第3章 圆的基本性质（第二篇）（综合复习，满分必刷题）（解析版）

这是一份第3章 圆的基本性质（第二篇）（综合复习，满分必刷题）（解析版），共44页。
\l "_Tc115265037" 二、知识点巩固 PAGEREF _Tc115265037 \h 1
\l "_Tc115265038" 1.圆周角 PAGEREF _Tc115265038 \h 1
\l "_Tc115265039" 2.圆内接四边形 PAGEREF _Tc115265039 \h 17
\l "_Tc115265040" 3.正多边形与圆 PAGEREF _Tc115265040 \h 31
\l "_Tc115265041" 4.正多边形的性质 PAGEREF _Tc115265041 \h 31
\l "_Tc115265042" 5.弧长公式 PAGEREF _Tc115265042 \h 38
一、知识点梳理
二、知识点巩固
1.圆周角
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

知识要点：圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
圆周角与圆心角有三种常见图形，以此为基础，可作出复杂图形。圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.圆周角还需满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

推论1：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
推论2：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。如图1，⊙O中两弦AB、CD相交于点P，则AP·PB=CP·PD。
推论1：
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的 \t "/item/%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E5%BC%A6/" 比例中项。
满分必刷题：
1．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（ ）
A．85°B．75°C．70°D．65°
【分析】由AB是直径可得∠ACB＝90°，由∠ABC＝30°可知∠CAB＝60°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝15°，
∴∠CAB＝75°，
∴∠BDC＝∠CAB＝75°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，由AB是直径求出∠ACB＝90°是解题的关键．
2．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且＝，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：
①AD＝BD；②∠MAN＝90°；③＝；④∠ACM+∠ANM＝∠MOB；⑤AE＝MF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据AB⊥MN，垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，＝＝，得出④正确，结合②④得出⑤正确即可．
【解答】解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN，
∴AD＝BD，＝，∠MAN＝90°（①②③正确）
∵＝，
∴＝＝，
∴∠ACM+∠ANM＝∠MOB（④正确）
∵∠MAE＝∠AME，
∴AE＝ME，
∵∠EAF+∠MAE＝∠AME+∠AFM＝∠MAN，
∠EAF＝∠AFM，
∴AE＝EF，
∴AE＝MF（⑤正确）．
正确的结论共5个．
故选：D．
【点评】此题考查圆周角定理，垂径定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．
3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝20°，即可求∠BCD的度数．
【解答】解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AED＝20°，
∴∠ACD＝20°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝110°，
解法二：连接BE，易得∠BED为70°，再由圆内接四边形互补可得∠BCD为110°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC在圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．110°C．125°D．130°
【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC＝2∠ABO+2∠ACO．
【解答】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D．
在△OAB中，OA＝OB，
则∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×20°＝40°，
同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×30°＝60°，
故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝100°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．
5．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（ ）
A．20°B．35°C．40°D．55°
【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，求出∠EFB，∠OFB即可．
【解答】解：连接FB．
∵∠AOF＝40°，
∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠FEB＝∠FOB＝70°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF＝55°，
∵FO＝BO，
∴∠OFB＝∠OBF＝20°，
∴∠EFO＝∠EBO，
∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（ ）
A．+B．2+C．4D．2+2
【分析】连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，根据圆周角定理得到∠APB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝30°，由垂径定理得到AD＝BD＝3，解直角三角形得到PD＝，PA＝PB＝PC＝2，根据勾股定理得到CE＝＝＝2，于是得到结论．
【解答】解：连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，
∵∠ACB＝60°，
∴∠APB＝120°，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∵A（﹣5，0），B（1，0），
∴AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∴PD＝，PA＝PB＝PC＝2，
∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，
∴CE＝＝＝2，
∴OC＝CE+OE＝2+，
∴点C的纵坐标为2+，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝ 15° ．
【分析】设CD与⊙O相交于点E，连接BE，根据等腰三角形的性质可得∠C＝∠BCDC＝25°，从而可得∠CBD＝130°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠EBD＝90°，从而可得∠BED＝65°，进而利用圆内接四边形对角互补可得∠A＝115°，最后利用三角形外角的性质进行计算即可解答．
【解答】解：设CD与⊙O相交于点E，连接BE，
∵BC＝BD，
∴∠C＝∠BCDC＝25°，
∴∠CBD＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝130°，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠EBD＝90°，
∴∠BED＝90°﹣∠BDC＝65°，
∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BED＝115°，
∴∠BDA＝∠CBD﹣∠A＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连接AF，则∠DFA＝ 30° ．
