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江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷
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这是一份江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC≌△DEF的根据是（ ）
A．AAS B．SSS C．ASA D．以上都正确
3．在﹣，0.，，，（﹣1）0，﹣，0.1010010001…等数中，无理数个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知等腰三角形的一个角为70°，则底角为（ ）
A．70° B．40° C．70°或55° D．40°或70°
5．下列尺规作图求作BC上点D，使得△ACD的周长等于AC+BC正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3）
7．如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝90°，下列结论①△BED≌△AFD；②AC＝BE+FC；③S1，S2分别表示△ABC和△EDF的面积，则；④EF＝AD；⑤∠AGF＝∠AED正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．①②③⑤
二、填空题（每题3分，共30分）
9．16的算术平方根是 ．
10．等腰三角形的两边长分别为8、5，则它的周长为 ．
11．点P在第二象限内，P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为 ．
12．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，∠CBD＝130°，则∠BAD＝ °．
13．一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分线，BD＝5，则点D到边AC的距离为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝26°，则∠ADE的度数是 ．
16．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF平行BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为 ．
17．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，则AP的长为 ．
18．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在射线OM、ON上，当点B在ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 ．
三、解答题（共96分）
19．计算或解方程：
（1）|﹣4|﹣+3﹣2﹣（﹣2022）0；
（2）（x+2）3＝﹣27．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．
（1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，直接画出两次平移后的△A1B1C1并写出点A1的坐标 ；
（2）△ABC的面积为 ；
（3）用无刻度的直尺在x轴上求作点P，使PA+PC最小，保留作图痕迹，不写作法，在图中标注点P．
21．若一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和2﹣m，n是8的立方根，c是的整数部分，求m+n+c的立方根．
22．已知点Q（2m﹣6，m+2），试分别根据下列条件，求出m的值并写出点Q的坐标．
（1）若点Q在y轴上，求点Q的坐标．
（2）若点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．
23．如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，AC＝BD，AE∥DF，∠1＝∠2．求证：BE＝CF．
24．某单位有一块四边形的空地，∠B＝90°，量得各边的长度如图（单位：米）．现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？
25．针对于等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：在△ABC中，AD平分∠CAB，交BC边于点D，且CD＝BD，求证：AB＝AC．
以下是甲、乙两位同学的做法．
甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角等和一组边等，再加一组公共边，可证△ACD≌△ABD，所以这个三角形为等腰三角形；
乙：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，可证△ACD≌△EBD，依据已知条件可推出AB＝AC，所以这个三角形为等腰三角形．
（1）对于甲、乙两人的做法，下列判断正确的是 ；
A．两人都正确
B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确
（2）选择一种你认为正确的做法，并证明．
26．已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在边AC上运动，点D在边AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DP与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长；
（3）若AC＝6，BC＝8，则PE的最小值为 ．（直接写出结果）
28．在“学本课堂”的实践中，何老师经常让学生以“问题”为中心进行自主、合作、探究学习．
【课堂提问】何老师在课堂中提出这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？
【互动生成】经小组合作交流后，各小组派代表发言．
（1）小华代表第3小组发言：AB＝2BC．请你补全小华的证明过程．
证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝90°+90°＝180°，
即：点B、C、D共线．
（请在下面补全小华的证明过程）
（2）受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图2，在△ABC中，如果把条件“∠ACB＝90°”改为“∠ACB＝135°”，保持“∠BAC＝30°”不变，若BC＝1，求AB的长．
【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．如图3，点D是△ABC内一点，AD＝AC，∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ADB+∠ACB＝210°，则AD、DB、BC三者之间的数量关系是 ．
【课后拓展】如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝60°，且AC＝3，则△ABD的周长为 ．
参考答案
一、选择题（每题3分，共24分）
1．低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形．故选项正确；
B、不是轴对称图形．故选项错误；
C、不是轴对称图形．故选项错误；
D、不是轴对称图形．故选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
2．在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC≌△DEF的根据是（ ）
A．AAS B．SSS C．ASA D．以上都正确
【分析】观察图形，AB、DE是∠A和∠D、∠B和∠E两角的夹边，由全等三角形的判定定理得出结果．
解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
故选：C．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理：①两边夹角对应相等（SAS），②两角夹边对应相等（ASA），③三边对应相等（SSS），④两角及一边对应相等（AAS）．
3．在﹣，0.，，，（﹣1）0，﹣，0.1010010001…等数中，无理数个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据无理数的定义判断即可．
解：（﹣1）0＝1，﹣＝3，
