易错点07 数列-备战2023年高考数学考试易错题（解析版）（全国通用）

易错点07  数列

易错点1：已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论的应用，特别是在利用an＝Sn－Sn－1进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合an. 

易错点2已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论的应用，特别是在利用an＝Sn－Sn－1进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合an. 

易错点3：用裂项相消法求和时,注意裂项后的系数以及搞清未消去的项

易错点4：利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n－1项是一个等比数列．

易错点5：含有字母的数列求和,常伴随着分类讨论.

易错点6：数列中的最值错误。

数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，或即使考虑了n为正整数，但对于n取何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。 

1．已知等比数列的公比，则 等于（       ）

A． B． C．3 D．

【答案】D

【详解】解：因为等比数列的公比，

所以．

故选：D

2．已知等差数列的前n项和为，若，，则（       ）

A．－10 B．－20 C．－120 D．－110

【答案】C

【详解】，

，则.

故选：C

3．已知等比数列的前项和为，则实数的值是（       ）

A． B．3 C． D．1

【答案】C

【详解】等比数列的前项和为，

当时，可得，可得，

当时，，则

所以

因为为等比数列，

所以，即

解得，经检验符合题意.

故选：C．

4．(多选)已知为数列的前项之和，且满足 ，则下列说法正确的是（       ）

A． 为等差数列 B．若 为等差数列，则公差为2

C．可能为等比数列 D．的最小值为0，最大值为20

【答案】BCD

【详解】当时，，解得或，当时，，，

整理得，当时，若，可得，若，，

可得数列为等比数列，；当时，可得，数列为等差数列，

若，可得，若，可得；故A错误；B正确；C正确；当时，；

当时，；当时，；当时，；故D正确.

故选：BCD.

5．(多选)已知两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列说法正确的是（　　）

A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则

C．若为等差数列，则 D．若，则也为等差数列，且公差为

【答案】ABD

【详解】对于A，因为为等差数列，所以，

即，所以，

化简得，所以，故A正确；

对于B，因为为等差数列，所以，

所以，

所以，故B正确；

对于C，因为为等差数列，所以，

所以，

化简得，所以或，故C不正确；

对于D，因为，且，所以，

所以，

所以，

所以也为等差数列，且公差为，故D正确.

故选：ABD

1．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.

若为单调递增数列，则，

若，则当时，；若，则，

由可得，取，则当时，，

所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；

若存在正整数，当时，，取且，，

假设，令可得，且，

当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.

所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.

所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.

故选：C.

2．已知等比数列的前3项和为168，，则（       ）

A．14 B．12 C．6 D．3

【答案】D

【详解】解：设等比数列的公比为，

若，则，与题意矛盾，

所以，

则，解得，

所以.

故选：D.

3．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：因为，

所以，，得到，

同理，可得，

又因为，

故，；

以此类推，可得，，故A错误；

，故B错误；

，得，故C错误；

，得，故D正确.

故选：D.

4．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（       ）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9

【答案】D

【详解】设，则，

依题意，有，且，

所以，故，

故选：D

5．已知数列满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】∵，易得，依次类推可得

由题意，，即，

∴，

即，，，…，，

累加可得，即，

∴，即，,

又，

∴，，，…，，

累加可得，

∴，

即，∴，即；

综上：．

故选：B．

一、单选题

1．设数列满足且，则（       ）

A． B． C． D．3

【答案】D

【详解】由题意可得：，，

，，

据此可得数列是周期为4的周期数列，

则.

故选：D

2．已知数列满足，若的前n项积的最大值为3，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】数列中，，，则有，因此，，，

因数列的前n项积的最大值为3，则当，的前n项积，

当，的前n项积，

当，的前n项积，解得，

当，的前n项积，

当，的前n项积，

当，的前n项积，解得，

显然，综上得或，

所以的取值范围为.

故选：A

3．设数列的前n项和为，满足，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为数列的前n项和为，满足，

所以当时， ，解得或，

当时，，整理得，

所以数列是以1为公差的等差数列，

当时，，所以或

所以，首项满足此式，或首项满足此式，

所以或，

所以CD错误，

当时，

，

当时，

，

所以A正确，B错误，

故选：A

4．已知数列满足：，点在函数的图象上，记为的前n项和，则（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【详解】由题得，解得，故，所以

故选：A．

5．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是（       ）

A．插入的第8个数为 B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍

C．  D．

【答案】D

【详解】设该等比数列为,公比为q,则,故.

对于A：插入的第8个数为.故A正确；

对于B：插入的第5个数为，插入的第1个数为，所以.故B正确；

对于C：.

要证，即证，即证，即证，即证，

而成立，故C正确；

对于D：.

因为，所以，所以，所以，即，所以

故D错误.

故选：D

6．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（       ）

A．，且 B．，且

C．，且 D．，且

【答案】C

【详解】设函数，则为奇函数，且，所以在R上递减，由已知可得，，有，，所以，且，所以，且，所以， .

故选：C.

二、多选题

7．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则下列结论正确的是（       ）

A．数列为等差数列 B．对任意正整数，

C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列

【答案】ABC

【详解】设等差数列的公差为，则，所以，.

对于A选项，，所以，为等差数列，A对；

对于B选项，对任意的，，由等比中项的性质可得，

由基本不等式可得，B对；

对于C选项，令，

所以，，

故数列一定是等差数列，C对；

对于D选项，设等比数列的公比为，

当时，，

此时，数列不是等比数列，D错.

故选：ABC.

8．已知等比数列的公比为，且，记的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（       ）

A．当时，递减 B．当时，

C．当时， D．当时，

【答案】BCD

【详解】对于A中，因为，，所以，所以递增，所以A错误.

对于B中，当时，

，

当且仅当时等号成立，所以B正确.

对于C中，当时，递增，因为，所以当时，；

当时，，所以当或时，最小，

所以，故C正确.

对于D中，当时，是摆动数列，偶数项为正，奇数项为负，递减，

因为，所以当或时，最大，的前2022项中有1011项为正，1011项为负，所以，所以恒成立，所以D正确.

故选：BCD.

三、解答题

9．设等差数列的前项和为，已知.

(1)求数列的通项公式;

(2)若，求数列的前项和.

【答案】（1）

设数列的公差为，由题设可得 解得

所以.

（2）

由（1）知，所以

可得 ，

所以①

②

②减①可得:

10．在数列中，，且对任意的，都有.

(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】

（1）由，可得又，，所以.所以首项为，公比为的等比数列.所以.所以.又满足上式，所以

（2）由（1）得，所以