江苏省南通市如皋市2022-2023学年八年级上学期期中数学试题

2022-2023学年江苏省南通市如皋市

八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．第24届冬季奥林匹克运动会于年月日在北京开幕，冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源．下列冬奥元素图片中，是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

2．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，≌，，，则的长是（    ）

A．    B．    C．    D．

5．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形不重叠无缝隙，若拼成的长方形一边长为，则长方形的面积是（    ）

A． B． C． D．

6．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，连接，若是等边三角形，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

7．如图，是的边上的中线，，，则的值可以是（    ）

A．  B．  C．  D．

8．如图，在中，，为上一点，且，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

9．如图，在中，，，垂足为，点，分别为，上的动点，且，，则的最小值是（    ）

A．3  B．6  C．9   D．12

10．已知实数，满足，，当为整数时，则（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11．点关于轴对称的点的坐标是______．

12．已知，，则______．

13．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则______

14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，且，点在轴正半轴，若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点坐标为______．

15．如图，是荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离绳长，当秋千摆动到最高点时，测得当秋千从处摆动到时，，则到地面的距离是______．

16．如图，在中，，按以下步骤作图：以为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交于点若，，则线段的长为______．

17．对于有理数，，有如下定义：：当时，；当时，若，则的值为______．

18．如图，在中，，，点是边上的一个动点，连接，以为边作，使，为的中点，连接，则线段的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．（本小题分）

计算：（1）；
（2）．

20．（本小题分）

先化简，再求值：，其中．

21．（本小题分）

如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的不写作法，并直接写出点的坐标；
（2）请在轴上找一点，使得最小，并直接写出点的坐标．

22．（本小题分）

如图，点，，，在同一条直线上，，，求证：．

23．（本小题分）

在学习“平方差公式”时，张老师出了一道题：计算嘉嘉发现把写成，把写成后可以连续运用平方差公式进行计算．
请根据上述思路，计笲：
（1）；
（2）．

24．（本小题分）

如图，和都是等腰直角三角形，，连接，．
（1）求证：≌；

（2）过点作，分别交，于点，，若，与的交点为，请判断和的大小关系，并说明理由．

25．（本小题分）

如图，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长；
（3）如图，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，则______．

26．（本小题分）

定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．

27．（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有______只填写序号．

①顶角是的等腰三角形；

②等腰直角三角形；

③有一个角是的直角三角形．

（2）如图，在中，，，将沿边所在的直线翻折得到，延长到点，连接．

①若，求证：是“倍角三角形”；

②点在线段上，连接若，分所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出的度数．

答案和解析

1．【答案】

【解析】解：由题意知，选项中得图形都不是轴对称图形，选项中的图形为轴对称图形，

故选：．
根据轴对称的概念得出结论即可．
本题主要考查轴对称的知识，熟练掌握轴对称的概念是解题的关键．

2．【答案】

【解析】解：、，故A符合题意；B、，故B不符合题意；

C、，故C不符合题意；D、，故D不符合题意；故选：．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

3．【答案】

【解析】解：由三角形内角和定理得，，

两个三角形全等，，故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解本题的关键．

4．【答案】

【解析】解：≌，，，，，

，故选：．

根据全等三角形的性质求出和，即可求出答案．

本题考查了全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，题目比较好，难度不是很大．
5．【答案】

【解析】解：由题意得，拼成的长方形的面积为：

，故选：．

根据长方形的面积等于两个正方形的面积差，列式计算即可．

本题考查列代数式，平方差公式，掌握拼图前后面积之间的和差关系是正确解答的关键．

6．【答案】

【解析】解：垂直平分，，，

为等边三角形，，．故选：．

根据垂直平分线的性质得到，再利用等边三角形的性质得到，从而可得的度数．

本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到．

7．【答案】

【解析】解：延长至，使，连接．

在与中，，≌，．

在中，，

即，．，，故选：．

延长至，使，连接根据证明≌，得，再根据三角形的三边关系即可求解．

此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．

8．【答案】

【解析】解：设，，，

，，，

，，

，，，，故选：．
设，利用等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角的性质可得，然后再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的内角和定理可得，进行计算即可解答．

本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

9．【答案】

【解析】解：过作于，交于，连接，则最小根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短，由于和关于对称，则，