故在﹣，0.，，，（﹣1）0，﹣，0.1010010001…等数中，无理数有﹣，，0.1010010001…，共3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
4．已知等腰三角形的一个角为70°，则底角为（ ）
A．70° B．40° C．70°或55° D．40°或70°
【分析】根据等腰三角形的性质分情况讨论①底角为70°，②顶角为70°，进一步求解即可．
解：根据题意，
①底角为70°，
②顶角为70°，底角为（180°﹣70°）÷2＝55°，
综上所述，底角为70°或55°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．下列尺规作图求作BC上点D，使得△ACD的周长等于AC+BC正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】当AB的垂直平分交BC于点D时，DA＝DB，然后证明△ACD的周长等于AC+BC，即可进行判断．
解：当AB的垂直平分交BC于点D时，
∴DA＝DB，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
6．已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3）
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
解：∵点P（3，﹣1）与点Q关于y轴对称，
∴点Q的坐标为（﹣3，﹣1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
7．如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．
解：∵52＝25，122＝144，92＝81，152＝225，132＝169，
∴52+122＝132，52+92≠122，92+122＝152，52+132≠152，
∴A错误，B错误，C正确，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝90°，下列结论①△BED≌△AFD；②AC＝BE+FC；③S1，S2分别表示△ABC和△EDF的面积，则；④EF＝AD；⑤∠AGF＝∠AED正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．①②③⑤
【分析】由等腰直角三角形的性质可证△BED≌△AFD（ASA），从而得出△DEF是等腰直角三角形，即可对结论进行逐一判断．
解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠C＝45°，AD＝BD，∠ADC＝90°，
∵∠ADC＝∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BED和△AFD中，
，
∴△BED≌△AFD（ASA），故①正确；
∴BE＝AF，
∴AC＝AF+FC＝BE+FC，故②正确；
∵△BED≌△AFD，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE⊥AB时，S2最小为，
当点E与A或B重合时，S2最大为S1，
∴，故③正确；
∵EF是变化的，而AD为定值，故④错误；
∵∠AGF＝∠BAD+∠AEG＝45°+∠AEG，
∠AED＝∠AEG+∠DEF＝∠AEG+45°，
∴∠AGF＝∠AED，故⑤正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与中，三角形的外角的性质等知识，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共30分）
9．16的算术平方根是 4 ．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
解：∵42＝16，
∴＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．
10．等腰三角形的两边长分别为8、5，则它的周长为 21或18 ．
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为8，底边长为5时，当等腰三角形的腰长为5，底边长为8时，然后分别进行计算即可解答．
解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为8，底边长为5时，
∴等腰三角形的周长＝8+8+5＝21；
当等腰三角形的腰长为5，底边长为8时，
∴等腰三角形的周长＝5+5+8＝18；
综上所述：等腰三角形的周长为21或18；
故答案为：21或18．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
11．点P在第二象限内，P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为 （﹣2，1） ．
【分析】根据点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，再根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．
解：P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，得
|y|＝1，|x|＝2．
由点P在第二象限内，得
P（﹣2，1），
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查了点的坐标，利用了点到坐标轴的距离：点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离．
12．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，∠CBD＝130°，则∠BAD＝ 25 °．
【分析】证明Rt△ACB≌Rt△ADB，可得∠ABD＝∠ABC＝∠CBD，∠BAD+∠ABD＝90°，进而可得∠BAD的值．
解：∵∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，AB＝AB，
∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL），
∴∠ABD＝∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD+∠ABC＝2∠ABD，
∵∠CBD＝130°，
∴∠ABD＝×∠CBD＝×130°＝65°，
∵∠D＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形的全等，利用直角三角形两个锐角互余的性质来求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
13．一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 120 ．
【分析】先求得三角形的三边长，然后依据勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，最后，再利用三角形的面积公式求解即可．
解：三角形的三边长分别为60×＝10，60×＝24，60×＝26．
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形．
∴三角形的面积＝×10×24＝120．
故答案为：120．
【点评】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，证得三角形为直角三角形是解题的关键．
14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分线，BD＝5，则点D到边AC的距离为 5 ．
【分析】过点D作DE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝BD，即可得到点D到边AC的距离．
解：如图，过点D作DE⊥AC于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠B＝90°，
∴DE＝BD＝5，
即点D到AC边的距离是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边距离相等的性质是解决问题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝26°，则∠ADE的度数是 38° ．
【分析】利用三角形内角和定理及折叠的性质，可求出∠CED的度数，再利用三角形的外角性质，可求出∠ADE的度数．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣26°﹣90°＝64°．