【分析】利用垂径定理和三角函数得出∠CDO＝30°，进而得出∠DOA＝60°，利用圆周角定理得出∠DFA＝30°即可．
【解答】解：∵点C是半径OA的中点，
∴OC＝OD，
∵DE⊥AB，
∴∠CDO＝30°，
∴∠DOA＝60°，
∴∠DFA＝30°，
故答案为：30°．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用垂径定理和三角函数得出∠CDO＝30°．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1＝∠2．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质由BC＝DC得到∠CBD＝∠CDB＝39°，再根据圆周角定理得∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，所以∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝78°；
（2）根据等腰三角形的性质由EC＝BC得∠CEB＝∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB＝∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE＝∠1+∠CBD，加上∠BAE＝∠CBD，所以∠1＝∠2．
【解答】（1）解：∵BC＝DC，
∴∠CBD＝∠CDB＝39°，
∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝39°+39°＝78°；
（2）证明：∵EC＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
而∠CEB＝∠2+∠BAE，∠CBE＝∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠CBD，
∵∠BAE＝∠BDC＝∠CBD，
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
10．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝＝＝55°
∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；
（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
又∵OA＝OB，
∴OE＝BC＝．
又∵OD＝AB＝2，
∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．
【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．
11．已知：△ABC是⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点（与点B、C不重合），
（1）如果点P是弧BC的中点，求证：PB+PC＝PA；
（2）如果点P在弧BC上移动时，（1）的结论还成立吗？请说明理由．
【分析】（1）连OB，OC，由点P是弧BC的中点，△ABC是⊙O的内接正三角形，根据垂径定理的推论得到AP为⊙O的直径，易得△OBP和△OPC都是等边三角形，于是得到结论；
（2）截取PE＝PC，则△PEC为等边三角形，得到CE＝CP，∠PCE＝60°，易证△CAE≌△CBP，得到AE＝PB，即有PB+PC＝PA．
【解答】解：（1）连OB，OC，如图
∵点P是弧BC的中点，△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴AP为⊙O的直径，
∴∠BPO＝∠ACB，∠APC＝∠ABC，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠BPO＝∠APC＝60°，
∴△OBP和△OPC都是等边三角形，
∴PB＝PC＝OP＝OA，
∴PB+PC＝PA；
（2）（1）的结论还成立．理由如下：
截取PE＝PC，
∵∠APC＝60°，
∴△PEC为等边三角形，
∴CE＝CP，∠PCE＝60°，
而∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠BCP，
而CA＝CB，
∴△CAE≌△CBP，
∴AE＝PB，
∴PB+PC＝PA．
【点评】本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质以及证明一条线段等于两条线段和的方法．
12．如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是 ．
【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN＝AB，
∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，
连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，
∵AB′是⊙O的直径，
∴∠ACB′＝90°．
∵∠ABC＝45°，AC＝5，
∴∠AB′C＝45°，
∴AB′＝＝＝5，
∴MN最大＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．
13．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE•EQ的值是（ ）
A．24B．9C．6D．27
【分析】延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．在⊙O中，由射影定理得CD＝6．在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知PE•EQ＝DE•EM＝CE•EN，设CE＝x，列方程求解得CE＝3．所以DE＝6﹣3＝3，EM＝6+3＝9，即可求得PE•EQ．
【解答】解：延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．
∵CD2＝AD•DB，AD＝9，BD＝4，
∴CD＝6．
在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE•EQ＝DE•EM＝CE•EN，
设CE＝x，则DE＝6﹣x，EN＝6﹣x+6
则（6﹣x）（x+6）＝x（6﹣x+6），
解得x＝3．
所以，CE＝3，DE＝6﹣3＝3，EM＝6+3＝9．
所以PE•EQ＝3×9＝27．
故选：D．
【点评】此题综合运用了相交弦定理、垂径定理．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的长是 4 ．
【分析】根据相交弦定理及垂径定理求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，
∴CG＝GD，CF＝FG＝CG，
∵CF＝2，∴CG＝GD＝2×2＝4，FD＝2+4＝6，
由相交弦定理得EF•AF＝CF•FD（这里利用相似三角形的性质证明），
即EF＝＝＝4，
故EF的长是4．
【点评】此题很简单，解答此题的关键是熟知相交弦定理及垂径定理．
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
15．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．
（1）求证：AM•MB＝CM•MD；
（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．
【分析】（1）连接AD、BC，利用同弧所对的圆周角相等，证明△ADM∽△CBM；
（2）连接OM、OC，由于M是CD的中点，由垂径定理得OM⊥CD，利用勾股定理可求出CM的值，根据（1）的结论，求出AM•BM．
【解答】解：（1）连接AD、BC．
∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，
∴△ADM∽△CBM
∴
即AM•MB＝CM•MD．
（2）连接OM、OC．
∵M为CD中点，
∴OM⊥CD
在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2
∴CD＝CM＝
＝
＝
由（1）知AM•MB＝CM•MD．
∴AM•MB＝•
＝5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理及垂径定理，是综合性较强的题目．（1）利用相似、圆周角定理得到相交弦定理；（2）中利用垂径定理、勾股定理和相交弦定理得到了AM与BM的积．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
2.圆内接四边形
如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
圆内接四边形的对角互补，且任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.
即∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°∠CBE=∠ADC
圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
满分必刷题：
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
17．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，
∵＝，
∴∠CAB＝∠DAB＝35°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（ ）
A．3B．3C．4D．2
【分析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．
【解答】解：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CDA，
∴AC＝AD＝5，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴AE＝＝＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．
19．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠E+∠C＝ 155 °．
【分析】连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．
【解答】解：连接EA，
∵为50°，
∴∠BEA＝25°，
∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEA+∠C＝180°，
∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，
故答案为：155．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
20．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（ ）
A．30°B．50°C．70°D．80°
【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．
【解答】解：∵，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．
21．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝ 38 度．
【分析】由已知我们可以将点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，从而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得即可．
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，
∴∠CBD是弧CD对的圆周角，∠CAD是弧CD对的圆心角；
∵∠CAD＝76°，
∴∠CBD＝∠CAD＝×76°＝38°．
【点评】本题利用了同弧对的圆周角是圆心角的一半的性质求解．
22．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
【分析】（1）根据外角的性质即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；
（3）连接EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD＝∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD＝∠1+∠2，则∠A＝∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，即2∠A+α+β＝180°，再解方程即可．
【解答】解：（1）∠E＝∠F，
∵∠DCE＝∠BCF，
∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，
∵∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ADC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣42°＝48°；
（3）连接EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A，
∵∠ECD＝∠1+∠2，
∴∠A＝∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，
∴2∠A+α+β＝180°，
∴∠A＝90°﹣．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连接AC．
（1）求证：AB＝AP；
（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．
【分析】（1）利用等角对等边证明即可．
（2）利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵C为的中点，
∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，
∴∠ABC＝∠P，
∴AB＝AP．
（2）解：如图，连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD＝＝＝6，
∴PB＝＝＝2，
∵AB＝AP，AC⊥BP，
∴BC＝PC＝PB＝，
∴PC＝．
【点评】主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．如图，已知AC＝2，以AC为弦的⊙O上有B、D两点，且∠BAC＝∠DAC，则四边形ABCD的面积最大值为 4 ．
【分析】如图，将△ACB绕点C顺时针旋转得到△TCD．S四边形ABCD＝S△ACT，因为AC＝CT＝2，所以当AC⊥CT时，S△ACT的面积最大．
【解答】解：如图，将△ACB绕点C顺时针旋转得到△TCD．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠B＝∠CDT，
∴∠ADC+∠CDT＝180°，
∴S四边形ABCD＝S△ACT，
∵AC＝CT＝2，
∴当AC⊥CT时，S△ACT的面积最大，最大值＝×2×2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用旋转法，添加辅助线，属于中考填空题中的压轴题．
25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．
【分析】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答；
（2）过点A作AG⊥BD，分别证明Rt△AED≌Rt△AGD和Rt△AEC≌Rt△AGB，根据全等三角形的性质计算．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠ADB，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．
∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AGD，
∴GD＝ED＝2，
在Rt△AEC和Rt△AGB中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），
∴BG＝CE，
∵BD＝11，
∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，
∴CE＝BG＝9，
∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
