2　　　　　B．恒大于2　　　　　C．恒等于2　　　　　D．与a相关4．已知f(x)＝|ln(x＋1)|，若f(a)＝f(b)(a0　　　　　B．a＋b>1　　　　　C．2a＋b>0　　　　　D．2a＋b>15．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式成立的是(　　)A．f(a)＜f(1)＜f(b)　　　B．f(a)＜f(b)＜f(1)　　　C．f(1)＜f(a)＜f(b)　　　D．f(b)＜f(1)＜f(a)6．已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则(　　)A．a4，))设a，b，c是三个不相等的实数，且满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围为________．12．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|lnx|00，))若方程f(x)＝a有四个不同的解x13，))若方程f(x)＝m(m∈R)有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，且满

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