由折叠的性质，可知：∠CED＝∠B＝64°．
又∵∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠ADE＝∠CED﹣∠A＝64°﹣26°＝38°．
故答案为：38°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF平行BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为 64 ．
【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2＝EF2，即可得出结果．
解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，
即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝4，
∴EF＝8，
由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2＝64．
【点评】本题考查角平分线的定义、勾股定理、直角三角形的判定；熟练掌握勾股定理，证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．
17．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，则AP的长为 或2或 ．
【分析】先利用勾股定理计算AC＝4，再进行讨论：当P点在AB上，PA＝PB和当P点在AC上，PA＝PC，易得对应AP的值；当P点在AC上，PB＝PC，如图2，设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x，利用勾股定理得到32+t2＝（4﹣t）2，然后解方程得到此时AP的长．
解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，
∴AC＝＝4，
当P点在AB上，PA＝PB，则AP＝AB＝；
当P点在AC上，PA＝PC，则AP＝AC＝2，
当P点在AC上，PB＝PC，如图2，
设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x，
在Rt△ABP中，32+t2＝（4﹣t）2，解得t＝，
即此时AP＝，
综上所述，AP的长为或2或．
故答案为：或2或．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了新定义的运用能力和勾股定理．
18．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在射线OM、ON上，当点B在ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 7 ．
【分析】作CH⊥AB于H，连接OH，如图，根据等腰三角形的性质得AH＝BH＝AB＝5，再利用勾股定理计算出CH＝12，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得OH＝AB＝5，则利用三角形三边的关系得到OC≥CH﹣OH（当点C、O、H共线时取等号），从而得到OC的最小值．
解：作CH⊥AB于H，连接OH、OC，如图所示：
∵AC＝BC＝13，
∴AH＝BH＝AB＝5，
在Rt△BCH中，CH＝＝＝12，
∵H为AB的中点，
∴OH＝AB＝5，
∵OC≥CH﹣OH（当点C、O、H共线时取等号），
∴OC的最小值为12﹣5＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了轨迹、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识；熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（共96分）
19．计算或解方程：
（1）|﹣4|﹣+3﹣2﹣（﹣2022）0；
（2）（x+2）3＝﹣27．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用立方根的意义，进行计算即可解答．
解：（1）|﹣4|﹣+3﹣2﹣（﹣2022）0
＝4﹣3+﹣1
＝；
（2）（x+2）3＝﹣27，
x+2＝﹣3，
x＝﹣5．
【点评】本题考查了实数的运算，立方根，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．
（1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，直接画出两次平移后的△A1B1C1并写出点A1的坐标 （﹣5，﹣3） ；
（2）△ABC的面积为 6.5 ；
（3）用无刻度的直尺在x轴上求作点P，使PA+PC最小，保留作图痕迹，不写作法，在图中标注点P．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（3）先作A点关于x轴的对称点A′，连接CA′交x轴于P点，由于PA＝PA′，则PA+PC＝CA′，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（﹣5，3）；
故答案为（﹣5，3）；
（2）△ABC的面积＝4×4﹣×4×1﹣×3×1﹣×4×3＝6.5；
故答案为：6.5；
（3）如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了最短路线问题．
21．若一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和2﹣m，n是8的立方根，c是的整数部分，求m+n+c的立方根．
【分析】先利用平方根的意义可得2m﹣1+2﹣m＝0，从而可得m＝﹣1，再利用立方根的意义可得n＝2，然后再估算出的值的范围，从而求出c＝3，最后代入式子中进行计算即可解答．
解：∵一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和2﹣m，
∴2m﹣1+2﹣m＝0，
解得：m＝﹣1，
∵n是8的立方根，
∴n＝2，
∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3，
∴c＝3，
∴m+n+c＝﹣1+2+3＝4，
∴m+n+c的立方根为．
【点评】本题考查了无理数的估算，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
22．已知点Q（2m﹣6，m+2），试分别根据下列条件，求出m的值并写出点Q的坐标．
（1）若点Q在y轴上，求点Q的坐标．
（2）若点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．
【分析】（1）根据y轴上的点的横坐标等于零，可得方程，解方程可得答案；
（2）根据点Q到两坐标轴的距离相等，可得关于m的方程，解方程可得答案．
解：（1）点Q在y轴上，则2m﹣6＝0，
解得m＝3．
所以m+2＝5，
故Q点的坐标是（0，5）；
（2）当点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，有2m﹣6＝m+2，
解得m＝8．
所以2m﹣6＝10．
故Q点的坐标是（10，10）．
【点评】本题考查了点的坐标，y轴上的点的横坐标等于零；到两坐标轴的距离相等的点在一，三象限夹角平分线上．
23．如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，AC＝BD，AE∥DF，∠1＝∠2．求证：BE＝CF．
【分析】根据等式的性质得出AB＝DC，再利用ASA证明△ABE≌△DCF．
【解答】证明：∵AC＝AB+BC，BD＝BC+CD，AC＝BD，
∴AB＝DC，
∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE＝CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，利用全等三角形的判定定理ASA证出△ABE≌△DCF是解题的关键．
24．某单位有一块四边形的空地，∠B＝90°，量得各边的长度如图（单位：米）．现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？
【分析】连接AC，先证明△ACD是直角三角形，根据S四边形ABCD＝S△BAC+S△DAC求出四边形ABCD的面积即可解决问题．
解：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝52，
在△ACD中，CD2＝132，AD2＝122，
