高考数学二轮复习专题三　数列课件PPT

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1.等差数列、等比数列的基本公式
名师点析数列的本质是定义域为N*(或它的有限子集{1,2,…,n})的函数.
2.等差数列、等比数列的常用性质
3.判断数列是等差数列的常用方法(1)定义法:an+1-an=d(d∈R,n∈N*)⇔{an}是等差数列.(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.
4.判断数列是等比数列的常用方法
名师点析1.如果数列{an}既成等差数列又成等比数列,那么数列{an}是非零常数列;“数列{an}是常数列”是“数列{an}既成等差数列又成等比数列”的必要不充分条件.2.“ =an·an+2(n∈N*)”是“{an}为等比数列”的必要不充分条件,在判断一个数列是等比数列时,要注意各项均不为0.
[例1](2021·山东龙口模拟)在①a1+a3=b3,②b2+S5=-b4,③a1+a9=-4这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中.若问题中的m存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.设等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是各项均为正数的等比数列,其前n项和为Tn,若　　　　　,　　　　　,且b1=2,T4=5T2,是否存在大于2的正整数m,使得4S1,S3,Sm成等比数列? 
所以Sn=-n2+7n.所以S1=6,S3=12,Sm=-m2+7m.若4S1,S3,Sm成等比数列,则 =4S1Sm,即122=4×6(-m2+7m),所以m2-7m+6=0,解得m=6或m=1(舍去).此时存在正整数m=6满足题意.
规律方法等差(等比)数列基本运算的解题思路(1)设出首项a1和公差d(或公比q).(2)根据已知条件列出关于a1和d(或q)的方程(组),解方程(组)得到a1和d(或q).
(1)(多选题)(2021·广东揭阳一模)已知等比数列{an}的公比为q,且a5=1,则下列选项正确的是(　　)A.a3+a7≥2B.a4+a6≥2C.a7-2a6+1≥0D.a3-2a4-1≥0
(2)(2021·山东滨州一模)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=2,b2=4,an=2lg2bn,n∈N*.①求数列{an},{bn}的通项公式;②设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn},记数列{cn}的前n项和为Sn,求S100.
(2)解 ①设等差数列{an}的公差为d,因为b2=4,所以a2=2lg2b2=4,所以d=a2-a1=2.所以an=2+(n-1)×2=2n.
命题角度1　等差数列的性质
[例2-1](2021·陕西宝鸡二模)已知数列{an}是等差数列,3(a1+a5)+2(a3+a6+a9)=18,则该数列前8项和为(　　)A.36B.24C.16D.12
解析 因为数列{an}是等差数列,所以a1+a5=2a3,a3+a6+a9=3a6,所以3×2a3+2×3a6=18,即a3+a6=3.
命题角度2　等比数列的性质
[例2-4](2021·全国甲,文9)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(　　)A.7B.8C.9D.10
解析 根据题意及等比数列的性质,可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=4,S4=6,∴(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故选A.
[例2-5](2021·江苏镇江模拟)已知数列{an}为等比数列,其前n项的乘积为Tn,若T3=T9,则T12=　　　　　. 
方法技巧等差(等比)数列性质问题的求解策略(1)抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手,选择恰当的性质进行求解.(2)数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,可利用函数的性质解题.
(1)(多选题)(2021·山东济宁检测)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且S6>S7>S5,则下列结论正确的是(　　)A.d<0B.S11>0C.S12<0D.数列{Sn}中的最大项为S11
(2)(2021·陕西咸阳模拟)在等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=12,则{an}的前8项和为(　　)
(3)(2021·北京师大附中月考)已知等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则lg3a1+lg3a2+…+lg3a10=　　　　　. 
答案 (1)AB　(2)A　(3)10　
由题意,可知当1≤n≤6时,an>0,当n≥7时,an<0,故数列{Sn}中的最大项为S6,故D不正确.
(2)∵{an}为等比数列,∴a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8成等比数列.又a1+a2=6,a3+a4=12,∴a5+a6=24,a7+a8=48.故{an}的前8项和为a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=90.(3)∵等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9,∴lg3a1+lg3a2+…+lg3a10=lg3(a1a2…a10)=lg395=10.
[例3]设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;(2)在(1)的条件下证明 是等差数列,并求an.
证明 (1)由a1=1,及Sn+1=4an+2,得S2=a1+a2=4a1+2,即a2=3a1+2=5,∴b1=a2-2a1=3.∵Sn+1=4an+2,∴当n≥2时,Sn=4an-1+2,∴an+1=Sn+1-Sn=4an-4an-1,∴an+1-2an=2(an-2an-1).又bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,∴{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
解题心得判断数列为等差(等比)数列的技巧(1)判断给定的数列{an}是等差(等比)数列的常用方法有:①定义法;②等差(等比)中项法.(2)若数列{an},{bn}为等差数列,且项数相同,则{kan},{an±bn},{pan+qbn}都是等差数列.(3)若数列{an},{bn}为等比数列,且项数相同,则{kan}(k≠0), 都是等比数列.
(2021·全国乙,理19)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积.已
(1)证明:数列{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.
误区警示由Sn与an的关系求通项公式的注意事项已知数列{an}的前n项和Sn,则通项公式an= 当n=1时,若a1适合an=Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项公式an;当n=1时,若a1不适合an=Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表达.解此类问题一定要注意验证a1.
(2021·湖北荆州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3an-2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)不等式Sn>31,求n的最小值.