26．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC＝BD，且AC⊥BD
（1）求证：AB＝CD；
（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；
（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；
（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD＝120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可；
（3）连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE＝DE，再利用圆周角定理得到∠BOM＝∠BAC，∠AOE＝∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM＝∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM＝AE，证明结论．
【解答】（1）证明：∵AC＝BD，
∴＝，
则＝，
∴AB＝CD；
（2）解：连接OB、OD，作OH⊥BD于H，
∵弧BD的度数为120°，
∴∠BOD＝120°，
∴∠BOH＝60°，
则BH＝OB＝4，
∴BD＝8，
则四边形ABCD的面积＝×AC×BD＝96；
（3）AD＝2OM，
连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2，
∵OE⊥AD，
∴AE＝DE，
∵∠BOC＝2∠BAC，
而∠BOC＝2∠BOM，
∴∠BOM＝∠BAC，
同理可得∠AOE＝∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD＝90°，
∴∠BOM+∠AOE＝90°，
∵∠BOM+∠OBM＝90°，
∴∠OBM＝∠AOE，
在△BOM和△OAE中，
，
∴△BOM≌△OAE，
∴OM＝AE，
∴AD＝2OM．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．
27．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB＝PC．
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，通过证明△OAP和△OBP均为等边三角形，知OA＝AP＝OB＝PB，∴四边形PBOA是菱形；
（3）在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得．
【解答】解：（1）证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，
连接OP，
∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，P是的中点，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°
又∵OA＝OP＝OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA＝AP＝OB＝PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD＝AP，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．
又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP＝CD，
又∵PD＝AP，
∴CP＝BP+AP．
【点评】本题考查的是圆内接多边形的性质、菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3.正多边形与圆
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．判断一个多边形是否是正多边形，必须各边相等，各角相等，缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
4.正多边形的性质
正多边形的性质：
①正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
②正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
③正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

④边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
⑤任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
满分必刷题：
28．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（ ）
A．B．2C．2D．2
【分析】连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论．
【解答】解：连接OB，OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC，
∵正六边形的周长是12，
∴BC＝2，
∴⊙O的半径是2，
故选：B．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
29．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠EBC的度数为 72° ．
【分析】根据圆内接正五边形的性质以及圆周角、圆心角的关系可求出答案．
【解答】解：如图，连接OC、OD、OE，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠COD＝∠DOE＝＝72°，
∴∠COE＝2∠COD＝144°，
∴∠EBC＝∠COE＝72°，
故答案为：72°．
【点评】本题考查正多边形与圆以及圆心角、圆周角的关系，掌握圆内接正五边形的性质以及圆周角与圆心角的关系是正确计算的前提．
30．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需 7 个五边形．
【分析】延长正五边形的相邻两边交于圆心，求得该圆心角的度数后，用360°除以该圆心角的度数即可得到正五边形的个数，减去3后即可得到本题答案．
【解答】解：延长正五边形的相邻两边，交于圆心，
∵正五边形的外角等于360°÷5＝72°，
∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴360°÷36°＝10，
∴排成圆环需要10个正五边形，
故 排成圆环还需 7个五边形．
故答案为：7．
【点评】本题考查了正五边形与圆的有关运算，属于层次较低的题目，解题的关键是正确地构造圆心角．
31．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（ ）
A．2B．1C．D．
【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可．
【解答】解：如图（1），
O为△ABC的中心，
AD为△ABC的边BC上的高，
则OD为边心距，
∴∠BAD＝30°，
又∵AO＝BO，
∴∠ABO＝∠BAD＝30°，
∴∠OBD＝60°﹣30°＝30°，
在Rt△OBD中，
BO＝2DO，
即AO＝2DO，
∴OD：OA：AD＝1：2：3．
在正△ABC中，AD是高，设BD＝x，则AD＝BD•tan60°＝BD＝x．
∵正三角形ABC面积为cm2，
∴BC•AD＝，
∴×2x•x＝，
∴x＝1．
即BD＝1，则AD＝，
∵OD：OA：AD＝1：2：3，
∴AO＝cm．
即这个圆的半径为cm．