∵52+122＝132，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴∠DAC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△BAC+S△DAC＝AB•BC+AC•AD＝36cm2，
∵36×30＝1080（元），
∴这块地全部种草的费用是1080元
【点评】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是证明△ADC是直角三角形，属于中考常考题型．
25．针对于等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：在△ABC中，AD平分∠CAB，交BC边于点D，且CD＝BD，求证：AB＝AC．
以下是甲、乙两位同学的做法．
甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角等和一组边等，再加一组公共边，可证△ACD≌△ABD，所以这个三角形为等腰三角形；
乙：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，可证△ACD≌△EBD，依据已知条件可推出AB＝AC，所以这个三角形为等腰三角形．
（1）对于甲、乙两人的做法，下列判断正确的是 C ；
A．两人都正确
B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确
（2）选择一种你认为正确的做法，并证明．
【分析】（1）由全等三角形的判定及等腰三角形的判定可得出答案；
（2）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，由“SAS”可证△ACD≌△EBD，可得∠CAD＝∠E＝∠BAD，AC＝BE，可得AC＝BE＝AB．
解：（1）由全等三角形的判定方法可知甲错误，乙正确，
故选：C；
（2）乙的方法正确．
证明：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴∠CAD＝∠E，AC＝BE，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠E，
∴AB＝BE，
∴AC＝AB．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
26．已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．
【分析】连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD＝CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得BE＝CF．
【解答】证明：连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD＝CD，
∵D为∠BAC平分线上的点，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，考查了垂直平分线的性质，考查了角平分线的性质，本题中求证Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键．
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在边AC上运动，点D在边AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DP与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长；
（3）若AC＝6，BC＝8，则PE的最小值为 5 ．（直接写出结果）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．
（3）如图：
过P作PH⊥AB于H，PT⊥EF于T，则四边形PHFT为矩形，
∴pT＝HF，
∵PA＝PD，PH⊥AD，
∴AH＝HD，
∵DF＝EF，
∴HF＝AB＝5，
∴PT＝HF＝5，
∵PE≥PT，
∴PE最小值＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
28．在“学本课堂”的实践中，何老师经常让学生以“问题”为中心进行自主、合作、探究学习．
【课堂提问】何老师在课堂中提出这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？
【互动生成】经小组合作交流后，各小组派代表发言．
（1）小华代表第3小组发言：AB＝2BC．请你补全小华的证明过程．
证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝90°+90°＝180°，
即：点B、C、D共线．
（请在下面补全小华的证明过程）
（2）受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图2，在△ABC中，如果把条件“∠ACB＝90°”改为“∠ACB＝135°”，保持“∠BAC＝30°”不变，若BC＝1，求AB的长．
【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．如图3，点D是△ABC内一点，AD＝AC，∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ADB+∠ACB＝210°，则AD、DB、BC三者之间的数量关系是 AD2＝DB2+BC2 ．
【课后拓展】如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝60°，且AC＝3，则△ABD的周长为 3 ．
【分析】（1）根据翻折的性质和等边三角形的判定：△ABD是等边三角形，可得结论；
（2）如图2，同理把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，证明△ABD是等边三角形，根据勾股定理得：BD的长，可得AB的长；
【能力迁移】
如图2，把△ABD沿着AB翻折，得到△AEB，连接CE，先证明△AEC是等边三角形，得CE＝AE＝AD，根据四边形的内角和定理计算∠EBC＝360°﹣60°﹣210°＝90°，利用勾股定理可得结论；
【课后拓展】
如图4，同理作辅助线，先证明A、B、E三点共线，再证明B、E、F三点共线，得△ACF是等腰直角三角形，可得AF的长，从而得结论．
解：（1）AB＝2BC，补全小华的证明过程．
证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝90°+90°＝180°，
即：点B、C、D共线，
由翻折得：AD＝AB，∠CAD＝∠CAB＝30°，BC＝CD，
∴∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝2BC；
（2）如图2，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．
由翻折得：AD＝AB，∠CAD＝∠CAB＝30°，BC＝CD＝1，
∴∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，
∵∠ACB＝∠ACD＝135°，
∴∠BCD＝90°，
∴BD＝＝＝，
∴AB＝BD＝；
【能力迁移】
AD、DB、BC三者之间的数量关系是：AD2＝DB2+BC2；
理由是：如图2，把△ABD沿着AB翻折，得到△AEB，连接CE，
∴∠EAB＝∠BAD＝∠DAC＝20°，BE＝DB，AE＝AD＝AC，
∴∠EAC＝60°，
∴△AEC是等边三角形，
∴CE＝AE＝AD，
∵∠ADB＝∠AEB，∠ADB+∠ACB＝210°，
∴∠EBC＝360°﹣60°﹣210°＝90°，
∴CE2＝EB2+BC2，
∴AD2＝DB2+BC2；
故答案为：AD2＝DB2+BC2；
【课后拓展】
如图4，把△CBD沿着CB翻折，得到△CEB，
∴∠BEC＝∠BDC＝60°，CD＝CE，BD＝BE，∠BCD＝∠BCE＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∵∠BDC＝60°，∠BCD＝45°，
∴∠DBC＝75°，
∵∠BAD＝90°，∠ADB＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠ABE＝30°+75°+75°＝180°，
∴A、B、E三点共线，
把△CDA绕点C逆时针旋转90°得到△CEF，
∴∠CEF＝∠ADC＝120°，
∴B、E、F三点共线，
∴AC＝CF＝3，
∵∠ACD＝∠ECF，
∴∠ACF＝90°，
∴AF＝3，即AB+BE+EF＝AB+BD+AD＝3，
则△ABD的周长为3；
