黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知向量a→=(1,-3,2)，b=(-2,1,1)，则|2a→+b→|=( )
A. 50B. 14C. 52D. 14
若直线l的方程为xsinθ+y+1=0，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. [0,π)B. [0,π4]C. [π4,3π4]D. [0,π4]∪[3π4,π)
已知圆x2+y2-4x-5=0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是( )
A. 3x+2y-7=0B. 2x+y-4=0
C. x-2y-3=0D. x-2y+3=0
画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆x26+y2b2=1的蒙日圆为x2+y2=10，则该椭圆的离心率为( )
A. 23B. 13C. 33D. 63
i，j，k是三个不共面的向量，AB=i-2j+2k，BC=2i+j-3k，CD=λi+3j-5k，且A，B，C，D四点共面，则λ的值为( )
A. -1B. 1C. -2D. 2
一入射光线经过点M(2,6)，被直线l：x-y+3=0反射，反射光线经过点N(-3,4)，则反射光线所在直线方程为( )
A. 2x-y+13=0B. 6x-y+22=0
C. x-3y+15=0D. x-6y+27=0
已知圆C1：x2+y2+2x=0，圆C2：x2+y2-6y=0相交于P，Q两点，其中C1，C2分别为圆C1和圆C2的圆心．则四边形PC1QC2的面积为( )
A. 3B. 4C. 6D. 210
如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x2+4y2=4，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|=1，过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M，则|F1M|：|F2M|=( )
A. 2：3B. 1：2C. 1：3D. 1：3
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，则下列结论正确的有( )
A. AB⊥AC
B. 与AB共线的单位向量是(1,1,0)
C. AB与AC夹角的余弦值是5511
D. 平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)
已知直线l的一个方向向量为u=(-36,12)，且l经过点(1,-2)，则下列结论中正确的是( )
A. l的倾斜角等于150°B. l在x轴上的截距等于233
C. l与直线3x-3y+2=0垂直D. l上不存在与原点距离等于18的点
已知圆O1：x2+y2-2x-3=0和圆O2：x2+y2-2y-1=0交点为A，B，则( )
A. 圆O1和圆O2有两条公切线
B. 直线AB的方程为x-y+1=0
C. 圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|
D. 圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+2
已知椭圆M：x225+y220=1的左、右焦点分别是F1，F2，左右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是( )
A. |PF1|+|PF2|=5
B. 直线PA1与直线PA2的斜率之积为-45
C. 存在点P满足∠F1PF2=90°
D. 若△F1PF2的面积为45，则点P的横坐标为±5
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则EF⋅BA=______．
已知点P(x,y)是圆C：x2+y2-23y+2=0上一点，则|x+3y+1|的范围是______．
已知圆M：(x+1)2+(y-1)2=4，直线l：x-y-4=0，P为直线l上的动点，过P做圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，则四边形PAMB的面积的最小值为______．
已知F是椭圆C：x24+y23=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为(2,1)，则|PQ|+|PF|的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题10.0分)
已知直线l1：(m+2)x+my-8=0与直线l2：mx+y-4=0，m∈R．
(1)若l1//l2，求m的值；
(2)若点P(1,m)在直线l2上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程．
(本小题12.0分)
一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40海里处有一个小岛A，距离小岛A10海里范围内可能存在暗礁．
(1)若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，写出暗礁所在区域边界的⊙A方程；
(2)科考船先向东行驶了50海里到达B岛后，再以北偏西30°方向行驶的过程中，是否有触礁的风险？
(本小题12.0分)
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，点E，F分别为AD，PC的中点．
(Ⅰ)证明：DF//平面PBE；
(Ⅱ)求点F到平面PBE的距离．
(本小题12.0分)
已知点M(1,3)，圆C：(x-2)2+(y+1)2=4．
(1)若直线l过点M，且被圆C截得的弦长为23，求直线l的方程；
(2)设O为坐标原点，点N在圆C上运动，线段MN的中点为P，求点P的轨迹方程．
(本小题12.0分)
如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA=PD=AB=1，PB=PC=2，E，F分别是PB，CD中点．
(1)求证AB⊥EF；
(2)求二面角B-EF-C的余弦值．
(本小题12.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为12，上顶点为(0,3)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若MP=λPF,MQ=μQF，判断λ+μ是否为定值？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了向量的坐标运算及其模的计算公式，属于基础题．
利用向量的坐标运算及其模的计算公式即可得出．
【解答】
解：∵2a+b=2(1,-3,2)+(-2,1,1)=(0,-5,5)．
∴|2a+b|=0+52×2=52．
故选C．
2.【答案】D
【解析】解：直线l：xsinθ+y+1=0(θ∈R)的倾斜角α满足tanα=-sinθ，
∴-1≤tanα≤1，
又0≤α