所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°＝，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．
32．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为 cm2．（结果保留π）
【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．
【解答】解：如图所示：连接BO，CO，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB＝BC＝CO＝1，∠ABC＝120°，△OBC是等边三角形，
∴CO∥AB，
在△COW和△ABW中
，
∴△COW≌△ABW（AAS），
∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积＝S扇形OBC是解题关键．
33．将正五边形ABCDE绕着它的中心O逆时针旋转60°时，点A的对应点为点A'，则∠A'BC的度数为 138°或78° ．
【分析】分两种情形，分别作出图形求解即可．
【解答】解：如图1中，由题意，∠AOA′＝60°，∠AOB＝72°，
∴∠A′OB＝12°，
∵OA′＝OB，
∴∠OBA′＝（180°﹣12°）＝84°，
∵∠OBC＝54°，
∴∠A′BC＝84°+54°＝138°．
如图2中，由题意，∠AOA′＝60°，∠AOB＝72°，
∴∠A′OB＝132°，
∵OA′＝OB，
∴∠OBA′＝（180°﹣132°）＝24°，
∵∠OBC＝54°，
∴∠A′BC＝24°+54°＝78°．
综上所述，∠A′BC＝138°或78°．
故答案为：138°或78°．
【点评】本题考查正多边形与圆，旋转变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
34．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
【解答】解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故选：B．
【点评】本题是为几何综合题，主要考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键．
5.弧长公式
弧长公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，R为弧所在圆的半径
扇形面积公式 ：半径为R的圆中n°的圆心角所对的扇形面积公式：
公式中l是弧长,R为弧所在圆的半径,
弧长公式与扇形面积公式是中考必考内容，并且两公式的转换：也是常考点。在记忆可将扇形近似看作三角形，按照三角形面积公式去类比记忆。
满分必刷题：
35．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则的长（ ）
A．2πB．πC．D．
【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠B＝135°，
∴∠D＝180°﹣135°＝45°，
∴∠AOC＝90°，
则的长＝＝π．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式L＝．
36．一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（ ）
A．60°B．120°C．150°D．180°
【分析】首先设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得：＝，再解方程即可．
【解答】解：设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得：＝，
解得：n＝120°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式：l＝．
37．如图，D是以AB为直径的半圆O的中点，＝2，E是直径AB上一个动点，已知AB＝2cm，则图中阴影部分周长的最小值是 （+） cm．
【分析】连接DO，延长DO至F，使得DO＝OF，连接OC、CF、EF，当点D、E、F三点依次在同一直线上时，CE+DE＝DF＝2OD＝2cm的值最小，再根据弧长公式求得的长度，便可得阴影部分周长的最小值．
【解答】解：连接DO，延长DO至F，使得DO＝OF，连接OC、CF、EF、CD，
∵D是以AB为直径的半圆O的中点，
∴∠AOD＝∠BOD＝90°，
∴点D、点E关于AB对称，
∴CE＝EF，
∴CE+DE＝CE+EF≥CF，
当点C、E、F三点依次在同一直线上时，CE+DE＝CF的值最小，
∵＝2，
∴∠COD＝2∠BOC＝60°，
∵CO＝OD＝OF＝1，
∴△OCD为等边三角形，∠F＝∠OCF＝30°，∠OCD＝60°，
∴∠DCF＝90°，DC＝OD＝1，
∴CF＝，
∴CE+DE的最小值为，
∵，
∴图中阴影部分周长的最小值是（+）cm．
故答案为：（+）．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，两点之间线段最短性质，关键是求出CE+DE的最小值．
38．如图，半圆O的直径AB＝2，弦CD∥AB，∠COD＝90°，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】由CD∥AB可知，点A、O到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出S△ACD＝S△OCD，进而得出S阴影＝S扇形COD，根据扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵弦CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∴S阴影＝S扇形COD＝•π•＝×π×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出S阴影＝S扇形COD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形找出面积之间的关系是关键．
39．如图，AB是半圆O的直径，且AB＝8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，则可判断点O是的中点，由折叠的性质可得OD＝OE＝R＝2，在Rt△OBD中求出∠OBD＝30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积．
【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，连接OC，
则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，
∴S弓形BO＝S弓形CO，
在Rt△BOD中，OD＝DE＝R＝2，OB＝R＝4，
∴∠OBD＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴S阴影＝S扇形AOC＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积．
40．如图，正方形ABCD的边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A．B．1﹣C．﹣1D．1﹣
【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积＝无阴影两部分的面积之差，即﹣1＝．
【解答】解：如图：
正方形的面积＝S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积＝2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4＝2S扇形﹣S正方形＝﹣1＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．