故答案为：3．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用翻折添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学教育集团八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC≌△DEF的根据是（ ）
A．AAS B．SSS C．ASA D．以上都正确
3．在﹣，0.，，，（﹣1）0，﹣，0.1010010001…等数中，无理数个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知等腰三角形的一个角为70°，则底角为（ ）
A．70° B．40° C．70°或55° D．40°或70°
5．下列尺规作图求作BC上点D，使得△ACD的周长等于AC+BC正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3）
7．如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝90°，下列结论①△BED≌△AFD；②AC＝BE+FC；③S1，S2分别表示△ABC和△EDF的面积，则；④EF＝AD；⑤∠AGF＝∠AED正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．①②③⑤
二、填空题（每题3分，共30分）
9．16的算术平方根是 ．
10．等腰三角形的两边长分别为8、5，则它的周长为 ．
11．点P在第二象限内，P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为 ．
12．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，∠CBD＝130°，则∠BAD＝ °．
13．一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分线，BD＝5，则点D到边AC的距离为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝26°，则∠ADE的度数是 ．
16．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF平行BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为 ．
17．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，则AP的长为 ．
18．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在射线OM、ON上，当点B在ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 ．
三、解答题（共96分）
19．计算或解方程：
（1）|﹣4|﹣+3﹣2﹣（﹣2022）0；
（2）（x+2）3＝﹣27．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．
（1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，直接画出两次平移后的△A1B1C1并写出点A1的坐标 ；
（2）△ABC的面积为 ；
（3）用无刻度的直尺在x轴上求作点P，使PA+PC最小，保留作图痕迹，不写作法，在图中标注点P．
21．若一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和2﹣m，n是8的立方根，c是的整数部分，求m+n+c的立方根．
22．已知点Q（2m﹣6，m+2），试分别根据下列条件，求出m的值并写出点Q的坐标．
（1）若点Q在y轴上，求点Q的坐标．
（2）若点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．
23．如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，AC＝BD，AE∥DF，∠1＝∠2．求证：BE＝CF．
24．某单位有一块四边形的空地，∠B＝90°，量得各边的长度如图（单位：米）．现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？
25．针对于等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：在△ABC中，AD平分∠CAB，交BC边于点D，且CD＝BD，求证：AB＝AC．
以下是甲、乙两位同学的做法．
甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角等和一组边等，再加一组公共边，可证△ACD≌△ABD，所以这个三角形为等腰三角形；
乙：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，可证△ACD≌△EBD，依据已知条件可推出AB＝AC，所以这个三角形为等腰三角形．
（1）对于甲、乙两人的做法，下列判断正确的是 ；
A．两人都正确
B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确
（2）选择一种你认为正确的做法，并证明．
26．已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在边AC上运动，点D在边AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DP与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长；
（3）若AC＝6，BC＝8，则PE的最小值为 ．（直接写出结果）
28．在“学本课堂”的实践中，何老师经常让学生以“问题”为中心进行自主、合作、探究学习．
【课堂提问】何老师在课堂中提出这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？
【互动生成】经小组合作交流后，各小组派代表发言．
（1）小华代表第3小组发言：AB＝2BC．请你补全小华的证明过程．
证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝90°+90°＝180°，
即：点B、C、D共线．
（请在下面补全小华的证明过程）
（2）受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图2，在△ABC中，如果把条件“∠ACB＝90°”改为“∠ACB＝135°”，保持“∠BAC＝30°”不变，若BC＝1，求AB的长．
【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．如图3，点D是△ABC内一点，AD＝AC，∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ADB+∠ACB＝210°，则AD、DB、BC三者之间的数量关系是 ．
【课后拓展】如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝60°，且AC＝3，则△ABD的周长为 ．
参考答案
一、选择题（每题3分，共24分）
1．低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形．故选项正确；
B、不是轴对称图形．故选项错误；
C、不是轴对称图形．故选项错误；
D、不是轴对称图形．故选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
2．在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC≌△DEF的根据是（ ）
A．AAS B．SSS C．ASA D．以上都正确
【分析】观察图形，AB、DE是∠A和∠D、∠B和∠E两角的夹边，由全等三角形的判定定理得出结果．
解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
故选：C．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理：①两边夹角对应相等（SAS），②两角夹边对应相等（ASA），③三边对应相等（SSS），④两角及一边对应相等（AAS）．
3．在﹣，0.，，，（﹣1）0，﹣，0.1010010001…等数中，无理数个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据无理数的定义判断即可．
解：（﹣1）0＝1，﹣＝3，
故在﹣，0.，，，（﹣1）0，﹣，0.1010010001…等数中，无理数有﹣，，0.1010010001…，共3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