，，和关于直线对称，，即，

，，，即，故选：．

过作于，交于，连接，则最小，即．

本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．

10．【答案】

【解析】解：，，，

，，，

，为整数，或，故选：．

由，得，根据，得，即可得到答案．

本题考查完全平方公式的应用和不等式的应用，解题的关键是运用完全平方公式把式子变形和不等式的性质．

11．【答案】

【解析】【分析】

此题考查的是关于坐标轴对称的点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可求解．

【解答】解：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，

点关于轴对称的点的坐标是．故答案为：．

12．【答案】

【解析】解：，，，．故答案为：．

直接将已知提取公因式，进而分解因式得出答案．

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将已知变形是解题关键．

13．【答案】

【解析】解：在和中，，≌，，

，，故答案为：．

利用证得≌，然后利用全等三角形的性质证得，从而根据得到．

本题考查了全等图形的定义，解题的关键是证得两个三角形全等，难度不大．

14．【答案】

【解析】解：根据题意得：若点在轴正半轴上，且是等腰三角形，

则，、，，点在轴正半轴时，点的坐标为，

故答案为：．

由题意得出，即可得出结果．

本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形性质，熟练掌握等腰三角形的判定，求出是解决问题的关键．

15．【答案】 

【解析】解：，，，，

，，

如图，作，垂足为，过作于．

，；

在中，；又，，；

在和中，≌；

，，，；，
≌，，
作，垂足为．

，，，

即到地面的距离是，故答案为：

作，垂足为，根据根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

16．【答案】

【解析】解：过点作于，如图，

由作法得平分，，

，，，．故答案为：．

过点作于，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式计算出，从而得到的长．

本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．

17．【答案】

【解析】解：，，

，，，，，

．故答案为：．

根据新定义可得：，通过整理配方可得：，利用非负性的性质可判断出，，从而代入求值．

本题考查了新定义，配方法的应用，非负数的性质，解题关键是将不等式进行配方．

18．【答案】

【解析】解：如图，取中点，连接，，

，点是中点，点是中点，，

，，，，，

，，

在和中，，≌，，

有最小值，也有最小值，当时，有最小值，

，，，，线段的最小值为．故答案为：．

取中点，连接，，由“”可证≌，可得，则当时，有最小值，利用含度角的直角三角形可求解．

本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

19．【答案】解：（1） ；

（2） ．

【解析】（1）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后算整式的除法即可；

（2）利用多项式乘多项式的法则进行求解即可．

本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

20．【答案】解： ，
当时，原式．

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．

本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

21．【答案】解：（1）如图所示，即为所求，；
 

（2）如图所示，点即为所求，．

【解析】（1）根据轴对称变换的性质，找出顶点即可求解；
（2）将点关于轴的对称点与点连接交轴于点，则点即为所求．再根据图形直接得出点的坐标即可．
本题考查了轴对称变换的性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．

22．【答案】证明：，，，

在和中，，≌，．

【解析】首先利用已知条件证明，然后证明≌即可求解．
此题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确选择全等三角形的判定方法是解题的关键．

23．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式

．

【解析】（1）将原式化为，连续利用平方差公式进行计算即可；
（2）将改写成后，连续利用平方差公式进行计算即可．
本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．

24．【答案】（1）证明：，，

在和中，，≌；
（2）解：理由如下：
和都是等腰直角三角形，，

，，

，，

，，，

，．

【解析】（1）根据等式性质证明，再通过全等三角形的判定得结论；

（2）先由平行线的性质得，根据等腰三角形的性质求得求得，进而求得，再由三角形的内角得定理得，便可得和的大小关系．

本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，关键是综合应用这些知识解题．

25．【答案】

【解析】（1）证明：，，，

，，

在和中，，≌；

（2）解：≌，，，．

，；

（3）解：过点作于，

，，，

，，≌，，，

，，，

≌，，，，

，，≌，，

．

故答案为：．
（1）先根据互余角性质得，再根据得结论；

（2）由（1）中全等三角形的性质求得，再由线段和差求得结果；

（3）过点作于，先证明≌，得，再已知三角形的面积求得，再证明≌得，最后由线段和差得结果．

本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

26．【答案】

【解析】（1）解：若顶角是的等腰三角形，两个底角分别为，，
顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”，

若等腰直角三角形，三个角分别为，，，

，等腰直角三角形是“倍角三角形”，

若有一个是的直角三角形，另两个角分别为，，

，有一个的直角三角形是“倍角三角形”，

故答案为：；
（2）证明：，，

将沿边所在的直线翻折得到，

，，，，
，，，，是“倍角三角形”；

解：由可得，

如图，

若是等腰三角形，则是“倍角三角形”，是等边三角形，
，，

是“倍角三角形”，或，或；

若是等腰三角形，则是“倍角三角形”，

或或或，

或或或，或或或，

是等腰三角形，或或或，

综上所述：的度数为或或或．

（1）利用“倍角三角形”的定义依次判断可求解；

（2）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论；

分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解．

本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，理解“倍角三角形”的定义并运用是解题的关键．