数学人教A版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用教学设计

教案及设计说明

《5.3.1函数的单调性》

【教学内容】

函数的单调性与函数导数的正负之间的关系，根据导数的正负性判断函数的单调性.

【教学目标】

1.通过具体函数的图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养；

2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养.

3.能求出简单函数的单调区间，掌握利用导数判断函数的单调性的一般步骤，体会导数法判断函数的单调性的优越性.

【教学重难点】

教学重点：建立函数的单调性与导数的正负之间的联系，掌握利用导数判断函数的单调性的一般步骤.

教学难点：理解函数的单调性与导数的正负之间的联系，利用导数判断函数的单调性和求函数的单调区间．

【教学过程】

（一）复习回顾，温故知新

问题1．我们已经学习过函数的单调性，你能从数、形、定义等不同角度描述一下函数在区间上是单调递增的吗？

师生活动：教师提出问题后，请学生回答问题，并一起归纳出以下一些描述：

①如果在区间上，自变量增大函数值也增大，那么在区间上是单调递增的；

②如果函数的图象在区间上从左到右是上升的，那么在区间上单调递增的；

③如果，且，都有，那么在区间上是单调递增的.

师生活动：教室提问学生，在学生回答的基础上，指出函数的单调性不是函数在某个点处的性质，而是在一定范围内的性质.

设计意图：复习函数的单调性，并让学生认识到，函数的单调性是一个区间上的整体性质，而不是在一个点处的性质，为后面通过区间上任意一点的导数来研究函数在该区间上的单调性做铺垫..

（二）创设情境，探索新知

问题2．图1中（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象，图1中（2）是跳水运动员的速度随时间变化的函数的图象．这里，，是函数的零点．

    运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？

师生活动：教师引导学生理解题意，观察并思考，然后进行分析，得出结论：

   （1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度随时间的增加而增加，即单调递增，相应地，.

（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度随时间的增加而减小，即单调递减，相应地，.

设计意图：通过观察高台跳水问题中高度函数及其导函数的图象，使学生发现当函数在区间上可导时，函数在区间上的单调性与函数在上的导数的正负有关系.在这一过程中，提升学生的直观想象素养.

追问1．我们看到，函数的单调性与导数的正负有内在联系，那么，能否由的正负来判断函数的单调性呢？

师生活动：师生共同归纳高台跳水问题中函数的单调性与导函数正负的关系，得出结论：

当时，>0，函数的图象是“上升”的，函数在内单调递增；

当时，<0，函数的图象是“下降”的，函数在内单调递减．

追问2．上述情况是否具有一般性呢？观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.

师生活动：教师带领学生逐个观察函数图像，分析函数的单调性与导函数的正负.引导学生思考：导数表示函数的图象在点处切线的斜率.可以发现：

在处，，切线是“左下右上”的上升式，函数的图象也是上升的，函数在附近单调递增；

在处，，切线是“左上右下”的下降式，函数的图象也是下降的，函数在附近单调递减.

然后与学生共同分析函数的单调性与导数的正负关系的一般性结论.最终得出结论：

一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：

在某个区间内，如果>0，那么函数在区间内单调递增；

在某个区间内，如果<0，那么函数在区间内单调递减．

追问3．如果在某个区间上恒有=0，那么函数有什么特性？

师生活动：教师启发学生思考=0的几何意义，利用几何意义得出下列结论：

如果在某个区间上恒有=0，那么在这个区间上恒有（为常数）．

设计意图：通过对常见函数的单调性与函数导数正负之间关系的探究，得出用导数的正负性判断函数单调性的一般性结论，并由此让学生体会从特殊到一般的思想、数形结合的思想，发展学生的直观想象素养.

例1．你能利用导数判断下列函数的单调性吗？

（1）；（2）；（3）．

师生活动：教师启发学生思考，并示范解答上述问题.

设计意图：此问题是教科书第86页例1，教师通过例题解答向学生示范如何用导数判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养.

例2．已知导函数的下列信息：

①当1＜x＜4时，；

②当x＜1，或x＞4时，；

③当x＝1，或x＝4时，．

试画出函数图象的大致形状．

师生活动：教师启发学生根据导函数的正负思考函数在相应区间上的单调性，进而画出的

大致图象，最后教师进行画图示范．

设计意图：此问题是教科书第86页例2，通过教师的示范讲解与学生练习，让学生学会如何利用导函数的正负画函数的大致图像，使学生进一步体会数形结合思想，发展直观想象素养.

例3． 求函数的单调区间.

师生活动：教师启发学生思考，并示范解答上述问题.在此基础上，引导学生归纳用导数判断函数单调性的步骤：

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导数的零点；

第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性．

设计意图：此题是教科书例题3，教师通过例题解答向学生示范如何用导数判断函数的单调性，再让学生通过练习熟悉用导数判断函数单调性的步骤，体会算法思想，发展数学运算素养．

追问：如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？

师生活动：学生分别利用单调性的定义和导数判断函数的单调性，教师引导学生一起比较二者的特点和优劣性．利用导数研究函数的单调性，只需要探讨导数值的正负；将不熟悉的，相对复杂的函数，转化为熟悉的，相对简单的函数，简化运算过程．

问题3．研究对数函数与幂函数在区间(0,+∞)上增长快慢的情况．

师生活动：引导学生根据问题3的探究，总结增减有快慢之分，图象有陡缓之别，这些跟导数有什么关系？共同总结：

对数函数的导函数，，所以在区间上单调递增．当越来越大时，越来越小，所以函数递增得越来越慢，图像上升得越来越“平缓”（如图1）．

幂函数的导函数，所以在区间上单调递增。当越来越大时，越来越大，所以函数递增得越来越快，图像上升得越来越“陡峭”（如图2）．

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图像就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图像就比较“平缓”．

设计意图：让学生深刻体会导数与函数的密切关系，由此感悟只求导是不能较为准确地画一个函数的图像的．

例4．设，，两个函数的图象如图所示．判断，的图象与之间的对应关系．

师生活动：学生根据上面的结论，思考完成例题．

设计意图：此问题是教科书第89页例4，通过学生的练习与教师的讲解，学生将进一步巩固结论，体会导数的对函数增减快慢的影响．

（三）课堂小结，总结提升：

教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：

1．本节课你学到了什么知识？你是如何获得这些知识的？

2．本节课用到的数学方法有：由特殊到一般，由抽象到具体．

师生活动：学生思考交流后，教师引导学生归纳得出用导数判断函数的单调性的基本步骤：

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导数的零点；

第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性．

设计意图：回顾本节课的学习内容，总结用导数求函数单调区间的步骤，使学生进一步体会导数在

（四）布置作业，课后巩固：

教材P87练习第2，3题；P89练习第1，3题；习题5.3第1，2题.

设计意图：使学生进一步巩固所学知识，提升解决问题的能力.能利用导数研究函数的单调性，求出单调区间，研究函数的图象与性质.

【目标检测题】（见资源包）