4．已知等腰三角形的一个角为70°，则底角为（ ）
A．70° B．40° C．70°或55° D．40°或70°
【分析】根据等腰三角形的性质分情况讨论①底角为70°，②顶角为70°，进一步求解即可．
解：根据题意，
①底角为70°，
②顶角为70°，底角为（180°﹣70°）÷2＝55°，
综上所述，底角为70°或55°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．下列尺规作图求作BC上点D，使得△ACD的周长等于AC+BC正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】当AB的垂直平分交BC于点D时，DA＝DB，然后证明△ACD的周长等于AC+BC，即可进行判断．
解：当AB的垂直平分交BC于点D时，
∴DA＝DB，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
6．已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3）
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
解：∵点P（3，﹣1）与点Q关于y轴对称，
∴点Q的坐标为（﹣3，﹣1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
7．如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．
解：∵52＝25，122＝144，92＝81，152＝225，132＝169，
∴52+122＝132，52+92≠122，92+122＝152，52+132≠152，
∴A错误，B错误，C正确，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝90°，下列结论①△BED≌△AFD；②AC＝BE+FC；③S1，S2分别表示△ABC和△EDF的面积，则；④EF＝AD；⑤∠AGF＝∠AED正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．①②③⑤
【分析】由等腰直角三角形的性质可证△BED≌△AFD（ASA），从而得出△DEF是等腰直角三角形，即可对结论进行逐一判断．
解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠C＝45°，AD＝BD，∠ADC＝90°，
∵∠ADC＝∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BED和△AFD中，
，
∴△BED≌△AFD（ASA），故①正确；
∴BE＝AF，
∴AC＝AF+FC＝BE+FC，故②正确；
∵△BED≌△AFD，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE⊥AB时，S2最小为，
当点E与A或B重合时，S2最大为S1，
∴，故③正确；
∵EF是变化的，而AD为定值，故④错误；
∵∠AGF＝∠BAD+∠AEG＝45°+∠AEG，
∠AED＝∠AEG+∠DEF＝∠AEG+45°，
∴∠AGF＝∠AED，故⑤正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与中，三角形的外角的性质等知识，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共30分）
9．16的算术平方根是 4 ．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
解：∵42＝16，
∴＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．
10．等腰三角形的两边长分别为8、5，则它的周长为 21或18 ．
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为8，底边长为5时，当等腰三角形的腰长为5，底边长为8时，然后分别进行计算即可解答．
解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为8，底边长为5时，
∴等腰三角形的周长＝8+8+5＝21；
当等腰三角形的腰长为5，底边长为8时，
∴等腰三角形的周长＝5+5+8＝18；
综上所述：等腰三角形的周长为21或18；
故答案为：21或18．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
11．点P在第二象限内，P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为 （﹣2，1） ．
【分析】根据点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，再根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．
解：P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，得
|y|＝1，|x|＝2．
由点P在第二象限内，得
P（﹣2，1），
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查了点的坐标，利用了点到坐标轴的距离：点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离．
12．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，∠CBD＝130°，则∠BAD＝ 25 °．
【分析】证明Rt△ACB≌Rt△ADB，可得∠ABD＝∠ABC＝∠CBD，∠BAD+∠ABD＝90°，进而可得∠BAD的值．
解：∵∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，AB＝AB，
∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL），
∴∠ABD＝∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD+∠ABC＝2∠ABD，
∵∠CBD＝130°，
∴∠ABD＝×∠CBD＝×130°＝65°，
∵∠D＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形的全等，利用直角三角形两个锐角互余的性质来求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
13．一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 120 ．
【分析】先求得三角形的三边长，然后依据勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，最后，再利用三角形的面积公式求解即可．
解：三角形的三边长分别为60×＝10，60×＝24，60×＝26．
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形．
∴三角形的面积＝×10×24＝120．
故答案为：120．
【点评】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，证得三角形为直角三角形是解题的关键．
14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分线，BD＝5，则点D到边AC的距离为 5 ．
【分析】过点D作DE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝BD，即可得到点D到边AC的距离．
解：如图，过点D作DE⊥AC于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠B＝90°，
∴DE＝BD＝5，
即点D到AC边的距离是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边距离相等的性质是解决问题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝26°，则∠ADE的度数是 38° ．
【分析】利用三角形内角和定理及折叠的性质，可求出∠CED的度数，再利用三角形的外角性质，可求出∠ADE的度数．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣26°﹣90°＝64°．
由折叠的性质，可知：∠CED＝∠B＝64°．
又∵∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠ADE＝∠CED﹣∠A＝64°﹣26°＝38°．
故答案为：38°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF平行BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为 64 ．
【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2＝EF2，即可得出结果．
解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，
即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝4，
∴EF＝8，
由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2＝64．
【点评】本题考查角平分线的定义、勾股定理、直角三角形的判定；熟练掌握勾股定理，证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．
17．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，则AP的长为 或2或 ．
【分析】先利用勾股定理计算AC＝4，再进行讨论：当P点在AB上，PA＝PB和当P点在AC上，PA＝PC，易得对应AP的值；当P点在AC上，PB＝PC，如图2，设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x，利用勾股定理得到32+t2＝（4﹣t）2，然后解方程得到此时AP的长．
解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，
∴AC＝＝4，
当P点在AB上，PA＝PB，则AP＝AB＝；
当P点在AC上，PA＝PC，则AP＝AC＝2，
当P点在AC上，PB＝PC，如图2，
设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x，
在Rt△ABP中，32+t2＝（4﹣t）2，解得t＝，
即此时AP＝，
综上所述，AP的长为或2或．
故答案为：或2或．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了新定义的运用能力和勾股定理．
18．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在射线OM、ON上，当点B在ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 7 ．
【分析】作CH⊥AB于H，连接OH，如图，根据等腰三角形的性质得AH＝BH＝AB＝5，再利用勾股定理计算出CH＝12，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得OH＝AB＝5，则利用三角形三边的关系得到OC≥CH﹣OH（当点C、O、H共线时取等号），从而得到OC的最小值．
解：作CH⊥AB于H，连接OH、OC，如图所示：
∵AC＝BC＝13，
∴AH＝BH＝AB＝5，
在Rt△BCH中，CH＝＝＝12，
∵H为AB的中点，
∴OH＝AB＝5，
∵OC≥CH﹣OH（当点C、O、H共线时取等号），
∴OC的最小值为12﹣5＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了轨迹、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识；熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（共96分）
19．计算或解方程：
（1）|﹣4|﹣+3﹣2﹣（﹣2022）0；
（2）（x+2）3＝﹣27．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用立方根的意义，进行计算即可解答．
解：（1）|﹣4|﹣+3﹣2﹣（﹣2022）0
＝4﹣3+﹣1
＝；
（2）（x+2）3＝﹣27，
x+2＝﹣3，
x＝﹣5．
【点评】本题考查了实数的运算，立方根，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．
（1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，直接画出两次平移后的△A1B1C1并写出点A1的坐标 （﹣5，﹣3） ；
（2）△ABC的面积为 6.5 ；
（3）用无刻度的直尺在x轴上求作点P，使PA+PC最小，保留作图痕迹，不写作法，在图中标注点P．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（3）先作A点关于x轴的对称点A′，连接CA′交x轴于P点，由于PA＝PA′，则PA+PC＝CA′，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（﹣5，3）；
故答案为（﹣5，3）；
（2）△ABC的面积＝4×4﹣×4×1﹣×3×1﹣×4×3＝6.5；
故答案为：6.5；
（3）如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了最短路线问题．
21．若一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和2﹣m，n是8的立方根，c是的整数部分，求m+n+c的立方根．
【分析】先利用平方根的意义可得2m﹣1+2﹣m＝0，从而可得m＝﹣1，再利用立方根的意义可得n＝2，然后再估算出的值的范围，从而求出c＝3，最后代入式子中进行计算即可解答．
解：∵一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和2﹣m，
∴2m﹣1+2﹣m＝0，
解得：m＝﹣1，
∵n是8的立方根，
∴n＝2，
∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3，
∴c＝3，
∴m+n+c＝﹣1+2+3＝4，
∴m+n+c的立方根为．
【点评】本题考查了无理数的估算，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
22．已知点Q（2m﹣6，m+2），试分别根据下列条件，求出m的值并写出点Q的坐标．
（1）若点Q在y轴上，求点Q的坐标．
（2）若点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．
【分析】（1）根据y轴上的点的横坐标等于零，可得方程，解方程可得答案；
（2）根据点Q到两坐标轴的距离相等，可得关于m的方程，解方程可得答案．
解：（1）点Q在y轴上，则2m﹣6＝0，
解得m＝3．
所以m+2＝5，
故Q点的坐标是（0，5）；
（2）当点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，有2m﹣6＝m+2，
解得m＝8．
所以2m﹣6＝10．
故Q点的坐标是（10，10）．
【点评】本题考查了点的坐标，y轴上的点的横坐标等于零；到两坐标轴的距离相等的点在一，三象限夹角平分线上．
23．如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，AC＝BD，AE∥DF，∠1＝∠2．求证：BE＝CF．
【分析】根据等式的性质得出AB＝DC，再利用ASA证明△ABE≌△DCF．
【解答】证明：∵AC＝AB+BC，BD＝BC+CD，AC＝BD，
∴AB＝DC，
∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE＝CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，利用全等三角形的判定定理ASA证出△ABE≌△DCF是解题的关键．
24．某单位有一块四边形的空地，∠B＝90°，量得各边的长度如图（单位：米）．现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？
【分析】连接AC，先证明△ACD是直角三角形，根据S四边形ABCD＝S△BAC+S△DAC求出四边形ABCD的面积即可解决问题．
解：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝52，
在△ACD中，CD2＝132，AD2＝122，
∵52+122＝132，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴∠DAC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△BAC+S△DAC＝AB•BC+AC•AD＝36cm2，
∵36×30＝1080（元），
∴这块地全部种草的费用是1080元
【点评】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是证明△ADC是直角三角形，属于中考常考题型．
25．针对于等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：在△ABC中，AD平分∠CAB，交BC边于点D，且CD＝BD，求证：AB＝AC．
以下是甲、乙两位同学的做法．
甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角等和一组边等，再加一组公共边，可证△ACD≌△ABD，所以这个三角形为等腰三角形；
乙：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，可证△ACD≌△EBD，依据已知条件可推出AB＝AC，所以这个三角形为等腰三角形．
（1）对于甲、乙两人的做法，下列判断正确的是 C ；
A．两人都正确
B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确
（2）选择一种你认为正确的做法，并证明．
【分析】（1）由全等三角形的判定及等腰三角形的判定可得出答案；
（2）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，由“SAS”可证△ACD≌△EBD，可得∠CAD＝∠E＝∠BAD，AC＝BE，可得AC＝BE＝AB．
解：（1）由全等三角形的判定方法可知甲错误，乙正确，
故选：C；
（2）乙的方法正确．
证明：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴∠CAD＝∠E，AC＝BE，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠E，
∴AB＝BE，
∴AC＝AB．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
26．已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．
【分析】连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD＝CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得BE＝CF．
【解答】证明：连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD＝CD，
∵D为∠BAC平分线上的点，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，考查了垂直平分线的性质，考查了角平分线的性质，本题中求证Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键．
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在边AC上运动，点D在边AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DP与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长；
（3）若AC＝6，BC＝8，则PE的最小值为 5 ．（直接写出结果）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．
（3）如图：
过P作PH⊥AB于H，PT⊥EF于T，则四边形PHFT为矩形，
∴pT＝HF，
∵PA＝PD，PH⊥AD，
∴AH＝HD，
∵DF＝EF，
∴HF＝AB＝5，
∴PT＝HF＝5，
∵PE≥PT，
∴PE最小值＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
28．在“学本课堂”的实践中，何老师经常让学生以“问题”为中心进行自主、合作、探究学习．
【课堂提问】何老师在课堂中提出这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，那么BC和AB有怎样的数量关系？
【互动生成】经小组合作交流后，各小组派代表发言．
（1）小华代表第3小组发言：AB＝2BC．请你补全小华的证明过程．
证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝90°+90°＝180°，
即：点B、C、D共线．
（请在下面补全小华的证明过程）
（2）受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图2，在△ABC中，如果把条件“∠ACB＝90°”改为“∠ACB＝135°”，保持“∠BAC＝30°”不变，若BC＝1，求AB的长．
【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．如图3，点D是△ABC内一点，AD＝AC，∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ADB+∠ACB＝210°，则AD、DB、BC三者之间的数量关系是 AD2＝DB2+BC2 ．
【课后拓展】如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝60°，且AC＝3，则△ABD的周长为 3 ．
【分析】（1）根据翻折的性质和等边三角形的判定：△ABD是等边三角形，可得结论；
（2）如图2，同理把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，证明△ABD是等边三角形，根据勾股定理得：BD的长，可得AB的长；
【能力迁移】
如图2，把△ABD沿着AB翻折，得到△AEB，连接CE，先证明△AEC是等边三角形，得CE＝AE＝AD，根据四边形的内角和定理计算∠EBC＝360°﹣60°﹣210°＝90°，利用勾股定理可得结论；
【课后拓展】
如图4，同理作辅助线，先证明A、B、E三点共线，再证明B、E、F三点共线，得△ACF是等腰直角三角形，可得AF的长，从而得结论．
解：（1）AB＝2BC，补全小华的证明过程．
证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝90°+90°＝180°，
即：点B、C、D共线，
由翻折得：AD＝AB，∠CAD＝∠CAB＝30°，BC＝CD，
∴∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝2BC；
（2）如图2，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．
由翻折得：AD＝AB，∠CAD＝∠CAB＝30°，BC＝CD＝1，
∴∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，
∵∠ACB＝∠ACD＝135°，
∴∠BCD＝90°，
∴BD＝＝＝，
∴AB＝BD＝；
【能力迁移】
AD、DB、BC三者之间的数量关系是：AD2＝DB2+BC2；
理由是：如图2，把△ABD沿着AB翻折，得到△AEB，连接CE，
∴∠EAB＝∠BAD＝∠DAC＝20°，BE＝DB，AE＝AD＝AC，
∴∠EAC＝60°，
∴△AEC是等边三角形，
∴CE＝AE＝AD，
∵∠ADB＝∠AEB，∠ADB+∠ACB＝210°，
∴∠EBC＝360°﹣60°﹣210°＝90°，
∴CE2＝EB2+BC2，
∴AD2＝DB2+BC2；
故答案为：AD2＝DB2+BC2；
【课后拓展】
如图4，把△CBD沿着CB翻折，得到△CEB，
∴∠BEC＝∠BDC＝60°，CD＝CE，BD＝BE，∠BCD＝∠BCE＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∵∠BDC＝60°，∠BCD＝45°，
∴∠DBC＝75°，
∵∠BAD＝90°，∠ADB＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠ABE＝30°+75°+75°＝180°，
∴A、B、E三点共线，
把△CDA绕点C逆时针旋转90°得到△CEF，
∴∠CEF＝∠ADC＝120°，
∴B、E、F三点共线，
∴AC＝CF＝3，
∵∠ACD＝∠ECF，
∴∠ACF＝90°，
∴AF＝3，即AB+BE+EF＝AB+BD+AD＝3，
则△ABD的周长为3；
故答案为：3．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用翻折添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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